Prompt:
Translate the following text from en to ar:
10.2.1 Context-free grammars as a computational model351

Response: 10.2.1 القواعد النحوية الخالية من السياق كنموذج حسابي 351


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
10.2.1 Context-free grammars as a computational model351

Response: 10.2.1 قواعد السياق الحر كنماذج حسابية 351


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
BOAZ BARAK INTRODUCTION TO THEORETICAL COMPUTER SCIENCE TEXTBOOK IN PREPARATION. AVAILABLE ON HTTPS://INTROTCS. ORG Text available onhttps://github.com/boazbk/tcs- please post any issues there - thank you!

Response: كتاب مدخل إلى علوم الحاسوب النظرية لبواز باراك قيد الإعداد. متوفر على HTTPS://INTROTCS.ORG النص متوفر علىhttps://github.com/boazbk/tcs- يرجى نشر أي مشكلات هناك - شكرًا لك!


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
This is a textbook for an undergraduate introductory course on theoretical computer science. The educational goals of this book are to convey the following: • That computation arises in a variety of natural and human-made systems, and not only in modern silicon-based computers.

Response: هذا كتاب دراسي لدورة تمهيدية لطلاب المرحلة الجامعية في علوم الحاسوب النظرية. الأهداف التعليمية لهذا الكتاب هي إيصال ما يلي: • أن الحوسبة تنشأ في مجموعة متنوعة من الأنظمة الطبيعية والتي من صنع الإنسان، وليس فقط في أجهزة الكمبيوتر الحديثة القائمة على السيليكون.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The fact that we start with circuits makes proving the Cook-Levin Theorem much easier. In fact, our proof of this theorem can be (and is) done using a handful of lines of Python.

Response: वास्तव में, हम सर्किट से शुरुआत करते हैं, जिससे कुक-लेविन प्रमेय को साबित करना बहुत आसान हो जाता है। वास्तव में, इस प्रमेय का हमारा प्रमाण कुछ पंक्तियों के पायथन का उपयोग करके किया जा सकता है (और किया जाता है)।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
In this chapter we review some of the mathematical concepts that we use in this book.

Response: في هذا الفصل، نستعرض بعض المفاهيم الرياضية التي نستخدمها في هذا الكتاب.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
For example, we will consider questions such as“is there an efficient algorithm to find the prime factors of a given integer?”.

Response: مثال کے طور پر، ہم ایسے سوالات پر غور کریں گے جیسے کہ “کیا کسی دیے گئے عدد کے پرائم فیکٹرز معلوم کرنے کا کوئی موثر الگورتھم موجود ہے؟”.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
If 퐹 ∶ 푆 → 푇 satisfies that 퐹(푥) ≠ 퐹(푦) for all 푥 ≠ 푦 then we say that 퐹 is one-to-one (Definition 1.1, also known as an injective function or simply an injection).

Response: إذا كان 퐹 ∶ 푆 → 푇 بحيث أن 퐹(푥) ≠ 퐹(푦) لكل 푥 ≠ 푦، فإننا نقول أن 퐹 هو دالة متباينة (التعريف 1.1، والمعروفة أيضًا باسم دالة حقنية أو ببساطة حقن).


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
A function that is both one-to-one and onto is known as a bijective function or simply a bijection. A bijection from a set 푆 to itself is also known as a permutation of 푆.

Response: एक फलन जो एक-से-एक और आच्छादक दोनों है, उसे एक द्विभाजित फलन या केवल एक द्विभाजन के रूप में जाना जाता है। एक समुच्चय 푆 से स्वयं तक का द्विभाजन भी 푆 का क्रमपरिवर्तन कहलाता है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
In 1960, the famous mathematician Andrey Kolmogorov organized a seminar at Moscow State University in which he conjectured that every algorithm for multiplying two 𝑛 digit numbers would require a number of basic operations that is proportional to 𝑛².

Response: في عام 1960، نظم عالم الرياضيات الشهير أندريه كولموغوروف ندوة في جامعة موسكو الحكومية، حيث افترض أن كل خوارزمية لضرب رقمين مكونين من 𝑛 رقمًا ستتطلب عددًا من العمليات الأساسية يتناسب مع 𝑛².


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Karatsuba’s algorithm is based on a faster way to multiply two-digit numbers. Suppose that 𝑥, 𝑦 ∈ [100] = {0,...,99} are a pair of two-digit numbers.

Response: خوارزمية كاراتسوبا تعتمد على طريقة أسرع لضرب الأرقام المكونة من رقمين. لنفترض أن 𝑥, 𝑦 ∈ [100] = {0,...,99} هما زوج من الأرقام المكونة من رقمين.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
فرض کریں کہ 𝑥, 𝑦 ∈ [100] = {0,...,99} دو ہندسوں کی جوڑی ہیں.

Response: Let's assume that 𝑥, 𝑦 ∈ [100] = {0,...,99} are a pair of two-digit numbers.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Algorithm 0.4 is only half of the full description of Karatsuba’s algorithm. The other half is the analysis, which entails proving that (1) Algorithm 0.4 indeed computes the multiplication operation and (2) it does so using 𝑂(𝑛 log₂ 3) operations.

Response: خوارزمية 0.4 هي نصف الوصف الكامل لخوارزمية كاراتسوبا. النصف الآخر هو التحليل، والذي يستلزم إثبات أن (1) الخوارزمية 0.4 تحسب بالفعل عملية الضرب و (2) أنها تفعل ذلك باستخدام عمليات 𝑂(𝑛 log₂ 3).


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
خوارزمية كاراسوبا دو ہندسوں کے ضرب کے لیے ایک تیز طریقہ پر مبنی ہے۔

Response: Karatsuba's algorithm is based on a faster way to multiply two-digit numbers.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Similarly, logarithmic is always smaller than polynomial:(log푛) 푎 (which we write as log 푎 푛) is표(푛 휖 )for every two constants푎,휖 > 0.

Response: وبالمثل، اللوغاريتمي دائمًا ما يكون أصغر من كثير الحدود: (log푛) 푎 (الذي نكتبه كـ log 푎 푛) هو o(푛 휖 ) لكل ثابتين 푎, 휖 > 0.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
If푣is a source (i.e., has in-degree zero) then a minimal layering푓must put it in layer0, and for every other푣, if 푓(푣) = 푖, then we cannot modify this to set푓(푣) ≤ 푖 − 1since there is an-neighbor푢of푣satisfying푓(푢) = 푖 − 1.

Response: إذا كانت 푣 مصدرًا (أي، درجة الدخول لها صفر)، فيجب أن تضعها الطبقة الدنيا 푓 في الطبقة 0، ولكل 푣 أخرى، إذا كان 푓(푣) = 푖، فلا يمكننا تعديل هذا لتعيين 푓(푣) ≤ 푖 − 1 لأنه يوجد جار داخلي 푢 لـ 푣 يحقق 푓(푢) = 푖 − 1.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We can use any one of those as well as many others to represent a number as a string (see Fig. 2.3).

Response: يمكننا استخدام أي من هذه الطرق، بالإضافة إلى طرق أخرى عديدة، لتمثيل رقم كسلسلة (انظر الشكل 2.3).


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
في رؤية أفلاطون، الرموز 236 هي مجرد تدوين لبعض الأشياء المثالية، والتي، تكريما للموسيقي الراحل، يمكننا أن نشير إليها باسم "الرقم الممثل عادة بـ 236".

Response: In Plato's vision, the symbols 236 are merely notation for some ideal object, which, in homage to the late musician, we can refer to as "the number commonly represented by 236".


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We will prove that there does not exist an onto function 푆푡퐹 ∶ {0,1} ∗ → {0,1} ∞ . This implies the lemma since for every two sets 퐴 and 퐵, there exists an onto function from 퐴 to 퐵 if and only if there exists a one-to-one function from 퐵 to 퐴 (see Lemma 1.2).

Response: سنثبت أنه لا توجد دالة شاملة 푆푡퐹 ∶ {0,1} ∗ → {0,1} ∞ . هذا يعني أن المبرهنة صحيحة لأنه لكل مجموعتين 퐴 و 퐵، توجد دالة شاملة من 퐴 إلى 퐵 إذا وفقط إذا وجدت دالة متباينة من 퐵 إلى 퐴 (انظر المبرهنة 1.2).


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We can think of this as building a table where the columns correspond to numbers 푚 ∈ ℕ and the rows correspond to 푥 ∈ {0,1} ∗ (sorted according to 푛(푥)).

