The algorithm efficiently solves the problem.

അൽഗോരിതം പ്രശ്നം കാര്യക്ഷമമായി പരിഹരിക്കുന്നു.


Multiplication is a fundamental arithmetic operation.

ഗുണനം ഒരു അടിസ്ഥാന ഗണിത ക്രിയയാണ്.


The student understood the concept quickly.

വിദ്യാർത്ഥി ആശയം പെട്ടെന്ന് മനസ്സിലാക്കി.


Can you explain the algorithm in simpler terms?

അൽഗോരിതം ലളിതമായ രീതിയിൽ വിശദീകരിക്കാമോ?


The research paper presents a novel approach.

ഗവേഷണ പ്രബന്ധം ഒരു പുതിയ സമീപനം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.


He is a renowned mathematician in the field.

അദ്ദേഹം ഈ രംഗത്തെ പ്രശസ്തനായ ഒരു ഗണിതജ്ഞനാണ്.


The complexity of the problem increased significantly.

പ്രശ്നത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണത വളരെയധികം വർദ്ധിച്ചു.


The algorithm's efficiency is a key factor.

അൽഗോരിതത്തിന്റെ കാര്യക്ഷമത ഒരു പ്രധാന ഘടകമാണ്.


The professor discussed the implications of the theorem.

അധ്യാപകൻ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അനന്തരഫലങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചർച്ച ചെയ്തു.


The algorithm uses recursion to solve the problem.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ അൽഗോരിതം റിക്രൂഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


The computational model is based on Turing machines.

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ മാതൃക ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.


The proof demonstrates the algorithm's correctness.

തെളിവ് അൽഗോരിതത്തിന്റെ ശരിതെളിയിക്കുന്നു.


The research explores the limits of computation.

ഗവേഷണം കമ്പ്യൂട്ടേഷന്റെ പരിധികൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നു.


The algorithm's time complexity is analyzed.

അൽഗോരിതത്തിന്റെ സമയ സങ്കീർണ്ണത വിശകലനം ചെയ്യുന്നു.


The paper presents a novel approach to matrix multiplication.

മാട്രിക്സ് ഗുണനത്തിനായുള്ള ഒരു പുതിയ സമീപനം ഈ പേപ്പർ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.


The implications of the theorem are far-reaching.

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അനന്തരഫലങ്ങൾ വളരെ ദൂരവ്യാപകമാണ്.


The study delves into the intricacies of the algorithm.

അൽഗോരിതത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണതകളെക്കുറിച്ച് ഈ പഠനം പറയുന്നു.


The algorithm's performance was evaluated under various conditions.

വിവിധ സാഹചര്യങ്ങളിൽ അൽഗോരിതത്തിന്റെ പ്രകടനം വിലയിരുത്തി.


The research contributes to the field of theoretical computer science.

ഈ ഗവേഷണം സൈദ്ധാന്തിക കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിന്റെ മേഖലയിലേക്ക് സംഭാവന നൽകുന്നു.


The algorithm's efficiency is paramount for large datasets.

വലിയ ഡാറ്റാ സെറ്റുകൾക്ക് അൽഗോരിതത്തിന്റെ കാര്യക്ഷമത വളരെ പ്രധാനമാണ്.


പാഠപുസ്തകം ഓണ്‍ലൈനായി ലഭ്യമാണ്.


Please report any issues on the GitHub repository.

GitHub ശേഖരത്തിൽ എന്തെങ്കിലും പ്രശ്നങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ അറിയിക്കുക.


This version was compiled on December 6th, 2023.

ഈ പതിപ്പ് 2023 ഡിസംബർ 6-ന് കംപൈൽ ചെയ്തതാണ്.


This work is licensed under a Creative Commons license.

ഈ കൃതി ക്രിയേറ്റീവ് കോമൺസ് ലൈസൻസിന് കീഴിലാണ്.


The book is dedicated to Ravit, Alma, and Goren.

ഈ പുസ്തകം രവിത്, അൽമ, ഗോറൻ എന്നിവർക്ക് സമർപ്പിക്കുന്നു.


Chapter 1 covers mathematical background.

ഒന്നാം അധ്യായത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ വിവരങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


We will explore computation and representation in detail.

കമ്പ്യൂട്ടേഷനും പ്രാതിനിധ്യവും നമ്മൾ വിശദമായി പഠിക്കും.


Finite computation is discussed in Part I.

ഒന്നാം ഭാഗത്ത് പരിമിതമായ കമ്പ്യൂട്ടേഷനെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു.


The concept of syntactic sugar is explained.

സിന്റാക്റ്റിക് ഷുഗർ എന്ന ആശയം വിശദീകരിക്കുന്നു.


Code can be treated as data, and data as code.

കോഡിനെ ഡാറ്റയായും ഡാറ്റയെ കോഡായും കണക്കാക്കാം.


Automata and regular expressions are important topics.

ഓട്ടോമാറ്റ, റെഗുലർ എക്സ്പ്രഷനുകൾ എന്നിവ പ്രധാനപ്പെട്ട വിഷയങ്ങളാണ്.


The book also covers efficient algorithms.

ഈ പുസ്തകത്തിൽ കാര്യക്ഷമമായ അൽഗോരിതങ്ങളെക്കുറിച്ചും പറയുന്നു.


What if P equals NP? This is a key question.

P, NP-ക്ക് തുല്യമായാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? ഇത് ഒരു പ്രധാന ചോദ്യമാണ്.


Probability theory is essential for understanding randomized computation.

റാൻഡമൈസ്ഡ് കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ മനസ്സിലാക്കാൻ സാധ്യത സിദ്ധാന്തം അത്യാവശ്യമാണ്.


Cryptography is discussed in the advanced topics section.

വിപുലമായ വിഷയങ്ങളിൽ ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫിയെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു.


The preface provides an introduction to the book.

മുഖവുര പുസ്തകത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ആമുഖം നൽകുന്നു.


This chapter serves as a reader's manual.

ഈ അധ്യായം ഒരു വായനക്കാരന്റെ മാനുവലായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു.


We will look at basic discrete math objects.

അടിസ്ഥാന ഡിസ്ക്രീറ്റ് ഗണിത വസ്തുക്കളെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് നോക്കാം.


Proofs are a fundamental part of this field.

തെളിവുകൾ ഈ മേഖലയുടെ അടിസ്ഥാനപരമായ ഭാഗമാണ്.


Defining computational tasks as mathematical functions is crucial.

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ടാസ്‌ക്കുകളെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഫംഗ്ഷനുകളായി നിർവചിക്കുന്നത് വളരെ പ്രധാനമാണ്.


Finding the shortest path in a graph is a fundamental problem in computer science.

ഗ്രാഫിലെ ഏറ്റവും ചെറിയ പാത കണ്ടെത്തുന്നത് കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലെ ഒരു അടിസ്ഥാന പ്രശ്നമാണ്.


The time hierarchy theorem is a core concept in computational complexity.

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ കോംപ്ലക്സിറ്റിയിലെ ഒരു പ്രധാന ആശയമാണ് സമയ ശ്രേണി സിദ്ധാന്തം.


Can uniform algorithms simulate non-uniform ones?