Response: हम इसे एक तालिका बनाने के रूप में सोच सकते हैं जहाँ कॉलम संख्याओं 푚 ∈ ℕ के अनुरूप हैं और पंक्तियाँ 푥 ∈ {0,1} ∗ के अनुरूप हैं (जो 푛(푥) के अनुसार क्रमबद्ध हैं)।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Specifically, we could transform any pair of Python functions encode and decode to functions pfencode and pfdecode that correspond to a prefix-free encoding and decoding.

Response: بشكل خاص، يمكننا تحويل أي زوج من دوال بايثون encode و decode إلى الدالتين pfencode و pfdecode اللتين تتوافقان مع الترميز وفك الترميز الخاليين من البادئة.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
एक बार जब हम संख्याओं और संख्याओं की सूचियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, तो हम सदिशों (जो कि संख्याओं की सूचियाँ हैं) का भी प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।

Response: Once we can represent numbers and lists of numbers, then we can also represent vectors (which are just lists of numbers).


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We will see that: 1. We can make the definition of an algorithm fully formal, and so give a precise mathematical meaning to statements such as “Algo- rithm퐴computes function푓”.

Response: سنرى أنه: 1. يمكننا جعل تعريف الخوارزمية رسميًا تمامًا، وبالتالي إعطاء معنى رياضي دقيق لعبارات مثل "الخوارزمية퐴 تحسب الدالة푓".


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
AON-CIRC is not a practical programming language: it was de- signed for pedagogical purposes only, as a way to model computation as the composition ofAND,OR, andNOT.

Response: AON-CIRC कोई व्यावहारिक प्रोग्रामिंग भाषा नहीं है: इसे केवल शैक्षणिक उद्देश्यों के लिए डिज़ाइन किया गया था, जो AND, OR, और NOT के संयोजन के रूप में गणना को मॉडल करने का एक तरीका है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Prove that there is no prefix-free encoding of strings with less than logarithmic overhead. That is, prove that there is no function PF∶ {0,1} ∗ → {0,1} ∗ s.t.|PF(푥)| ≤ |푥| + 0.9log|푥|for every sufficiently large푥 ∈ {0,1} ∗ and such that the set{PF(푥) ∶ 푥 ∈ {0,1} ∗ }is prefix- free.

Response: أثبت أنه لا يوجد ترميز خالٍ من البادئة للسلاسل ذات الحمل الزائد اللوغاريتمي الأقل. أي، أثبت أنه لا توجد دالة PF∶ {0,1} ∗ → {0,1} ∗ بحيث |PF(푥)| ≤ |푥| + 0.9log|푥| لكل 푥 كبير بما فيه الكفاية ∈ {0,1} ∗ وبحيث تكون المجموعة {PF(푥) ∶ 푥 ∈ {0,1} ∗ } خالية من البادئة.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Informal definition of an algorithm: An algorithm consists of a sequence of steps of the form “compute a new value by applying AND, OR, or NOT to previously computed values (assuming that the input was also previously computed)”.

Response: कलन विधि की अनौपचारिक परिभाषा: एक एल्गोरिथ्म में “पहले से गणना किए गए मानों पर AND, OR, या NOT लागू करके एक नया मान संगणित करें (यह मानते हुए कि इनपुट की भी पहले से गणना की गई थी)” के रूप में चरणों का एक क्रम शामिल है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
In the 1960’s computers started to be implemented using integrated circuits which enabled much greater density.

Response: في الستينيات، بدأ تنفيذ أجهزة الكمبيوتر باستخدام الدوائر المتكاملة، مما أتاح كثافة أكبر بكثير.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
that for ℱ = {AND,OR,NOT}, the resulting circuits/programs are equivalent in power to the NAND-CIRC programming language, as we can com- puteNANDusingAND/OR/NOTand vice versa.

Response: بالنسبة إلى ℱ = {AND,OR,NOT}، فإن الدوائر/البرامج الناتجة تعادل في قوتها لغة برمجة NAND-CIRC، حيث يمكننا حساب NAND باستخدام AND/OR/NOT والعكس صحيح.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
For example, we can take the AON-CIRC and NAND-CIRC programming languages we saw in Chapter 3, and extend them to achieve features such as user-defined functions (e.g., def Foo(...)), conditional statements (e.g., if blah ...), and more.

Response: مثالياً، يمكننا أن نأخذ لغات البرمجة AON-CIRC و NAND-CIRC التي رأيناها في الفصل الثالث، ونوسعها لتحقيق ميزات مثل الدوال المعرفة من قبل المستخدم (مثل def Foo(...))، وعبارات الشرط (مثل if blah ...)، وأكثر من ذلك.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We define SIZE 푛,푚 (푠)to be the set of functions mapping푛bits to푚 bits that can be computed by NAND circuits of at most푠gates (or equivalently, by NAND-CIRC programs of at most푠lines).

Response: نُعرّفُ SIZE 푛,푚 (푠) على أنها مجموعة الدوال التي تُعيّن 푛 بتات إلى 푚 بتات والتي يمكن حسابها بواسطة دوائر NAND بحد أقصى 푠 بوابة (أو ما يعادلها، بواسطة برامج NAND-CIRC بحد أقصى 푠 سطرًا).


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
परिभाषा 4.18— फलनों का आकार वर्ग। सभी प्राकृतिक संख्याओं 푛,푚,푠 के लिए, SIZE 푛,푚 (푠) को उन सभी फलनों 푓 ∶ {0,1} 푛 → {0,1} 푚 को निरूपित करने दें जिन्हें अधिकतम 푠 गेटों की NAND सर्किट द्वारा संगणित किया जा सकता है।

Response: Definition 4.18— Size class of functions. For all natural numbers 푛, 푚, 푠, let SIZE 푛, 푚 (푠) denote the set of all functions 푓 ∶ {0,1} 푛 → {0,1} 푚 such that there exists a NAND circuit of at most 푠 gates computing 푓.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The idea is that we replace code of the form if(condition): assign blah to variable foo with code of the form foo =IF(condition, blah, foo) that assigns tofooits old value whenconditionequals0, and assign tofoothe value ofblahotherwise.

Response: الفكرة هي أننا نستبدل التعليمات البرمجية بالشكل if(condition): assign blah to variable foo بالتعليمات البرمجية بالشكل foo =IF(condition, blah, foo) التي تعين لـ foo قيمته القديمة عندما تكون condition تساوي 0، وتعطي foo قيمة blah بخلاف ذلك.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Theorem 4.6— Conditional statements syntactic sugar. Let NAND-CIRC- IF be the programming language NAND-CIRC augmented with if/then/elsestatements for allowing code to be conditionally executed based on whether a variable is equal to0or1. Then for every NAND-CIRC-IF program푃, there exists a stan- dard (i.e., “sugar-free”) NAND-CIRC program푃 ′ that computes the same function as푃.

Response: نظرية 4.6 - عبارات شرطية سكر تركيبي. ليكن NAND-CIRC-IF هي لغة البرمجة NAND-CIRC المعززة بعبارات if/then/else للسماح بتنفيذ التعليمات البرمجية بشكل مشروط بناءً على ما إذا كانت قيمة متغير ما تساوي 0 أو 1. إذن، لكل برنامج NAND-CIRC-IF P، يوجد برنامج NAND-CIRC قياسي (أي، "خالٍ من السكر") P' يحسب نفس الدالة مثل P.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Theorem 5.3— Counting argument lower bound. There is a constant 훿 > 0, such that for every sufficiently large푛, there is a function 푓 ∶ {0,1} 푛 → {0,1}such that푓 ∉SIZE 푛 ( 훿2 푛 푛 ). That is, the shortest NAND-CIRC program to compute푓requires more than훿 ⋅ 2 푛 /푛 lines.

Response: النظرية 5.3 - الحد الأدنى لحجة العد. هناك ثابت 훿 > 0، بحيث أنه لكل 푛 كبير بما فيه الكفاية، توجد دالة 푓 ∶ {0,1} 푛 → {0,1} بحيث 푓 ∉SIZE 푛 ( 훿2 푛 푛 ). أي أن أقصر برنامج NAND-CIRC لحساب 푓 يتطلب أكثر من 훿 ⋅ 2 푛 /푛 سطرًا.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
While even the precise phrasing of the PECTT, let alone understanding its correctness, is still a subject of active research, some variants of it are already implicitly assumed in practice.