യൂണിഫോം അൽഗോരിതങ്ങൾക്ക് നോൺ-യൂണിഫോം അൽഗോരിതങ്ങളെ അനുകരിക്കാൻ കഴിയുമോ?


We will explore the concept of polynomial-time reductions.

പോളിനോമിയൽ-ടൈം റിഡക്ഷൻ എന്ന ആശയം നമ്മൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യും.


The Cook-Levin Theorem is a cornerstone of NP-completeness.

കുക്ക്-ലെവിൻ സിദ്ധാന്തം NP-കംപ്ലീറ്റ്നെസ്സിന്റെ ഒരു അടിസ്ഥാന ശിലയാണ്.


P, NP-ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും?


Randomized computation offers new approaches to problem-solving.

പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ പ്രശ്നപരിഹാരത്തിന് പുതിയ സമീപനങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.


Cryptography is essential for secure communication.

സുരക്ഷിതമായ ആശയവിനിമയത്തിന് ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫി അത്യാവശ്യമാണ്.


Quantum computing is a rapidly evolving field.

ക്വാണ്ടം കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് അതിവേഗം വളർന്നു വരുന്ന ഒരു മേഖലയാണ്.


The double-slit experiment demonstrates quantum phenomena.

ഡബിൾ-സ്ലിറ്റ് പരീക്ഷണം ക്വാണ്ടം പ്രതിഭാസങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കുന്നു.


This chapter discusses efficient algorithms.

ഈ അധ്യായത്തിൽ കാര്യക്ഷമമായ അൽഗോരിതങ്ങളെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു.


The book provides exercises at the end of each chapter.

ഓരോ അധ്യായത്തിൻ്റെയും അവസാനം ഈ പുസ്തകത്തിൽ പരിശീലന ചോദ്യങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട്.


Understanding the time complexity of an algorithm is crucial.

ഒരു അൽഗോരിതത്തിന്റെ സമയ സങ്കീർണ്ണത മനസ്സിലാക്കുന്നത് വളരെ പ്രധാനമാണ്.


The concept of Turing completeness is fundamental.

ട്യൂറിംഗ് പൂർണ്ണതയുടെ ആശയം അടിസ്ഥാനപരമാണ്.


Context-free grammars are used in programming language design.

പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷ രൂപകൽപ്പനയിൽ സന്ദർഭ-സ്വതന്ത്ര വ്യാകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


Gödel's Incompleteness Theorem has profound implications.

ഗൊഡേലിന്റെ അപൂർണ്ണതാ സിദ്ധാന്തത്തിന് വലിയ പ്രത്യാഘാതങ്ങൾ ഉണ്ട്.


We will analyze the hardness of quantified integer statements.

പരിമിതമായ പൂർണ്ണസംഖ്യാ പ്രസ്താവനകളുടെ കാഠിന്യം നമ്മൾ വിശകലനം ചെയ്യും.


The study of algorithms is a core area of computer science.

അൽഗോരിതങ്ങളുടെ പഠനം കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിന്റെ പ്രധാന മേഖലയാണ്.


This research explores the limits of computation.

ഈ ഗവേഷണം കമ്പ്യൂട്ടിങ്ങിന്റെ പരിധികൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നു.


The book provides bibliographical notes for further reading.

കൂടുതൽ വായനയ്ക്കായി ഈ പുസ്തകത്തിൽ ഗ്രന്ഥസൂചിക നൽകിയിട്ടുണ്ട്.


The book introduces the study of computation for its own sake.

കമ്പ്യൂട്ടിംഗിനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം അതിന്റെ താൽപ്പര്യങ്ങൾക്കായി ഈ പുസ്തകം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.


Algorithms are not just tools, but also ways of thinking and understanding.

അൽഗോരിതങ്ങൾ വെറും ഉപകരണങ്ങൾ മാത്രമല്ല, ചിന്തിക്കാനും മനസ്സിലാക്കാനുമുള്ള വഴികൾ കൂടിയാണ്.


The place-value system represents numbers as sequences of digits.

സ്ഥാനീയ മൂല്യ വ്യവസ്ഥ സംഖ്യകളെ അക്കങ്ങളുടെ ശ്രേണികളായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.


The educational goals of this book are to convey the following.

ഈ പുസ്തകത്തിന്റെ വിദ്യാഭ്യാസ ലക്ഷ്യങ്ങൾ താഴെ പറയുന്നവ എത്തിക്കുക എന്നതാണ്.


Computation arises in a variety of natural and human-made systems.

കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് വിവിധ പ്രകൃതിദത്തവും മനുഷ്യനിർമ്മിതവുമായ സംവിധാനങ്ങളിൽ ഉണ്ടാകുന്നു.


Computation also serves as a useful lens to describe natural concepts.

പ്രകൃതിദത്ത ആശയങ്ങൾ വിവരിക്കാൻ കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ഒരു ഉപയോഗപ്രദമായ ലെൻസായി വർത്തിക്കുന്നു.


The notion of universality of many different computational models.

വിവിധ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ മോഡലുകളുടെ സാർവത്രികത എന്ന ആശയം.


One can precisely define a mathematical model of computation.

ഒരാൾക്ക് കമ്പ്യൂട്ടിംഗിന്റെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക കൃത്യമായി നിർവചിക്കാൻ കഴിയും.


Some problems are inherently intractable.

ചില പ്രശ്നങ്ങൾ അന്തർലീനമായി ദുർഗ്രഹമാണ്.


We can use computational hardness for cryptographic purposes.

രഹസ്യസ്വഭാവമുള്ള കാര്യങ്ങൾക്കായി കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ കാഠിന്യം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും.


This book aims to introduce students to a new way of thinking.

പുതിയ രീതിയിൽ ചിന്തിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ പഠിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് ഈ പുസ്തകത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം.


The formal notation and model help elucidate the main ideas.

ഔപചാരികമായ സൂചകങ്ങളും മാതൃകയും പ്രധാന ആശയങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.


This book does not assume fluency with any particular programming language.

ഈ പുസ്തകം ഏതെങ്കിലും പ്രത്യേക പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷയിലുള്ള പ്രാവീണ്യം അനുമാനിക്കുന്നില്ല.


Proofs in this book are often constructive and algorithmic.

ഈ പുസ്തകത്തിലെ തെളിവുകൾ പലപ്പോഴും ഘടനാപരവും അൽഗോരിതവുമാണ്.


The best way to engage with this material is to read actively.

ഈ മെറ്റീരിയലുമായി ഇടപഴകാനുള്ള ഏറ്റവും നല്ല മാർഗം സജീവമായി വായിക്കുക എന്നതാണ്.


It is more important that you understand the definitions than the theorems.

സിദ്ധാന്തങ്ങളെക്കാൾ നിങ്ങൾ നിർവചനങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നത് പ്രധാനമാണ്.


This book contains some code snippets, but this is by no means a programming text.

ഈ പുസ്തകത്തിൽ ചില കോഡ് ഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ട്, പക്ഷേ ഇതൊരു പ്രോഗ്രാമിംഗ് ടെക്സ്റ്റ് അല്ല.


The main benefit of this book is not in teaching you any practical tool.

ഈ പുസ്തകത്തിന്റെ പ്രധാന നേട്ടം ഏതെങ്കിലും പ്രായോഗിക ഉപകരണം പഠിപ്പിക്കുക എന്നതല്ല.


Learning this material is important because it contains concepts that are both beautiful and fundamental.

ഈ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കുന്നത് പ്രധാനമാണ്, കാരണം ഇത് മനോഹരവും അടിസ്ഥാനപരവുമായ ആശയങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


The role that energy and matter played in the 20th century is played in the 21st by computation and information.

ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഊർജ്ജവും ദ്രവ്യവും വഹിച്ച പങ്ക് ഇരുപത്തിയൊന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ കമ്പ്യൂട്ടിംഗും വിവരസാങ്കേതികവിദ്യയും വഹിക്കുന്നു.


The algorithm's efficiency is a key factor in its performance.

അൽഗൊരിതത്തിന്റെ കാര്യക്ഷമത അതിന്റെ പ്രകടനത്തിൽ ഒരു പ്രധാന ഘടകമാണ്.


The computer performed calculations at an incredible speed.

കമ്പ്യൂട്ടർ അവിശ്വസനീയമായ വേഗതയിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തി.


Cryptography is essential for secure online transactions.

സുരക്ഷിതമായ ഓൺലൈൻ ഇടപാടുകൾക്ക് ക്രിപ്റ്റോഗ്രഫി അത്യാവശ്യമാണ്.


The company was founded on the principle of secure data storage.

സുരക്ഷിതമായ ഡാറ്റാ സംഭരണത്തിന്റെ തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് കമ്പനി സ്ഥാപിതമായത്.


Can you provide an example of a company that failed due to a lack of innovation?

പുതുമയില്ലാത്തതുകൊണ്ട് പരാജയപ്പെട്ട ഒരു കമ്പനിയുടെ ഉദാഹരണം നൽകാമോ?


The algorithm's complexity is analyzed using mathematical tools.

ഗണിതപരമായ ഉപകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അൽഗൊരിതത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണത വിശകലനം ചെയ്യുന്നു.


Implement the multiplication algorithm in your preferred programming language.

നിങ്ങളുടെ ഇഷ്ടമുള്ള പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷയിൽ ഗുണന അൽഗൊരിതം നടപ്പിലാക്കുക.


Matrix multiplication is a fundamental operation in linear algebra.

മാട്രിക്സ് ഗുണനം രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിലെ ഒരു അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനമാണ്.


The book provides a comprehensive overview of theoretical computer science.

ഈ പുസ്തകം സൈദ്ധാന്തിക കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിനെക്കുറിച്ച് സമഗ്രമായ വിവരങ്ങൾ നൽകുന്നു.


The Fast Fourier Transform is a crucial algorithm in signal processing.

സിഗ്നൽ പ്രോസസ്സിംഗിൽ ഫാസ്റ്റ് ഫോറിയർ ട്രാൻസ്ഫോം ഒരു പ്രധാന അൽഗൊരിതമാണ്.


The study of algorithms is essential for understanding computation.

കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് മനസ്സിലാക്കാൻ അൽഗൊരിതങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം അത്യാവശ്യമാണ്.


Mathematical concepts are used to model the concept of computation.

കമ്പ്യൂട്ടിംഗിന്റെ ആശയം മാതൃകയാക്കാൻ ഗണിത ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


The chapter reviews mathematical prerequisites for the book.

ഈ അധ്യായം പുസ്തകത്തിനായുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ആവശ്യകതകൾ അവലോകനം ചെയ്യുന്നു.


A set is an unordered collection of objects.

ഒരു കൂട്ടം എന്നത് ക്രമമില്ലാത്ത വസ്തുക്കളുടെ ശേഖരമാണ്.


The cardinality of a set is the number of elements it contains.

ഒരു സെറ്റിന്റെ കാർഡിനാലിറ്റി എന്നത് അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്.


The Cartesian product of two sets creates ordered pairs.

രണ്ട് സെറ്റുകളുടെ കാർട്ടീഷ്യൻ ഉൽപ്പന്നം ഓർഡർ ചെയ്ത ജോഡികൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു.


The set of natural numbers includes zero and positive integers.

പ്രകൃതി സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിൽ പൂജ്യവും,  ധനപരമായ പൂർണ്ണസംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടുന്നു.


Binary strings are sequences of 0s and 1s.

ബൈനറി സ്ട്രിംഗുകൾ 0-കളുടെയും 1-കളുടെയും ശ്രേണികളാണ്.


The concatenation of two strings combines them into one.

രണ്ട് സ്ട്രിംഗുകളുടെ സംയോജനം അവയെ ഒന്നായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നു.


A function maps elements from one set to another.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഒരു സെറ്റിലെ അംഗങ്ങളെ മറ്റൊരു സെറ്റിലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യുന്നു.


അൽഗോരിതം ഡാറ്റയെ കാര്യക്ഷമമായി അടുക്കുന്നു.


Mathematical proofs require logical reasoning.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ തെളിവുകൾക്ക് യുക്തിപരമായ ന്യായവാദം ആവശ്യമാണ്.


The lecture covered the basics of topological sorting.

പ്രഭാഷണം ടോപ്പോളജിക്കൽ സോർട്ടിംഗിന്റെ അടിസ്ഥാന കാര്യങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


He is reading a book about computer science.

അയാൾ കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിനെക്കുറിച്ച് ഒരു പുസ്തകം വായിക്കുകയാണ്.


The research paper presents a new approach.

ഗവേഷണ പ്രബന്ധം ഒരു പുതിയ സമീപനം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.


Understanding the problem is the first step.

പ്രശ്നം മനസ്സിലാക്കുക എന്നതാണ് ആദ്യത്തെ പടി.


The code needs to be optimized for performance.

പ്രകടനത്തിനായി കോഡ് ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.


പ്രമേയം ഇൻഡക്ഷൻ വഴി തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.


The algorithm's time complexity is O(n log n).

അൽഗോരിതത്തിന്റെ സമയ സങ്കീർണ്ണത O(n log n) ആണ്.


The proof uses the method of contradiction.

തെളിവ് വൈരുദ്ധ്യ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.


The software is designed for data analysis.

ഡാറ്റാ വിശകലനത്തിനായി സോഫ്റ്റ്‌വെയർ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നു.


The concept of a directed acyclic graph is important.

ഒരു ഡയറക്‌ടഡ് അസൈക്ലിക് ഗ്രാഫിന്റെ ആശയം പ്രധാനമാണ്.


The program compiles without any errors.

പ്രോഗ്രാം ഒരു പിശകുമില്ലാതെ കംപൈൽ ചെയ്യുന്നു.


The research explores the limits of computation.

ഗവേഷണം കമ്പ്യൂട്ടേഷന്റെ പരിധികൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നു.


The student is studying theoretical computer science.

വിദ്യാർത്ഥി സൈദ്ധാന്തിക കമ്പ്യൂട്ടർ ശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്നു.


ഫംഗ്ഷൻ ഒരു boolean മൂല്യം നൽകുന്നു.


The algorithm efficiently solves the problem.