Response: في حين أن الصياغة الدقيقة لـ PECTT، ناهيك عن فهم صحتها، لا تزال موضوع بحث نشط، يتم بالفعل افتراض بعض متغيراتها ضمنيًا في الممارسة.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
في هذا الفصل، نناقش الدوال التي تأخذ كسلاسل إدخال ذات طول تعسفي. سنركز غالبًا على الحالة الخاصة للدوال المنطقية، حيث يكون الإخراج بتًا واحدًا.

Response: In this chapter, we discuss functions that take as input strings of arbitrary length. We will often focus on the special case of Boolean functions, where the output is a single bit.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
length 푛 , denoted as 퐹 푛 , is the finite function 푓 ∶ {0,1} 푛 → {0,1}such that푓(푥) = 퐹(푥)for every푥 ∈ {0,1} 푛 .

Response: طول 푛، يُرمز إليها بـ 퐹 푛، هي الدالة المحدودة 푓 ∶ {0,1} 푛 → {0,1} بحيث 푓(푥) = 퐹(푥) لكل 푥 ∈ {0,1} 푛.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
For example, recall the Python program that computes the XOR function: defXOR(X): '''Takes list X of 0's and 1's Outputs 1 if the number of 1's is odd and outputs 0 otherwise''' ↪ result= 0 foriinrange(len(X)): result =(result+X[i])% 2 returnresult

Response: उदाहरण के लिए, पायथन प्रोग्राम को याद करें जो XOR फ़ंक्शन की गणना करता है: defXOR(X): '''0 और 1 की सूची लेता है यदि 1 की संख्या विषम है तो 1 आउटपुट करता है और अन्यथा 0 आउटपुट करता है''' ↪ result= 0 foriinrange(len(X)): result =(result+X[i])% 2 returnresult


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We’ve seen that NAND gates (and other Boolean operations) can be implemented using very different systems in the physical world. What about the reverse direction? Can NAND-CIRC programs simulate any physical computer?

Response: لقد رأينا أنه يمكن تنفيذ بوابات NAND (وغيرها من العمليات المنطقية) باستخدام أنظمة مختلفة جدًا في العالم المادي. ماذا عن الاتجاه المعاكس؟ هل يمكن لبرامج NAND-CIRC محاكاة أي جهاز كمبيوتر مادي؟


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Algorithm 6.10is not very efficient. For example, given an expression involving concatenation or the “star” operation and a string of length 234 introduction to theoretical computer science 푛, it can make푛recursive calls, and hence it can be shown that in the worst case Algorithm 6.10can take timeexponentialin the length of the input string푥.

Response: خوارزمية 6.10 ليست فعالة للغاية. على سبيل المثال، بالنظر إلى تعبير يتضمن تسلسلاً أو عملية "النجمة" وسلسلة بطول 234 مقدمة في علوم الكمبيوتر النظرية 푛، يمكنها إجراء 푛 استدعاءات متكررة، وبالتالي يمكن إظهار أنه في أسوأ الحالات، يمكن لخوارزمية 6.10 أن تستغرق وقتًا أسيًا في طول سلسلة الإدخال 푥.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Theorem 6.12— Matching regular expressions in linear time. Let푒be a regular expression. Then there is an푂(푛)time algorithm that computesΦ 푒 .

Response: प्रमेय 6.12— रैखिक समय में नियमित अभिव्यक्तियों का मिलान। मान लीजिए कि 푒 एक नियमित अभिव्यक्ति है। तब एक 푂(푛) समय एल्गोरिथ्म है जो Φ 푒 की गणना करता है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
If |푤 ′ | > 2|푒 ′ |then by the induction hypothesis there exist푥,푦,푧 ′ with |푦| ≥ 1,|푥푦| ≤ 2|푒 ′ | < 푛 0 such that푤 ′ = 푥푦푧 ′ and푒 ′ matches푥푦 푘 푧 ′ for every푘 ∈ ℕ. This completes the proof since if we set푧 = 푧 ′ 푤 ′′ then we see that푤 = 푤 ′ 푤 ′′ = 푥푦푧and푒 = (푒 ′ )(푒 ′′ )matches푥푦 푘 푧for every푘 ∈ ℕ.

Response: إذا كان |푤 ′ | > 2|푒 ′ |، فبواسطة فرضية الاستقراء، توجد 푥، 푦، 푧 ′ بحيث |푦| ≥ 1، |푥푦| ≤ 2|푒 ′ | < 푛 0 بحيث 푤 ′ = 푥푦푧 ′ و 푒 ′ تتطابق مع 푥푦 푘 푧 ′ لكل 푘 ∈ ℕ. هذا يكمل الإثبات لأنه إذا قمنا بتعيين 푧 = 푧 ′ 푤 ′′ ، فإننا نرى أن 푤 = 푤 ′ 푤 ′′ = 푥푦푧 و 푒 = (푒 ′ )(푒 ′′ ) تتطابق مع 푥푦 푘 푧 لكل 푘 ∈ ℕ.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The pumping lemma is a very useful tool to show that certain func- tions arenotcomputable by a regular expression. However, it isnotan “if and only if” condition for regularity: there are non-regular func- tions that still satisfy the pumping lemma conditions.

Response: نظرًا لأن نظرية الضخ هي أداة مفيدة جدًا لإظهار أن بعض الدوال لا يمكن حسابها بواسطة تعبير منتظم. ومع ذلك، فهي ليست شرطًا "إذا وفقط إذا" للانتظام: هناك دوال غير منتظمة لا تزال تفي بشروط نظرية الضخ.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We describe the operation of our Turing machine푀in words: •푀starts in stateSTARTand goes right, looking for the first symbol that is0or1.

Response: نصف عملية آلة تورينج الخاصة بنا بالكلمات: • تبدأ 푀 في الحالة START وتذهب إلى اليمين، وتبحث عن الرمز الأول الذي هو 0 أو 1.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The formal definition of Turing machines is as follows: Definition 7.1— Turing Machine. A (one tape)Turing machine푀with푘 states and alphabetΣ ⊇ {0,1,▷,∅}is represented by atransition function훿 푀 ∶ [푘]×Σ → [푘]×Σ×{L,R,S,H}.

Response: تعريف آلات تورينج الرسمية هو كما يلي: التعريف 7.1 — آلة تورينج. يتم تمثيل آلة تورينج (بشريط واحد) 푀 مع 푘 من الحالات والأبجدية Σ ⊇ {0,1,▷,∅} بواسطة دالة انتقال 훿 푀 ∶ [푘] × Σ → [푘] × Σ × {L,R,S,H}.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
In this chapter we study equivalence between models. Two computational models are equivalent (also known as Turing equivalent) if they can compute the same set of functions.

Response: في هذا الفصل، ندرس التكافؤ بين النماذج. نموذجان حسابيان متكافئان (يُعرفان أيضًا باسم تكافؤ تورينج) إذا كان بإمكانهما حساب نفس مجموعة الدوال.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
When we want to show that a function can be computed we can use RAM machines or NAND-RAM, because they are easier to pro- gram in and correspond more closely to high level programming languages we are used to.

Response: عندما نريد إظهار أنه يمكن حساب دالة ما، يمكننا استخدام آلات RAM أو NAND-RAM، لأنها أسهل في البرمجة وتتوافق بشكل أوثق مع لغات البرمجة عالية المستوى التي اعتدنا عليها.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
في دورات نظرية الحوسبة، يحتاج المدرب والطلاب إلى إجراء المحادثة. أي أننا بحاجة إلى مناقشة مستوى التجريد في وصف الخوارزميات.

Response: In courses on the theory of computation, the instructor and students need to have the talk. That is, we need to discuss the level of abstraction in describing algorithms.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Generally, we can use the λ expression 휆푥.(휆푦.푓(푥,푦)) to simulate the effect of a two argument function(푥,푦) ↦ 푓(푥,푦). This technique is known as Currying.

Response: بشكل عام، يمكننا استخدام تعبير λ 휆푥.(휆푦.푓(푥,푦)) لمحاكاة تأثير دالة ذات وسيطتين (푥,푦) ↦ 푓(푥,푦). تُعرف هذه التقنية باسم التجميع.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Once we build a device that can compute the single universal function, we have the ability,via software, to extend it to do arbitrary computations.