അൽഗോരിതം പ്രശ്നം കാര്യക്ഷമമായി പരിഹരിക്കുന്നു.


തെളിവ് നിരവധി ലമ്മകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.


The complexity of the problem is well-known.

പ്രശ്നത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണത നന്നായി അറിയപ്പെടുന്നു.


The program uses recursion to solve the problem.

പ്രോഗ്രാം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ റിക്രൂഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


The algorithm efficiently sorts the data.

അൽഗോരിതം ഡാറ്റയെ കാര്യക്ഷമമായി അടുക്കുന്നു.


She enjoys reading novels in her free time.

അവൾ ഒഴിവുസമയങ്ങളിൽ നോവലുകൾ വായിക്കാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു.


The company announced a new product launch.

കമ്പനി പുതിയ ഉൽപ്പന്നം പുറത്തിറക്കുന്നതായി പ്രഖ്യാപിച്ചു.


ഒന്ന് ആവർത്തിക്കാമോ?


The research paper explores quantum entanglement.

ഗവേഷണ പ്രബന്ധം ക്വാണ്ടം എൻ്റാംഗിൾമെൻ്റിനെക്കുറിച്ച് പ്രതിപാദിക്കുന്നു.


The weather forecast predicts heavy rainfall.

കാലാവസ്ഥാ പ്രവചനം കനത്ത മഴയുടെ സൂചന നൽകുന്നു.


He is a highly skilled software engineer.

അദ്ദേഹം വളരെ കഴിവുള്ള ഒരു സോഫ്റ്റ്‌വെയർ എഞ്ചിനീയറാണ്.


They decided to go on a vacation to the mountains.

അവർ മലകളിലേക്ക് ഒരു അവധിക്കാല യാത്ര പോകാൻ തീരുമാനിച്ചു.


മീറ്റിംഗ് ഉച്ചകഴിഞ്ഞ് 2 മണിക്ക് ആരംഭിക്കും.


The data analysis revealed significant trends.

ഡാറ്റാ വിശകലനം കാര്യമായ പ്രവണതകൾ വെളിപ്പെടുത്തി.


അവൾ ഒന്നിലധികം ഭാഷകളിൽ പ്രാവീണ്യമുള്ളവളാണ്.


The project requires careful planning and execution.

പ്രോജക്റ്റിന് ശ്രദ്ധാപൂർവമായ ആസൂത്രണവും നിർവ്വഹണവും ആവശ്യമാണ്.


The government implemented new policies.

സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കി.


The complex equation was difficult to solve.

സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടായിരുന്നു.


He expressed his gratitude for their help.

അവരുടെ സഹായത്തിന് അവൻ നന്ദി അറിയിച്ചു.


The economic situation is improving gradually.

സാമ്പത്തിക സ്ഥിതി ക്രമേണ മെച്ചപ്പെടുന്നു.


The artist's work is displayed in the gallery.

ആർട്ടിസ്റ്റിൻ്റെ സൃഷ്ടികൾ ഗാലറിയിൽ പ്രദർശിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.


The study examined the impact of social media.

പഠനം സോഷ്യൽ മീഡിയയുടെ സ്വാധീനം പരിശോധിച്ചു.


Please provide your feedback on the presentation.

പ്രസന്റേഷനെക്കുറിച്ചുള്ള നിങ്ങളുടെ പ്രതികരണം നൽകാമോ?


The company is investing in renewable energy sources.

കമ്പനി പുനരുപയോഗ ഊർജ്ജ സ്രോതസ്സുകളിൽ നിക്ഷേപം നടത്തുന്നു.


When we write down text or make a drawing we are representing ideas or experiences as sequences of symbols.

നമ്മൾ എഴുതുമ്പോൾ അല്ലെങ്കിൽ ചിത്രം വരയ്ക്കുമ്പോൾ ആശയങ്ങളോ അനുഭവങ്ങളോ ചിഹ്നങ്ങളുടെ ശ്രേണികളായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു.


Even our brain does not store the actual sensory inputs we experience, but rather only a representation of them.

നമ്മുടെ തലച്ചോറ് പോലും നമ്മൾ അനുഭവിക്കുന്ന യഥാർത്ഥ സംവേദനാത്മക വിവരങ്ങൾ സംഭരിക്കുന്നില്ല, മറിച്ച് അവയുടെ ഒരു പ്രാതിനിധ്യം മാത്രമാണ്.


To use objects such as numbers, images, graphs, or others as inputs for computation, we need to define precisely how to represent these objects as binary strings.

സംഖ്യകൾ, ചിത്രങ്ങൾ, ഗ്രാഫുകൾ, അല്ലെങ്കിൽ കമ്പ്യൂട്ടേഷനായി മറ്റ് വസ്തുക്കൾ എന്നിവ ഇൻപുട്ടുകളായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്, ഈ വസ്തുക്കളെ ബൈനറി സ്ട്രിംഗുകളായി എങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കണമെന്ന് കൃത്യമായി നിർവചിക്കേണ്ടതുണ്ട്.


A representation scheme is a way to map an object to a binary string.

ഒരു പ്രാതിനിധ്യ രീതി എന്നാൽ ഒരു വസ്തുവിനെ ഒരു ബൈനറി സ്ട്രിംഗിലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യാനുള്ള ഒരു മാർഗ്ഗമാണ്.


For example, a representation scheme for natural numbers is a function.

ഉദാഹരണത്തിന്, স্বাভাবিক സംഖ്യകളുടെ ഒരു പ്രാതിനിധ്യ രീതി ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്.


Of course, we cannot merely represent all numbers as the string.

തീർച്ചയായും, എല്ലാ സംഖ്യകളെയും നമുക്ക് വെറുതെ സ്ട്രിംഗായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല.


A minimal requirement is that if two numbers are different then they would be represented by different strings.

രണ്ട് സംഖ്യകൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, അവ വ്യത്യസ്ത സ്ട്രിംഗുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കണം എന്നതാണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ആവശ്യം.


Another way to say this is that we require the encoding function to be one to one.

ഇതൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, എൻകോഡിംഗ് ഫംഗ്ഷൻ ഒന്നിൽ ഒന്ന് ആയിരിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾ ആവശ്യപ്പെടുന്നു.


We now show how we can represent natural numbers as binary strings.

പ്രകൃതിദത്ത സംഖ്യകളെ ബൈനറി സ്ട്രിംഗുകളായി എങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ കാണാം.


We can use any one of those as well as many others to represent a number as a string.

ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു സ്ട്രിംഗായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന് അവയിലേതെങ്കിലും ഒരെണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റു പലതും ഉപയോഗിക്കാം.


However, for the sake of concreteness, we use the binary basis as our default representation of natural numbers as strings.

എങ്കിലും, കൂടുതൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി, പ്രകൃതിദത്ത സംഖ്യകളെ സ്ട്രിംഗുകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന് നമ്മൾ ബൈനറി അടിസ്ഥാനം ഡിഫോൾട്ടായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.


For example, we represent the number six as the string.

ഉദാഹരണത്തിന്, ആറ് എന്ന സംഖ്യയെ നമ്മൾ സ്ട്രിംഗായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.


If n is even, then the least significant digit of n’s binary representation is 0, while if n is odd then this digit equals 1.

n ഇരട്ട സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, n-ൻ്റെ ബൈനറി പ്രാതിനിധ്യത്തിലെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സംഖ്യ 0 ആയിരിക്കും, എന്നാൽ n ഒറ്റ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഈ അക്കം 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും.


The function computation and representation is defined recursively.

ഫംഗ്ഷൻ കമ്പ്യൂട്ടേഷനും പ്രാതിനിധ്യവും ആവർത്തനപരമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.


Throughout most of this book, the particular choices of representation of numbers as binary strings would not matter much.

ഈ പുസ്തകത്തിന്റെ മിക്ക ഭാഗങ്ങളിലും, സംഖ്യകളെ ബൈനറി സ്ട്രിംഗുകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിലെ പ്രത്യേക തിരഞ്ഞെടുപ്പുകൾ അത്രയധികം പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നില്ല.


We can implement the binary representation in Python as follows.

ഇനി പറയുന്ന രീതിയിൽ നമുക്ക് പൈത്തണിൽ ബൈനറി പ്രാതിനിധ്യം നടപ്പിലാക്കാം.


We can also use Python to implement the inverse transformation, mapping a string back to the natural number it represents.

ഒരു സ്ട്രിംഗിനെ അത് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യയിലേക്ക് തിരികെ മാപ്പ് ചെയ്യുന്ന, വിപരീത പരിവർത്തനം നടപ്പിലാക്കാൻ നമുക്ക് പൈത്തൺ ഉപയോഗിക്കാം.


In this book, we sometimes use code examples.

ഈ പുസ്തകത്തിൽ, ചിലപ്പോൾ കോഡ് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.


The point is always to emphasize that certain computations can be achieved concretely.

ചില കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് വ്യക്തമായ രൂപം നൽകാൻ കഴിയുമെന്നത് എപ്പോഴും എടുത്തു കാണിക്കുന്നു.


We have seen that natural numbers can be represented as binary strings.

പ്രകൃതിദത്ത സംഖ്യകളെ ബൈനറി സ്ട്രിംഗുകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടു.


If F : S → T satisfies that F(x) ≠ F(y) for all x ≠ y then we say that F is one-to-one.

F : S → T എന്ന ഫങ്‌ഷൻ എല്ലാ x ≠ y എന്നിവയ്‌ക്കും F(x) ≠ F(y) എന്നതിനെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു എങ്കിൽ, F ഒരു വൺ-ടു-വൺ ആണെന്ന് പറയാം.


A function that is both one-to-one and onto is known as a bijective function or simply a bijection.

ഒന്ന്-ഒന്നായതും, ഓൺടോയുമായതുമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ ബൈജെക്റ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി ബൈജെക്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.


Giving a bijection between two sets is often a good way to show they have the same size.

രണ്ട് സെറ്റുകൾക്കിടയിൽ ഒരു ബൈജെക്ഷൻ നൽകുന്നത് അവ ഒരേ വലുപ്പമുള്ളവയാണെന്ന് കാണിക്കാനുള്ള നല്ലൊരു മാർഗ്ഗമാണ്.


We can represent finite functions as a directed graph where we put an edge from x to f(x).

പരിമിതമായ ഫംഗ്‌ഷനുകളെ, x-ൽ നിന്ന് f(x)-ലേക്ക് ഒരു എഡ്ജ് നൽകുമ്പോൾ ഒരു ഡയറക്‌ടഡ് ഗ്രാഫായി ചിത്രീകരിക്കാം.


The onto condition corresponds to requiring that every vertex in the codomain of the function has in-degree at least one.

ഓൺടോ അവസ്ഥ എന്നാൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ കോഡൊമൈനിലുള്ള എല്ലാ ശീർഷകങ്ങൾക്കും കുറഞ്ഞത് ഒന്നിലധികം ഇൻ-ഡിഗ്രിയെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കണം.


The one-to-one condition corresponds to requiring that every vertex in the codomain of the function has in-degree at most one.

വൺ-ടു-വൺ അവസ്ഥ എന്നാൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ കോഡൊമൈനിലുള്ള എല്ലാ ശീർഷകങ്ങൾക്കും ഒന്നിൽ കൂടുതൽ ഇൻ-ഡിഗ്രി ഉണ്ടാകാൻ പാടില്ല.


For example, the partial function F(x) = √x is only defined on non-negative real numbers.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഭാഗിക ഫംഗ്‌ഷൻ F(x) = √x എന്നത്, നെഗറ്റീവ് ഇല്ലാത്ത എല്ലാ സംഖ്യകളിലും നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.


When we say “function” without any qualifier then we mean a total function.

ഒരു വിശേഷണവുമില്ലാതെ “ഫംഗ്‌ഷൻ” എന്ന് പറയുമ്പോൾ, നമ്മൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു ടോട്ടൽ ഫംഗ്‌ഷനെയാണ്.


If F : S → T and G : T → U are one-to-one functions, then their composition H : S → U defined as H(s) = G(F(s)) is also one to one.

F : S → T, G : T → U എന്നിവ വൺ-ടു-വൺ ഫംഗ്‌ഷനുകളാണെങ്കിൽ, H : S → U എന്ന കോമ്പോസിഷൻ H(s) = G(F(s)) ആയും വൺ-ടു-വൺ ആയിരിക്കും.


If S and T are non-empty finite sets then the following conditions are equivalent to one another.

S, T എന്നിവ ശൂന്യമല്ലാത്ത പരിമിതമായ സെറ്റുകളാണെങ്കിൽ, താഴെ പറയുന്ന നിബന്ധനകൾ പരസ്പരം തുല്യമായിരിക്കും.


Graphs are ubiquitous in Computer Science, and many other fields as well.

ഗ്രാഫുകൾ കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലും മറ്റ് പല മേഖലകളിലും സർവ്വസാധാരണമാണ്.


An undirected graph G = (V, E) consists of a set V of vertices and a set E of edges.

ഒരു അൺഡയറക്‌ടഡ് ഗ്രാഫ് G = (V, E) എന്നത്, V എന്ന ശീർഷകങ്ങളുടെ കൂട്ടവും, E എന്ന എഡ്‌ജുകളുടെ കൂട്ടവും ചേർന്നതാണ്.


We say that two vertices u, v ∈ V are neighbors, if the edge {u, v} is in E.

u, v ∈ V എന്നീ രണ്ട് ശീർഷകങ്ങൾ അയൽക്കാരെന്ന് പറയണമെങ്കിൽ, {u, v} എന്ന എഡ്ജ് E-യിൽ ഉണ്ടായിരിക്കണം.


A simple path is a path (u0, ..., uk−1) where all the ui’s are distinct.

ഒരു ലളിതമായ പാത എന്നാൽ (u0, ..., uk−1) ആകുമ്പോൾ, എല്ലാ ui-കളും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും.


We say that the graph G is connected if every pair of vertices in it is connected.

ഗ്രാഫ് G ബന്ധിതമാണെന്ന് പറയണമെങ്കിൽ, അതിലെ എല്ലാ ജോഡി ശീർഷകങ്ങളും ബന്ധിതമായിരിക്കണം.