Response: بمجرد أن نبني جهازًا يمكنه حساب الدالة العالمية الواحدة، فسنمتلك القدرة، عبر البرمجيات، على توسيعه للقيام بعمليات حسابية عشوائية.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
بمجرد أن نبني جهازًا يمكنه حساب الدالة العالمية الواحدة، فسنمتلك القدرة، عبر البرمجيات، على توسيعه للقيام بعمليات حسابية عشوائية.

Response: Once we build a device that can compute the single universal function, we will have the ability, via software, to extend it to perform arbitrary computations.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We can represent every Turing machine as a string.

Response: يمكننا تمثيل كل آلة تورينج كسلسلة.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The idea of a “universal program” is of course not limited to theory.

Response: بالطبع، فكرة "البرنامج الشامل" لا تقتصر على النظرية.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
If we know that HALTis uncomputable, and we want to show that some other function BLAHis uncomputable, then we can do so via a contrapositive argument (i.e., proof by contradiction).

Response: إذا كنا نعلم أن مسألة التوقف غير قابلة للحساب، وأردنا أن نظهر أن دالة أخرى BLAH غير قابلة للحساب، فيمكننا أن نفعل ذلك عن طريق حجة مضادة (أي، إثبات بالتناقض).


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
यदि हम जानते हैं कि HALT की गणना नहीं की जा सकती है, और हम यह दिखाना चाहते हैं कि कोई अन्य फ़ंक्शन BLAH की गणना नहीं की जा सकती है, तो हम इसे एक विरोधाभासी तर्क (यानी, विरोधाभास द्वारा प्रमाण) के माध्यम से कर सकते हैं।

Response: If we know that HALT is uncomputable, and we want to show that some other function BLAH is uncomputable, then we can do so via a contrapositive argument (i.e., proof by contradiction).


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We simply try all possible guesses for the first rule푠 → 푢푣 that is used in such a derivation, and then all possible ways to par- tition푥as a concatenation푥 = 푥 ′ 푥 ′′ .

Response: ہم صرف پہلی حکمرانی کے لیے تمام ممکنہ اندازے لگاتے ہیں푠 → 푢푣 جو اس طرح کے اخذ میں استعمال ہوتا ہے، اور پھر تمام ممکنہ طریقے سے تقسیم کرتے ہیں푥 بطور ایک جوڑ푥 = 푥 ′ 푥 ′′ .


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
ہم صرف پہلی حکمرانی کے لیے تمام ممکنہ اندازے لگاتے ہیں푠 → 푢푣 جو اس طرح کے اخذ میں استعمال ہوتا ہے، اور پھر تمام ممکنہ طریقے سے تقسیم کرتے ہیں푥 بطور ایک جوڑ푥 = 푥 ′ 푥 ′′ .

Response: We simply try all possible guesses for the first rule s → uv that is used in such a derivation, and then all possible ways to partition x as a concatenation x = x'x''.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
In the beginning of the 20th century, there was an effort to replicate this effort, in greater rigor, to all parts of mathematics.

Response: في بداية القرن العشرين، كانت هناك محاولة لتكرار هذا الجهد، بقدر أكبر من الدقة، على جميع أجزاء الرياضيات.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The discovery of calculus by Newton and Leibnitz in the late 1600’s ushered a golden age of problem solv- ing.

Response: 1600 کے آخر میں نیوٹن اور لیبنز کے ذریعہ کیلکولس کی دریافت نے مسئلہ حل کرنے کا سنہری دور شروع کیا۔


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
and so the following theorem is potentially easier to prove than Theorem 11.9: Theorem 11.13— Uncomputability of quantified mixed statements.

Response: وبالتالي، فإن المبرهنة التالية أسهل في الإثبات من المبرهنة 11.9: المبرهنة 11.13 - عدم قابلية الحساب للعبارات المختلطة الكمية.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Time complexity is extremely important to both the theory and practice of computing, but in introductory courses, coding interviews, and software development, terms such as “푂(푛)running time” are of- ten used in an informal way.

Response: समय जटिलता कंप्यूटिंग के सिद्धांत और व्यवहार दोनों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है, लेकिन परिचयात्मक पाठ्यक्रमों, कोडिंग इंटरव्यू और सॉफ्टवेयर विकास में, “푂(푛) रनिंग टाइम” जैसे शब्दों का अक्सर अनौपचारिक तरीके से उपयोग किया जाता है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
In this chapter we discuss several examples of important computa- tional problems. Many of the problems will involvegraphs.

Response: في هذا الفصل ، نناقش العديد من الأمثلة على المشكلات الحسابية الهامة. ستتضمن العديد من المشكلات رسومًا بيانية.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
If you want to explore the field of algorithms and data structures more deeply (which I very much hope you do!), the bibliographical notes contain references to some excellent texts, some of which are available freely on the web.

Response: यदि आप एल्गोरिदम और डेटा संरचनाओं के क्षेत्र को और अधिक गहराई से तलाशना चाहते हैं (जो मुझे बहुत उम्मीद है कि आप करेंगे!), तो ग्रंथ सूची में कुछ उत्कृष्ट ग्रंथों के संदर्भ शामिल हैं, जिनमें से कुछ वेब पर मुफ्त में उपलब्ध हैं।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
One might think that changing from two to three would not make that much of a difference for complexity. One would be wrong.

Response: قد يظن المرء أن التغيير من اثنين إلى ثلاثة لن يحدث فرقًا كبيرًا في التعقيد. سيكون المرء مخطئًا.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
we saw a few examples of elements in the latter set that are not in the former.

Response: لقد رأينا بعض الأمثلة للعناصر الموجودة في المجموعة الأخيرة والتي ليست موجودة في المجموعة الأولى.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
If the Church-Turing thesis holds then a function 퐹 that is uncomputable according to our definition cannot be computed by any means in our physical world.

Response: إذا كانت فرضية تشيرش-تورينج صحيحة، إذن، لا يمكن حساب الدالة 퐹، غير القابلة للحساب وفقًا لتعريفنا، بأي وسيلة في عالمنا المادي.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The DAO was at the time the biggest crowdfunding success in history.

Response: كانت منظمة DAO في ذلك الوقت أكبر نجاح في التمويل الجماعي في التاريخ.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We can use restricted computational models to bypass limitations such as uncomputability of the Halting problem and Rice’s Theorem.

Response: يمكننا استخدام نماذج حسابية مقيدة لتجاوز القيود مثل عدم قابلية حل مشكلة التوقف ونظرية رايس.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The expressive power of postscript can allow for short descriptions of very complex images, but it also gave rise to some nasty surprises, such as the attacks described in this pagerang- ing from using infinite loops as a denial of service attack, to accessing the printer’s file system.

Response: يمكن أن تسمح القوة التعبيرية لـ postscript بأوصاف قصيرة لصور معقدة للغاية، ولكنها أدت أيضًا إلى بعض المفاجآت السيئة، مثل الهجمات الموضحة في هذا النطاق من استخدام الحلقات اللانهائية كهجوم حجب خدمة، إلى الوصول إلى نظام ملفات الطابعة.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We have seen that seemingly simple computational models or sys- tems can turn out to be Turing complete.

Response: لقد رأينا أن النماذج الحسابية أو الأنظمة التي تبدو بسيطة يمكن أن تتحول إلى كاملة تورينج.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The idea was to create a smart contract that would create an autonomously run decentralized venture capital fund, without human managers, where shareholders could decide on investment opportunities.

Response: كانت الفكرة هي إنشاء عقد ذكي من شأنه أن ينشئ صندوق رأس مال استثماري لامركزي يعمل ذاتيًا، بدون مدراء بشريين، حيث يمكن للمساهمين أن يقرروا فرص الاستثمار.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We have seen that many models of computation are Turing equiva- lent, including Turing machines, NAND-TM/NAND-RAM programs, standard programming languages such as C/Python/Javascript, as well as other models such as the 휆calculus and even the game of life.

Response: لقد رأينا أن العديد من نماذج الحسابات متكافئة مع تورينج، بما في ذلك آلات تورينج، وبرامج NAND-TM/NAND-RAM، ولغات البرمجة القياسية مثل C/Python/Javascript، بالإضافة إلى نماذج أخرى مثل حساب 휆 وحتى لعبة الحياة.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The flip side of this is that for all these models, Rice’s theorem ( The- orem 9.15) holds as well, which means that any semantic property of programs in such a model is uncomputable.