In any undirected graph G = (V, E), the sum of the degrees of all vertices is equal to twice the number of edges.

ഏതൊരു അൺഡയറക്‌ടഡ് ഗ്രാഫ് G = (V, E)-ലും, എല്ലാ ശീർഷകങ്ങളുടെയും ഡിഗ്രികളുടെ ആകെത്തുക, എഡ്‌ജുകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടിക്ക് തുല്യമായിരിക്കും.


The connectivity relation is transitive, in the sense that if u is connected to v, and v is connected to w, then u is connected to w.

ബന്ധിത ബന്ധം സംക്രമണാത്മകമാണ്, അതായത് u, v-യുമായും, v, w-യുമായും ബന്ധിതമാണെങ്കിൽ, u, w-യുമായും ബന്ധിതമായിരിക്കും.


For every undirected graph G = (V, E) and connected pair u, v, the shortest path from u to v is simple.

എല്ലാ അൺഡയറക്‌ടഡ് ഗ്രാഫ് G = (V, E)-ലും, ബന്ധിതമായ u, v എന്നിവയ്‌ക്ക്, u-വിൽ നിന്ന് v-യിലേക്കുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ പാത ലളിതമായിരിക്കും.


A directed graph G = (V, E) consists of a set V and a set E ⊆ V × V of ordered pairs of V.

ഒരു ഡയറക്‌ടഡ് ഗ്രാഫ് G = (V, E) എന്നത്, V എന്ന സെറ്റും, V-യുടെ ക്രമീകരിച്ച ജോഡികളുടെ E ⊆ V × V എന്ന സെറ്റും ചേർന്നതാണ്.


We sometimes denote the edge (u, v) also as u → v.

ചിലപ്പോൾ (u, v) എന്ന എഡ്‌ജിനെ u → v എന്നും സൂചിപ്പിക്കാറുണ്ട്.


If a vertex has an in-neighbor, then there exists an in-neighbor such that f(u) = f(v) - 1.

ഒരു ശീർഷകത്തിന് ഒരു ഉൾവശി ഉണ്ടെങ്കിൽ, f(u) = f(v) - 1 ആകുന്ന ഒരു ഉൾവശി ഉണ്ട്.


For every layering f, g : V → ℕ of G, if both f and g are minimal then f = g.

G-യുടെ എല്ലാ ലെയറിംഗിനും f, g : V → ℕ, f, g എന്നിവ രണ്ടും കുറഞ്ഞതാണെങ്കിൽ f = g.


The definition of minimality in Theorem 1.26 implies that for every vertex v ∈ V, we cannot move it to a lower layer without making the layering invalid.

തിയറം 1.26-ലെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതിന്റെ നിർവചനം സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, എല്ലാ ശീർഷകത്തിനും v ∈ V, ലെയറിംഗ് അസാധുവാക്കാതെ തന്നെ ഇത് താഴ്ന്ന ലെയറിലേക്ക് നീക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നാണ്.


If v is a source (i.e., has in-degree zero) then a minimal layering f must put it in layer 0.

v ഒരു ഉറവിടമാണെങ്കിൽ (അതായത്, ഇൻ-ഡിഗ്രി പൂജ്യമാണെങ്കിൽ) ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ലെയറിംഗ് f അത് ലെയർ 0-ൽ സ്ഥാപിക്കണം.


What Theorem 1.26 says is that a minimal layering f is unique in the sense that every other minimal layering is equal to f.

തിയറം 1.26 പറയുന്നത് ഒരു കുറഞ്ഞ ലെയറിംഗ് f എന്നത് സവിശേഷമാണ്, അതായത് മറ്റേതൊരു കുറഞ്ഞ ലെയറിംഗും f-ന് തുല്യമാണ്.


Proof Idea: The idea is to prove the theorem by induction on the layers.

തെളിവ് ആശയം: ലെയറുകളിൽ ഇൻഡക്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുക എന്നതാണ് ആശയം.


If f and g are minimal then they must agree on the source vertices, since both f and g should assign these vertices to layer 0.

f, g എന്നിവ കുറഞ്ഞതാണെങ്കിൽ, അവ ഉറവിട ശീർഷകങ്ങളിൽ യോജിക്കണം, കാരണം f, g എന്നിവ ഈ ശീർഷകങ്ങളെ ലെയർ 0-ലേക്ക് നൽകണം.


We can then show that if f and g agree up to layer i-1, then the minimality property implies that they need to agree in layer i as well.

f, g എന്നിവ ലെയർ i-1 വരെ യോജിക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാൻ കഴിയും, അപ്പോൾ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രോപ്പർട്ടി ലെയർ i-ലും അവർ യോജിക്കണം എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.


In the actual proof we use a small trick to save on writing.

യഥാർത്ഥ തെളിവുകളിൽ എഴുത്ത് ലാഭിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഒരു ചെറിയ സൂത്രം ഉപയോഗിക്കുന്നു.


Rather than proving the statement that f = g, we prove the weaker statement that f(v) ≤ g(v) for every v ∈ V.

f = g എന്ന പ്രസ്താവന തെളിയിക്കുന്നതിനുപകരം, എല്ലാ v ∈ V-ക്കും f(v) ≤ g(v) എന്ന ദുർബലമായ പ്രസ്താവന ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു.


However, since f and g are just labels we give to two minimal layerings, by simply changing the names “f” and “g” the same proof also shows that g(v) ≤ f(v) for every v ∈ V and hence that f = g.

എങ്കിലും, f, g എന്നിവ രണ്ട് കുറഞ്ഞ ലെയറിംഗുകൾക്ക് നൽകുന്ന ലേബലുകൾ മാത്രമായതിനാൽ, “f”, “g” എന്നീ പേരുകൾ മാറ്റുന്നതിലൂടെ, എല്ലാ v ∈ V-ക്കും g(v) ≤ f(v) എന്നും അതിനാൽ f = g എന്നും അതേ തെളിവ് കാണിക്കുന്നു.


Proof of Theorem 1.26. Let G = (V, E) be a DAG and f, g : V → ℕ be two minimal valid layerings of G.

തിയറം 1.26-ന്റെ തെളിവ്. G = (V, E) ഒരു DAG ആണെന്നും f, g : V → ℕ എന്നിവ G-യുടെ രണ്ട് കുറഞ്ഞ സാധുവായ ലെയറിംഗുകളാണെന്നും കരുതുക.


We will prove that for every v ∈ V, f(v) ≤ g(v).

എല്ലാ v ∈ V-ക്കും f(v) ≤ g(v) എന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും.


Since we didn’t assume anything about f, g except their minimality, the same proof will imply that for every v ∈ V, g(v) ≤ f(v) and hence that f(v) = g(v) for every v ∈ V, which is what we needed to show.

f, g എന്നിവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതിനെക്കുറിച്ച് ഒഴികെ മറ്റൊന്നും ഞങ്ങൾ അനുമാനിച്ചിട്ടില്ലാത്തതിനാൽ, എല്ലാ v ∈ V-ക്കും g(v) ≤ f(v) എന്നും അതിനാൽ എല്ലാ v ∈ V-ക്കും f(v) = g(v) എന്നും ഇത് സൂചിപ്പിക്കും, ഇത് നമ്മൾ കാണിക്കേണ്ടതായിരുന്നു.


We will prove that f(v) ≤ g(v) for every v ∈ V by induction on i = f(v).

i = f(v) എന്നതിലെ ഇൻഡക്ഷൻ വഴി എല്ലാ v ∈ V-ക്കും f(v) ≤ g(v) എന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും.


The case i = 0 is immediate: since in this case f(v) = 0, g(v) must be at least f(v).

i = 0 എന്ന കേസ് ഉടനടി ലഭിക്കും: ഈ സാഹചര്യത്തിൽ f(v) = 0 ആയതിനാൽ, g(v) കുറഞ്ഞത് f(v) ആവണം.


For the case i > 0, by the minimality of f, if f(v) = i then there must exist some in-neighbor u of v such that f(u) = i-1.

i > 0 എന്ന കേസിൽ, f-ന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതനുസരിച്ച്, f(v) = i ആണെങ്കിൽ, f(u) = i-1 ആകുന്ന v-യുടെ ചില ഉൾവശി u ഉണ്ടായിരിക്കണം.


By the induction hypothesis we get that g(u) ≥ i-1, and since g is a valid layering it must hold that g(v) > g(u) which means that g(v) ≥ i = f(v).

ഇൻഡക്ഷൻ അനുമാനം അനുസരിച്ച് g(u) ≥ i-1 എന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, കൂടാതെ g ഒരു സാധുവായ ലെയറിംഗ് ആയതിനാൽ g(v) > g(u) ആയിരിക്കണം, അതായത് g(v) ≥ i = f(v).


The proof of Theorem 1.26 is fully rigorous, but is written in a somewhat terse manner.

തിയറം 1.26-ന്റെ തെളിവ് പൂർണ്ണമായും കൃത്യമാണ്, എന്നാൽ ഇത് അൽപ്പം ചുരുക്കിയ രീതിയിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്.


Make sure that you read through it and understand why this is indeed an airtight proof of the Theorem’s statement.

നിങ്ങൾ ഇത് വായിക്കുകയും എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് തിയറത്തിന്റെ പ്രസ്താവനയുടെ കൃത്യമായ തെളിവായിരിക്കുന്നത് എന്ന് മനസ്സിലാക്കുകയും ചെയ്യുക.


ഇന്ന് കാലാവസ്ഥ സുഖകരമാണ്.


അല്പം ഉപ്പ് തരുമോ?


I am going to the market to buy some groceries.

ഞാൻ കുറച്ച് പലചരക്ക് സാധനങ്ങൾ വാങ്ങാൻ മാർക്കറ്റിൽ പോകുകയാണ്.


The company announced a new product launch.

കമ്പനി പുതിയ ഉൽപ്പന്നം പുറത്തിറക്കുന്നതായി പ്രഖ്യാപിച്ചു.


The research paper explores the impact of climate change.

ഗവേഷണ പ്രബന്ധം കാലാവസ്ഥാ വ്യതിയാനത്തിന്റെ ആഘാതം പരിശോധിക്കുന്നു.


അദ്ദേഹം വളരെ കഴിവുള്ള ഒരു സംഗീതജ്ഞനാണ്.


തീവണ്ടി കൃത്യ സമയത്ത് എത്തി.


അവൾ പരീക്ഷക്ക് തയ്യാറെടുക്കുകയാണ്.


The government is implementing new policies.

സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കുകയാണ്.


The algorithm efficiently sorts the data.

അൽഗോരിതം ഡാറ്റയെ കാര്യക്ഷമമായി അടുക്കുന്നു.


എനിക്ക് ഫോൺ ചാർജ് ചെയ്യണം.


സമ്മേളനം അടുത്ത ആഴ്ച നടക്കും.


സാമ്പത്തിക പ്രവചനം നല്ല രീതിയിലാണ്.


The software update includes new features.

സോഫ്റ്റ്‌വെയർ അപ്‌ഡേറ്റിൽ പുതിയ ഫീച്ചറുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു.


അദ്ദേഹം ഒരു പ്രശസ്ത എഴുത്തുകാരനാണ്.


മീറ്റിംഗ് വളരെ പ്രൊഡക്റ്റീവ് ആയിരുന്നു.


എണ്ണയുടെ വില വർധിച്ചു.


സിസ്റ്റത്തിന് കൂടുതൽ മെമ്മറി ആവശ്യമാണ്.


അവൾ മിടുക്കിയായ ഒരു വിദ്യാർത്ഥിനിയാണ്.


പ്രോജക്റ്റ് കൃത്യ സമയത്താണ് നടക്കുന്നത്.


അൽഗോരിതം ഡാറ്റയെ കാര്യക്ഷമമായി അടുക്കുന്നു.


She enjoys reading novels in her free time.

അവൾ ഒഴിവുസമയങ്ങളിൽ നോവലുകൾ വായിക്കാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു.


Could you please repeat that information?

ആ വിവരങ്ങൾ ഒന്ന് ആവർത്തിക്കാമോ?


The research paper explores complex topics.

ഗവേഷണ പ്രബന്ധം സങ്കീർണ്ണമായ വിഷയങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നു.


He is a highly skilled software engineer.

അദ്ദേഹം വളരെ കഴിവുള്ള ഒരു സോഫ്റ്റ്‌വെയർ എഞ്ചിനീയറാണ്.


The weather forecast predicts heavy rain.

കാലാവസ്ഥാ പ്രവചനം കനത്ത മഴയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.


അവൾ പിയാനോ വായിക്കാൻ പഠിക്കുന്നു.


The government implemented new policies.

സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കി.


The data analysis revealed interesting insights.

ഡാറ്റാ വിശകലനം രസകരമായ ഉൾക്കാഴ്ചകൾ വെളിപ്പെടുത്തി.


He is passionate about environmental conservation.

പരിസ്ഥിതി സംരക്ഷണത്തിൽ അദ്ദേഹത്തിന് താൽപ്പര്യമുണ്ട്.


The project requires careful planning and execution.

പ്രോജക്റ്റിന് ശ്രദ്ധാപൂർവമായ ആസൂത്രണവും നിർവ്വഹണവും ആവശ്യമാണ്.


The article discusses the impact of climate change.

കാലാവസ്ഥാ വ്യതിയാനത്തിന്റെ ആഘാതത്തെക്കുറിച്ച് ലേഖനത്തിൽ പറയുന്നു.


She is a talented artist with a unique style.

അവൾ ഒരു അതുല്യമായ ശൈലിയുള്ള കഴിവുള്ള കലാകാരിയാണ്.


The team achieved significant milestones this year.

ഈ വർഷം ടീം കാര്യമായ നാഴികക്കല്ലുകൾ കൈവരിച്ചു.


The complex equation requires advanced mathematical knowledge.

സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യത്തിന് ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അറിവ് ആവശ്യമാണ്.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

പ്രതിസന്ധികൾക്കിടയിലും അവർ സ്ഥിരോത്സാഹം കാണിക്കുകയും വിജയിക്കുകയും ചെയ്തു.


The implications of the new policy are far-reaching.