Response: الجانب الآخر لهذا هو أنه بالنسبة لجميع هذه النماذج، تنطبق أيضًا نظرية رايس (النظرية 9.15)، مما يعني أن أي خاصية دلالية للبرامج في مثل هذا النموذج غير قابلة للحساب.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We can use restricted computational models to bypass limitations such as uncomputability of the Halting problem and Rice’s Theorem.

Response: يمكننا استخدام نماذج حسابية مقيدة لتجاوز القيود مثل عدم قابلية الحساب لمشكلة التوقف ونظرية رايس.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We have seen that seemingly simple computational models or sys- tems can turn out to be Turing complete.

Response: لقد رأينا أن النماذج الحسابية أو الأنظمة التي تبدو بسيطة يمكن أن تتحول إلى كاملة تورينج.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The idea was to create a smart contract that would create an autonomously run decentralized venture capital fund, without human managers, where shareholders could decide on investment opportunities.

Response: كانت الفكرة هي إنشاء عقد ذكي من شأنه أن ينشئ صندوق رأس مال استثماري لامركزي يعمل ذاتيًا، بدون مدراء بشريين، حيث يمكن للمساهمين أن يقرروا فرص الاستثمار.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We have seen that many models of computation are Turing equiva- lent, including Turing machines, NAND-TM/NAND-RAM programs, standard programming languages such as C/Python/Javascript, as well as other models such as the 휆calculus and even the game of life.

Response: لقد رأينا أن العديد من نماذج الحسابات متكافئة مع تورينج، بما في ذلك آلات تورينج، وبرامج NAND-TM/NAND-RAM، ولغات البرمجة القياسية مثل C/Python/Javascript، بالإضافة إلى نماذج أخرى مثل حساب 휆 وحتى لعبة الحياة.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The flip side of this is that for all these models, Rice’s theorem ( The- orem 9.15) holds as well, which means that any semantic property of programs in such a model is uncomputable.

Response: الجانب الآخر لهذا هو أنه بالنسبة لجميع هذه النماذج، تنطبق أيضًا نظرية رايس (النظرية 9.15)، مما يعني أن أي خاصية دلالية للبرامج في مثل هذا النموذج غير قابلة للحساب.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
لقد رأينا بعض الأمثلة للعناصر الموجودة في المجموعة الأخيرة والتي ليست موجودة في المجموعة الأولى.

Response: We saw a few examples of elements in the latter set that are not in the former.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
إذا كانت فرضية تشيرش-تورينج صحيحة، إذن، لا يمكن حساب الدالة 퐹، غير القابلة للحساب وفقًا لتعريفنا، بأي وسيلة في عالمنا المادي.

Response: If the Church-Turing thesis holds then a function 퐹 that is uncomputable according to our definition cannot be computed by any means in our physical world.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
كانت منظمة DAO في ذلك الوقت أكبر نجاح في التمويل الجماعي في التاريخ.

Response: The DAO was at the time the biggest crowdfunding success in history.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
يمكننا استخدام نماذج حسابية مقيدة لتجاوز القيود مثل عدم قابلية حل مشكلة التوقف ونظرية رايس.

Response: We can use restricted computational models to bypass limitations such as uncomputability of the Halting problem and Rice’s Theorem.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
يمكن أن تسمح القوة التعبيرية لـ postscript بأوصاف قصيرة لصور معقدة للغاية، ولكنها أدت أيضًا إلى بعض المفاجآت السيئة، مثل الهجمات الموضحة في هذا النطاق من استخدام الحلقات اللانهائية كهجوم حجب خدمة، إلى الوصول إلى نظام ملفات الطابعة.

Response: The expressive power of postscript can allow for short descriptions of very complex images, but it also gave rise to some nasty surprises, such as the attacks described in this pagerang- ing from using infinite loops as a denial of service attack, to accessing the printer’s file system.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
لقد رأينا أن النماذج الحسابية أو الأنظمة التي تبدو بسيطة يمكن أن تتحول إلى كاملة تورينج.

Response: We have seen that seemingly simple computational models or sys- tems can turn out to be Turing complete.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
كانت الفكرة هي إنشاء عقد ذكي من شأنه أن ينشئ صندوق رأس مال استثماري لامركزي يعمل ذاتيًا، بدون مدراء بشريين، حيث يمكن للمساهمين أن يقرروا فرص الاستثمار.

Response: The idea was to create a smart contract that would create an autonomously run decentralized venture capital fund, without human managers, where shareholders could decide on investment opportunities.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
لقد رأينا أن العديد من نماذج الحسابات متكافئة مع تورينج، بما في ذلك آلات تورينج، وبرامج NAND-TM/NAND-RAM، ولغات البرمجة القياسية مثل C/Python/Javascript، بالإضافة إلى نماذج أخرى مثل حساب 휆 وحتى لعبة الحياة.

Response: We have seen that many models of computation are Turing equiva- lent, including Turing machines, NAND-TM/NAND-RAM programs, standard programming languages such as C/Python/Javascript, as well as other models such as the 휆calculus and even the game of life.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
الجانب الآخر لهذا هو أنه بالنسبة لجميع هذه النماذج، تنطبق أيضًا نظرية رايس (النظرية 9.15)، مما يعني أن أي خاصية دلالية للبرامج في مثل هذا النموذج غير قابلة للحساب.

Response: The flip side of this is that for all these models, Rice’s theorem ( The- orem 9.15) holds as well, which means that any semantic property of programs in such a model is uncomputable.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
يمكننا استخدام نماذج حسابية مقيدة لتجاوز القيود مثل عدم قابلية الحساب لمشكلة التوقف ونظرية رايس.

Response: We can use restricted computational models to bypass limitations such as uncomputability of the Halting problem and Rice’s Theorem.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Turing machines with more than one working tape.

Response: آلات تورينغ ذات أكثر من شريط عمل واحد.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
P = ∪ 푐∈{1,2,3,...} TIME TM (푛 푐 ). That is,퐹 ∈Pif there is an algorithm to compute퐹that runs in time at mostpolynomial(i.e., at most푛 푐 for some constant푐) in the length of the input.

Response: P = ∪ 푐∈{1,2,3,...} TIME TM (푛 푐 ). أي أنه، 퐹 ∈P إذا كانت هناك خوارزمية لحساب 퐹 تعمل في وقت على الأكثر متعدد الحدود (أي، على الأكثر 푛 푐 لبعض الثابت 푐) في طول المدخلات.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
आमतौर पर, हम बहुपद और घातीय समय के बीच के अंतर पर ध्यान देंगे।

Response: We will mostly care about the difference between polynomial and exponential time.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
चूंकि घातीय समय बहुपद समय की तुलना में बहुत बड़ा है, इसलिए P ⊆ EXP।

Response: Since exponential time is much larger than polynomial time, P ⊆ EXP.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Given any Turing machine푀, input푥, and “step budget”푇, we can simulate the execution of푀for푇steps in time that is polynomial in modeling running time.

Response: بالنظر إلى أي آلة تورينج 푀، والإدخال 푥، و "ميزانية الخطوة" 푇، يمكننا محاكاة تنفيذ 푀 لـ 푇 خطوات في وقت كثير الحدود في وقت التشغيل النموذجي.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Theorem 13.8 states that there is such a machine that runs in time polynomial in 푇.

Response: نظرية 13.8 تنص على أنه توجد مثل هذه الآلة التي تعمل في وقت كثير الحدود في 푇.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The time hierarchy theorem tells us that there are functions we can compute in 푂(푛 2 )time but not 푂(푛), in 2 푛 time, but not 2 √ 푛 , etc..

Response: نظرية التسلسل الزمني الهرمي تخبرنا أنه توجد دوال يمكننا حسابها في وقت 푂(푛 2 ) ولكن ليس 푂(푛)، في وقت 2 푛 ، ولكن ليس 2 √ 푛 ، إلخ.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The time hierarchy theorem relies on the existence of an efficient universal NAND-RAM program, as proven in Theorem 13.7.

Response: समय पदानुक्रम प्रमेय एक कुशल सार्वभौमिक NAND-RAM प्रोग्राम के अस्तित्व पर निर्भर करता है, जैसा कि प्रमेय 13.7 में सिद्ध किया गया है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The condition 퐹 ∈P means that there is asingleTuring machine푀that computes 퐹on all inputs in polynomial time.

Response: शर्त 퐹 ∈P का अर्थ है कि एक ही ट्यूरिंग मशीन푀 है जो सभी इनपुट पर बहुपद समय में 퐹 की गणना करती है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Theorem 13.12 shows that for every 푐, TIME(푛 푐 ) ⊆ SIZE(푛 푐푎 )and henceP⊆P /poly .

Response: प्रमेय 13.12 दिखाता है कि प्रत्येक 푐 के लिए, TIME(푛 푐 ) ⊆ SIZE(푛 푐푎 ) और इसलिएP⊆P /poly ।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The proof of Theorem 13.12 is algorithmic, in the sense that the proof yields a polynomial-time algorithm that given a Turing machine푀 and parameters푇 and푛, produces a circuit of 푂(푇 2 )gates that agrees with푀on all inputs 푥 ∈ {0,1} 푛 (as long as푀runs for less than푇 steps these inputs.)

Response: प्रमेय 13.12 का प्रमाण एल्गोरिथम है, इस अर्थ में कि प्रमाण एक बहुपद-समय एल्गोरिथम उत्पन्न करता है जो एक ट्यूरिंग मशीन푀 और मापदंडों푇 और푛 को देखते हुए, 푂(푇 2 ) गेट्स का एक सर्किट उत्पन्न करता है जो सभी इनपुट 푥 ∈ {0,1} 푛 पर푀 के साथ सहमत होता है (जब तक कि푀 इन इनपुट के लिए푇 चरणों से कम समय तक चलता है।)


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Given any Turing machine 푀, input 푥, and “step budget” 푇, we can simulate the execution of 푀 for 푇 steps in time that is polynomial in modeling running time.

Response: किसी भी ट्यूरिंग मशीन 푀, इनपुट 푥, और “स्टेप बजट” 푇 को देखते हुए, हम रनिंग टाइम को मॉडल करने में बहुपद समय में 푇 चरणों के लिए 푀 के निष्पादन का अनुकरण कर सकते हैं।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The time hierarchy theorem tells us that there are functions we can compute in 푂(푛 2 )time but not 푂(푛), in 2 푛 time, but not 2 √ 푛 , etc..

Response: समय पदानुक्रम प्रमेय हमें बताता है कि ऐसे कार्य हैं जिनकी गणना हम 푂(푛 2 ) समय में कर सकते हैं लेकिन 푂(푛) नहीं, 2 푛 समय में, लेकिन 2 √ 푛 नहीं, आदि।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The time hierarchy theorem relies on the existence of an efficient universal NAND-RAM program, as proven in Theorem 13.7.

Response: समय पदानुक्रम प्रमेय एक कुशल सार्वभौमिक NAND-RAM प्रोग्राम के अस्तित्व पर निर्भर करता है, जैसा कि प्रमेय 13.7 में सिद्ध किया गया है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We will reduce 3SAT to the latter problems, demonstrating that solving any one of them efficiently will result in an efficient algorithm for 3SAT.

Response: سنقوم باختزال 3SAT إلى المشاكل الأخيرة، موضحين أن حل أي منها بكفاءة سيؤدي إلى خوارزمية فعالة لـ 3SAT.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We now claim that 푥 ∗ is a satisfying assignment for φ. Indeed, since 𝑆 ∗ is an independent set, it cannot have more than one vertex inside each one of the 𝑚 triangles (𝐶, 𝑦), (𝐶, 𝑦′), (𝐶, 𝑦′′) corresponding to a clause of φ.

Response: دعونا ندعي الآن أن 푥 ∗ هو تعيين مُرضٍ لـ φ. في الواقع، نظرًا لأن 𝑆 ∗ مجموعة مستقلة، فلا يمكن أن تحتوي على أكثر من رأس واحد داخل كل من المثلثات 𝑚 (𝐶, 𝑦)، (𝐶, 𝑦′)، (𝐶, 𝑦′′) المقابلة لبند من φ.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
إذا كانت 𝑆 ⊆ 𝑉 هي مجموعة تغطية رؤوس تلامس جميع الحواف، فإنه لا توجد حافة 𝑒 بحيث تكون كلتا نقطتي نهايتها في المجموعة 𝑆 = 𝑉⧵𝑆، والعكس صحيح.

Response: If 𝑆 ⊆ 𝑉 is a vertex cover that touches all edges, then there is no edge 𝑒 such that both of its endpoints are in the set 𝑆 = 𝑉⧵𝑆, and vice versa.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We have shown that there are a number of functions F for which we can prove a statement of the form “If F ∈ P then 3SAT ∈ P”. Hence coming up with a polynomial-time algorithm for even one of these problems will entail a polynomial-time algorithm for 3SAT.

Response: لقد أظهرنا وجود عدد من الدوال F التي يمكننا من أجلها إثبات عبارة من النموذج "إذا كانت F ∈ P إذن 3SAT ∈ P". وبالتالي، فإن التوصل إلى خوارزمية متعددة الحدود لأحد هذه المشاكل سيستلزم خوارزمية متعددة الحدود لـ 3SAT.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The worst-case complexity of all these problems is (up to polynomial factors) equivalent to that of 3SAT, and through the Cook-Levin Theorem, to all problems inNP.

Response: جميع هذه المشاكل لها تعقيد في أسوأ الحالات (حتى العوامل متعددة الحدود) يعادل تعقيد 3SAT، ومن خلال نظرية كوك-ليفن، لجميع المشاكل في NP.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
At the time of writing, the fastest known algorithm for3SATre- quires more than2 0.35푛 to solve푛variable formulas, while we do not even know how to rule out the possibility that we can compute3SAT using10푛gates.

Response: في وقت كتابة هذا التقرير، تتطلب أسرع خوارزمية معروفة لـ 3SAT أكثر من 2^0.35n لحل صيغ n متغير، بينما لا نعرف حتى كيف نستبعد إمكانية أن نتمكن من حساب 3SAT باستخدام 10^n بوابة.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
NAND-CIRC programs are equiv- alent to Boolean circuits, the search problem corresponding to (16.3) known as the circuit minimization problemand is widely studied in Engineering.

Response: برامج NAND-CIRC تعادل الدوائر المنطقية، ومشكلة البحث المقابلة لـ (16.3) والمعروفة باسم مشكلة تصغير الدائرة، والتي يتم دراستها على نطاق واسع في الهندسة.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
For example is푎 = 3 we would want to check if given the board position푥,there existsa move푦for White such thatfor everymove푧for Blackthere existsa move푤for White that ends in a a checkmate.

Response: उदाहरण के लिए, यदि 푎 = 3 है, तो हम यह जांचना चाहेंगे कि बोर्ड की स्थिति 푥 को देखते हुए, क्या श्वेत के लिए एक चाल 푦 मौजूद है, जैसे कि काले के लिए हर चाल 푧 के लिए श्वेत के लिए एक चाल 푤 मौजूद है जो एक चेकमेट में समाप्त होती है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
For every 푥 ∈ {0,1} 푛 ,푀(푎 푛 ,푥) = 퐹(푥).

Response: Para cada 푥 ∈ {0,1} 푛 ,푀(푎 푛 ,푥) = 퐹(푥).


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The time hierarchy theorem shows that there are some problems that can be solved in exponential, but not in polynomial time.

Response: نظرية تسلسل الوقت تُظهر أنه توجد بعض المشكلات التي يمكن حلها في وقت أُسي، ولكن ليس في وقت كثير الحدود.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We say that a Turing machine 푀 is oblivious if there is some function 푇 ∶ ℕ × ℕ → ℤ such that for every input 푥 of length 푛, and 푡 ∈ ℕ it holds that: • If 푀 takes more than 푡 steps to halt on the input 푥, then in the 푡- th step 푀’s head will be in the position 푇(푛, 푡).

Response: हम कहते हैं कि एक ट्यूरिंग मशीन 푀 विस्मृत है यदि कोई फ़ंक्शन 푇 ∶ ℕ × ℕ → ℤ है जैसे कि लंबाई 푛 के प्रत्येक इनपुट 푥 के लिए, और 푡 ∈ ℕ यह धारण करता है कि: • यदि 푀 इनपुट 푥 पर रुकने में 푡 से अधिक कदम लेता है, तो 푡-वें चरण में 푀 का सिर स्थिति 푇(푛, 푡) में होगा।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Suppose that 퐹 is such that 퐹 ↾푛 has a “short” NAND-CIRC program for every 푛. Can we say that it must be in TIME(푇(푛)) for some “small” 푇?

Response: فرض کریں کہ 퐹 ایسا ہے کہ 퐹 ↾푛 کے پاس ہر 푛 کے لیے ایک “مختصر” NAND-CIRC پروگرام ہے۔ کیا ہم کہہ سکتے ہیں کہ اسے کسی “چھوٹے” 푇 کے لیے TIME(푇(푛)) میں ہونا چاہیے؟


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We can define the time complexity of a function using NAND-TM programs, and similarly to the notion of computability, this appears to capture the inherent complexity of the function.

Response: يمكننا تحديد تعقيد الوقت للدالة باستخدام برامج NAND-TM، وعلى غرار مفهوم القابلية للحساب، يبدو أن هذا يلتقط التعقيد المتأصل للدالة.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
If 퐹 is uniformly computable in time 푇(푛) then there is a sequence of circuits 퐶 1 , 퐶 2 ,...where 퐶 푛 has 푝표푙푦(푇(푛)) gates and computes 퐹 ↾푛 (i.e., restriction of 퐹 to {0,1} 푛 ) for every 푛.

Response: إذا كان 퐹 قابلاً للحساب بشكل موحد في الوقت 푇(푛) ، فهناك سلسلة من الدوائر 퐶 1 ، 퐶 2 ، ... حيث يحتوي 퐶 푛 على بوابات 푝표푙푦(푇(푛)) ويحسب 퐹 ↾푛 (أي ، تقييد 퐹 إلى {0,1} 푛 ) لكل 푛.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The reverse direction is not necessarily true - there are examples of functions 퐹 ∶ {0,1} 푛 → {0,1} such that 퐹 ↾푛 can be computed by even a constant size circuit but 퐹 is uncomputable.

Response: الجهة المعاكسة ليست بالضرورة صحيحة - هناك أمثلة على الدوال 퐹 ∶ {0,1} 푛 → {0,1} بحيث يمكن حساب 퐹 ↾푛 بواسطة دائرة ذات حجم ثابت، ولكن 퐹 غير قابلة للحساب.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We say that 퐹 reduces to 퐺, denoted by 퐹 ≤ 푝 퐺 if there is a polynomial-time computable 푅 ∶ {0,1} ∗ → {0,1} ∗ such that for every 푥 ∈ {0,1} ∗ , 퐹(푥) = 퐺(푅(푥)).

Response: हम कहते हैं कि 퐹 퐺 तक कम हो जाता है, जिसे 퐹 ≤ 푝 퐺 द्वारा दर्शाया गया है यदि एक बहुपद-समय गणना योग्य 푅 ∶ {0,1} ∗ → {0,1} ∗ है जैसे कि प्रत्येक 푥 ∈ {0,1} ∗ के लिए, 퐹(푥) = 퐺(푅(푥))।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We show that if there was an hypothetical efficient algorithm for 퐺 (a “whistling pig”) then since 퐹 ≤ 푝 퐺 then there would be an efficient algorithm for 퐹 (a “flying horse”).

Response: نوضح أنه إذا كان هناك خوارزمية فعالة افتراضية لـ 퐺 (خنزير يصفر) ، فبما أن 퐹 ≤ 푝 퐺 ، فسيكون هناك خوارزمية فعالة لـ 퐹 (حصان طائر).


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
In this chapter we will see evidence (though no proof!) that all of the above problems do not have polynomial-time algorithms and hence are inherently intractable.

Response: في هذا الفصل، سنرى أدلة (على الرغم من عدم وجود إثبات!) على أن جميع المشكلات المذكورة أعلاه ليس لديها خوارزميات متعددة الحدود وبالتالي فهي مستعصية بطبيعتها.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The longest path problem corresponds to the function LONGPATH∶ {0,1} ∗ → {0,1} that maps a graph 퐺 and a number 푘 to 1 if there is a simple path in 퐺 of length at least 푘, and maps (퐺, 푘) to 0 otherwise.

Response: تتطابق مشكلة أطول مسار مع الدالة LONGPATH∶ {0,1} ∗ → {0,1} التي تعين رسمًا بيانيًا 퐺 ورقمًا 푘 إلى 1 إذا كان هناك مسار بسيط في 퐺 بطول 푘 على الأقل، وتعطي (퐺, 푘) إلى 0 بخلاف ذلك.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The maximum cut problem corresponds to the function MAXCUT∶ {0,1} ∗ → {0,1} that maps a graph 퐺 and a number 푘 to 1 if there is a cut in 퐺 that cuts at least 푘 edges, and maps (퐺, 푘) to 0 otherwise.

Response: تتطابق مشكلة القطع الأقصى مع الدالة MAXCUT∶ {0,1} ∗ → {0,1} التي تعين رسمًا بيانيًا 퐺 ورقمًا 푘 إلى 1 إذا كان هناك قطع في 퐺 يقطع ما لا يقل عن 푘 حواف، ويعين (퐺, 푘) إلى 0 بخلاف ذلك.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The time hierarchy theorem shows that there are some problems that can be solved in exponential, but not in polynomial time.

Response: समय पदानुक्रम प्रमेय से पता चलता है कि कुछ ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें घातीय समय में हल किया जा सकता है, लेकिन बहुपद समय में नहीं।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We model the problems above as functions mapping {0,1} ∗ to {0,1} in the following way: 3SAT.

Response: हम उपरोक्त समस्याओं को इस प्रकार {0,1} ∗ से {0,1} तक मैपिंग करने वाले कार्यों के रूप में मॉडल करते हैं: 3SAT।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
For example 3SAT("(푥 0 ∨ 푥 1 ∨ 푥 2 )∧(푥 1 ∨ 푥 2 ∨ 푥 3 )∧(푥 0 ∨ 푥 2 ∨ 푥 3 )") = 1 since the assignment 푥 = 1101 satisfies the input formula.

Response: उदाहरण के लिए 3SAT("(푥 0 ∨ 푥 1 ∨ 푥 2 )∧(푥 1 ∨ 푥 2 ∨ 푥 3 )∧(푥 0 ∨ 푥 2 ∨ 푥 3 )") = 1 क्योंकि असाइनमेंट 푥 = 1101 इनपुट सूत्र को संतुष्ट करता है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
All of the problems above are in EXP but it is not known whether or not they are in P.

Response: उपरोक्त सभी समस्याएं EXP में हैं लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि वे P में हैं या नहीं।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
However, we will see in this chapter that if either QUADEQ, LONGPATH or MAXCUT are in P, then so is 3SAT.

Response: हालांकि, हम इस अध्याय में देखेंगे कि यदि QUADEQ, LONGPATH या MAXCUT में से कोई भी P में है, तो 3SAT भी है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
A polynomial-time reduction (or sometimes just “reduction” for short) from 퐹 to 퐺 is a way to show that 퐹 is “no harder” than 퐺, in the sense that a polynomial-time algorithm for 퐺 implies a polynomial-time algorithm for 퐹.

Response: 퐹 से 퐺 तक एक बहुपद-समय में कमी (या कभी-कभी संक्षेप में “कमी”) यह दिखाने का एक तरीका है कि 퐹 퐺 से “अधिक कठिन नहीं” है, इस अर्थ में कि 퐺 के लिए एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म 퐹 के लिए एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म का तात्पर्य है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We say that 퐹 and 퐺 have equivalent complexity if 퐹 ≤ 푝 퐺 and 퐺 ≤ 푝 퐹.

Response: हम कहते हैं कि 퐹 और 퐺 की जटिलता समतुल्य है यदि 퐹 ≤ 푝 퐺 और 퐺 ≤ 푝 퐹।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
If we have proven (or have evidence) that there exists no polynomial-time algorithm for 퐹 and 퐹 ≤ 푝 퐺 then the existence of this reduction allows us to conclude that there exists no polynomial-time algorithm for 퐺.

Response: यदि हमने यह साबित कर दिया है (या हमारे पास सबूत हैं) कि 퐹 के लिए कोई बहुपद-समय एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं है और 퐹 ≤ 푝 퐺 तो इस कमी के अस्तित्व से हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति मिलती है कि 퐺 के लिए कोई बहुपद-समय एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
One of the first applications involved the very same John von Neumann. While he was sick in bed and playing cards, Stan Ulam came up with the ob- servation that calculating statistics of a system could be done much faster by running several randomized simulations.

Response: كانت إحدى أولى التطبيقات التي شملت جون فون نيومان نفسه. بينما كان مريضًا في السرير ويلعب الورق، توصل ستان يولام إلى الملاحظة القائلة بأنه يمكن حساب إحصائيات النظام بشكل أسرع بكثير عن طريق تشغيل العديد من المحاكاة العشوائية.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
في هذا الفصل، سنرى بعض الأمثلة على الخوارزميات العشوائية التي تستخدم العشوائية لحساب كمية بطريقة أسرع أو أبسط مما كان معروفًا بخلاف ذلك.

Response: In this chapter, we will see some examples of randomized algorithms that use randomness to compute a quantity in a faster or simpler way than was known otherwise.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
at the end of the day, it simply says that if푋and푌are random variables that depend on two disjoint sets푆and푇of coins (for example,푋might be the sum of the first푛/2coins, and푌might be the largest consecutive stretch of zeroes in the second푛/2 coins), then they are independent.

Response: في نهاية المطاف، ينص ببساطة على أنه إذا كانت 푋 و 푌 متغيرات عشوائية تعتمد على مجموعتين منفصلتين 푆 و 푇 من العملات المعدنية (على سبيل المثال، قد يكون 푋 هو مجموع أول 푛/2 عملات معدنية، و 푌 قد يكون أكبر سلسلة متتالية من الأصفار في ثاني 푛/2 عملات معدنية)، إذن فهما مستقلان.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
في نهاية المطاف، ينص ببساطة على أنه إذا كانت 푋 و 푌 متغيرات عشوائية تعتمد على مجموعتين منفصلتين 푆 و 푇 من العملات المعدنية (على سبيل المثال، قد يكون 푋 هو مجموع أول 푛/2 عملات معدنية، و 푌 قد يكون أكبر سلسلة متتالية من الأصفار في ثاني 푛/2 عملات معدنية)، إذن فهما مستقلان.

Response: Ultimately, it simply states that if X and Y are random variables that depend on two disjoint sets S and T of coins (for example, X might be the sum of the first n/2 coins, and Y might be the largest consecutive stretch of zeroes in the second n/2 coins), then they are independent.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
not hard to see that if퐹is inBPPthen it can be computed in exponentialtime.

Response: ليس من الصعب رؤية أنه إذا كانت 퐹 في BPP ، فيمكن حسابها في وقت أُسي.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The proof ofTheorem 20.7readily follows by enumer- ating over all the (exponentially many) choices for the random coins.

Response: प्रमेय 20.7 का प्रमाण आसानी से यादृच्छिक सिक्कों के सभी (घातीय रूप से कई) विकल्पों पर विचार करके प्राप्त किया जाता है।


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
We will use the following result: Theorem 19.7— Schwartz–Zippel lemma. For every integer푞, and polynomial푃 ∶ ℝ 푛 → ℝwith integer coefficients. If푃has degree at most푑and is not identically zero, then it has at most푑푞 푛−1 roots in the set[푞] 푛 = {(푥 0 ,...,푥 푛−1 ) ∶ 푥 푖 ∈ {0,...,푞 −1}}.

Response: سنستخدم النتيجة التالية: المبرهنة 19.7 - مبرهنة شوراتز-زيبيل. لكل عدد صحيح 푞، ولكل كثير حدود 푃 ∶ ℝ 푛 → ℝ بمعاملات صحيحة. إذا كان لـ푃 درجة على الأكثر 푑 وليست متطابقة مع الصفر، فإن لها على الأكثر 푑푞 푛−1 جذراً في المجموعة [푞] 푛 = {(푥 0 ,...,푥 푛−1 ) ∶ 푥 푖 ∈ {0,...,푞 −1}}.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
To prove CLAIM II it is enough to show that Pr[GOOD] > 0, since that means that in particular there must exist shifts 푠 0 ,...,푠 100푚−1 that satisfy this condition.

Response: لإثبات المطالبة الثانية، يكفي إظهار أن Pr[GOOD] > 0، لأن ذلك يعني أنه على وجه الخصوص يجب أن توجد تحولات 푠 0 ,...,푠 100푚−1 تحقق هذا الشرط.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The Soviets have used the one- time pad for their confidential communication since before the 1940’s. In fact, even before Shannon’s work, the U. S. intelligence already knew in 1941 that the one-time pad is in principle “unbreakable”.

Response: استخدم السوفييت مفتاح التشفير لمرة واحدة في اتصالاتهم السرية منذ ما قبل الأربعينيات. في الواقع، حتى قبل عمل شانون، كانت المخابرات الأمريكية تعرف بالفعل في عام 1941 أن مفتاح التشفير لمرة واحدة "غير قابل للكسر" من حيث المبدأ.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Regarding the first question, it is not hard to show that if, for ex- ample, Alice uses a computationally secret encryption algorithm to encrypt either “attack” or “retreat” (each chosen with probability 1/2), then as long as she’s restricted to polynomial-time algorithms, an adversary Eve will not be able to guess the message with probability better than, say,0.51, even after observing its encrypted form.

Response: فيما يتعلق بالسؤال الأول، ليس من الصعب إظهار أنه إذا استخدمت أليس، على سبيل المثال، خوارزمية تشفير سرية حسابيًا لتشفير إما "هجوم" أو "تراجع" (يتم اختيار كل منهما باحتمال 1/2)، فإنه طالما أنها تقتصر على خوارزميات زمنية متعددة الحدود، فلن يتمكن الخصم إيف من تخمين الرسالة باحتمال أفضل من، على سبيل المثال، 0.51، حتى بعد ملاحظة شكلها المشفر.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
Suppose that we buy one of those baseball pitching machines, and aim it at a soft plastic wall, but put ametal barrier with a single slitbetween the machine and the plastic wall (seeFig. 23.1).

Response: لنفترض أننا نشتري إحدى آلات رمي البيسبول تلك، و نوجهها نحو جدار بلاستيكي ناعم، ولكن نضع حاجزًا معدنيًا بفتحة واحدة بين الآلة والجدار البلاستيكي (انظر الشكل 23.1).


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
आश्चर्यजनक रूप से, यदि हम एक “फोटॉन गन” (अर्थात, एक लेज़र) से एक दीवार पर शूट करते हैं जो कुछ बाधा के माध्यम से फोटॉन डिटेक्टरों से सुसज्जित है, तो (जैसा कि चित्र 23.2 में दिखाया गया है) दीवार की कुछ स्थितियों में हमें कम हिट दिखाई देंगी जब दो स्लिट खुले हों, बजाय इसके कि जब उनमें से केवल एक खुला हो।

Response: Amazingly, if we shoot with a “photon gun” (i.e., a laser) at a wall equipped with photon detectors through some barrier, then (as shown in Fig. 23.2) in some positions of the wall we will see fewer hits when the two slits are open than when only one of them is.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
If you are confused by quantum mechanics, you are not alone: for decades people have been trying to come up with explanations for “the underlying reality” behind quan- tum mechanics, including Bohmian Mechanics, Many Worldsand others.

Response: إذا كنت مرتبكًا بميكانيكا الكم، فأنت لست وحدك: فعلى مدى عقود، يحاول الناس التوصل إلى تفسيرات لـ "الواقع الأساسي" وراء ميكانيكا الكم، بما في ذلك ميكانيكا بوهم، والعوالم المتعددة، وغيرها.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
If we play a chord by playing several notes at once, we get a more complex periodic function obtained by combining the functions of the individual notes (see Fig. 23.5).

Response: إذا عزفنا وترًا عن طريق تشغيل عدة نغمات في وقت واحد، نحصل على دالة دورية أكثر تعقيدًا يتم الحصول عليها عن طريق دمج دوال النغمات الفردية (انظر الشكل 23.5).


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
The key quantum ingredient in Shor’s algorithm is thequantum fourier transform.

Response: المكون الكمي الرئيسي في خوارزمية شور هو تحويل فورييه الكمي.


Prompt:
Translate the following text from en to ar:
doi: 10.1017/CHOL9780521571999.026. 654 introduction to theoretical computer science [LZ19]Harry Lewis and Rachel Zax.

Response: رقم التعريف الرقمي: 10.1017/CHOL9780521571999.026. 654 مقدمة في علوم الحاسوب النظرية [LZ19] هاري لويس وراشيل زاكس.


Prompt:
Translate the following text from ar to en:
[MR95]Rajeev Motwani and Prabhakar Raghavan. Randomized algorithms. Cambridge university press, 1995.

Response: [MR95] راجيف موتواني وبرابهاكار راغافان. خوارزميات عشوائية. مطبعة جامعة كامبريدج، 1995.