പുതിയ നയത്തിന്റെ അനന്തരഫലങ്ങൾ വളരെ ദൂരവ്യാപകമാണ്.


The philosophical debate explored the nature of consciousness.

തത്വചിന്താപരമായ സംവാദം ബോധത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച് ചർച്ച ചെയ്തു.


The intricate design of the system ensures its reliability.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണമായ രൂപകൽപ്പന അതിന്റെ വിശ്വാസ്യത ഉറപ്പാക്കുന്നു.


The algorithm efficiently sorts the data.


The company announced a new product launch.

കമ്പനി പുതിയ ഉൽപ്പന്നം പുറത്തിറക്കുന്നതായി പ്രഖ്യാപിച്ചു.


അല്പം ഉപ്പ് തരുമോ?


The weather forecast predicts rain tomorrow.

നാളെ മഴ പെയ്യുമെന്ന് കാലാവസ്ഥാ പ്രവചനം.


അദ്ദേഹം വളരെ കഴിവുള്ള ഒരു സംഗീതജ്ഞനാണ്.


The research paper explores complex topics.

ഗവേഷണ പ്രബന്ധം സങ്കീർണ്ണമായ വിഷയങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.


അവൾ ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസം നേടാൻ തീരുമാനിച്ചു.


സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കി.


സോഫ്റ്റ്‌വെയർ അപ്‌ഡേറ്റ് നിരവധി ബഗുകൾ പരിഹരിച്ചു.


ആർട്ടിസ്റ്റിന്റെ സൃഷ്ടിക്ക് വലിയ പ്രശംസ ലഭിച്ചു.


പ്രതിസന്ധികൾക്കിടയിലും അവർ വിജയിച്ചു.


The economic situation is improving gradually.

സാമ്പത്തിക സ്ഥിതി ക്രമേണ മെച്ചപ്പെടുന്നു.


The intricate design required careful execution.

സങ്കീർണ്ണമായ രൂപകൽപ്പന സൂക്ഷ്മമായ നിർവ്വഹണം ആവശ്യമായിരുന്നു.


The philosophical debate explored existential themes.

തത്ത്വചിന്താപരമായ സംവാദം അസ്തിത്വപരമായ വിഷയങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്തു.


The company's innovative approach revolutionized the industry.

കമ്പനിയുടെ നൂതനമായ സമീപനം വ്യവസായത്തിൽ വിപ്ലവം സൃഷ്ടിച്ചു.


The complex equation required advanced mathematical techniques.

സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യം, അത്യാധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ രീതികൾ ആവശ്യമായിരുന്നു.


The historical analysis provided valuable insights into the past.

ചരിത്രപരമായ വിശകലനം, കഴിഞ്ഞ കാലത്തെക്കുറിച്ച് വിലപ്പെട്ട ഉൾക്കാഴ്ച നൽകി.


The political landscape is constantly evolving.

രാഷ്ട്രീയ രംഗം തുടർച്ചയായി മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നു.


The scientific community is making significant progress.

ശാസ്ത്ര സമൂഹത്തിൽ വലിയ പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു.


The subtle nuances of the language were difficult to grasp.

ഭാഷയുടെ സൂക്ഷ്മമായ സൂക്ഷ്മതകൾ മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രയാസമായിരുന്നു.


Early vacuum tubes were roughly the size of lightbulbs.

ആദ്യകാല വാക്വം ട്യൂബുകൾ ഏകദേശം ബൾബുകളുടെ വലുപ്പമുള്ളവയായിരുന്നു.


In the 1950’s they were supplanted by transistors.

1950-കളിൽ അവ ട്രാൻസിസ്റ്ററുകൾക്ക് വഴിമാറി.


In 1965, Gordon Moore predicted that the number of transistors per integrated circuit would double every year.

1965-ൽ, ഓരോ വർഷവും ഒരു ഇന്റഗ്രേറ്റഡ് സർക്യൂട്ടിലെ ട്രാൻസിസ്റ്ററുകളുടെ എണ്ണം ഇരട്ടിയാകുമെന്ന് ഗോർഡൺ മൂർ പ്രവചിച്ചു.


ഇത് ഹോം കമ്പ്യൂട്ടറുകളിലേക്ക് നയിക്കും.


Exponential growth cannot be sustained forever.

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ വളർച്ച എന്നെന്നും നിലനിർത്താൻ കഴിയില്ല.


We can use transistors to implement various Boolean functions such as AND, OR, and NOT.

AND, OR, NOT തുടങ്ങിയ വിവിധ ബൂളിയൻ ഫംഗ്ഷനുകൾ നടപ്പിലാക്കാൻ നമുക്ക് ട്രാൻസിസ്റ്ററുകൾ ഉപയോഗിക്കാം.


This means that if there exists a AND/OR/NOT circuit to compute a function.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കാൻ ഒരു AND/OR/NOT സർക്യൂട്ട് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഇതിനർത്ഥം.


Computation can be based on biological or chemical systems.

കണക്കുകൂട്ടൽ ജീവശാസ്ത്രപരമോ രാസപരമോ ആയ വ്യവസ്ഥകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാകാം.


Researchers have managed to create transistors, and from them logic gates, based on DNA molecules.

ഗവേഷകർക്ക് ട്രാൻസിസ്റ്ററുകളും അതിൽ നിന്ന് DNA തന്മാത്രകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ലോജിക് ഗേറ്റുകളും ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിഞ്ഞു.


One motivation for DNA computing is to achieve increased parallelism or storage density.

വർദ്ധിച്ച സമാന്തരതയോ സംഭരണ സാന്ദ്രതയോ നേടുക എന്നതാണ് DNA കമ്പ്യൂട്ടിംഗിന്റെ ഒരു പ്രചോദനം.


Brains have served humanity throughout history.

മനുഷ്യരാശിക്ക് ചരിത്രത്തിലുടനീളം തലച്ചോറ് ഉപകാരപ്രദമായിട്ടുണ്ട്.


The exact working of the brain is still not fully understood.

മസ്തിഷ്കത്തിന്റെ കൃത്യമായ പ്രവർത്തനം ഇപ്പോഴും പൂർണ്ണമായി മനസ്സിലാക്കിയിട്ടില്ല.


A neural network can be thought of as a Boolean circuit.

ഒരു ന്യൂറൽ നെറ്റ്‌വർക്കിനെ ഒരു ബൂളിയൻ സർക്യൂട്ടായി കണക്കാക്കാം.


Threshold gates can be thought of as an approximation for neuron cells.

ന്യൂറോൺ കോശങ്ങളുടെ ഏകദേശ രൂപമായി threshold ഗേറ്റുകളെ കണക്കാക്കാം.


Many machine learning algorithms use artificial neural networks.

പല മെഷീൻ ലേണിംഗ് അൽഗോരിതങ്ങളും ആർട്ടിഫിഷ്യൽ ന്യൂറൽ നെറ്റ്‌വർക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


We can implement computation using many other physical media.

മറ്റനേകം ഭൗതിക മാധ്യമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും.


A NAND gate corresponds to a mechanical object.

ഒരു NAND ഗേറ്റ് ഒരു മെക്കാനിക്കൽ ഒബ്ജക്റ്റിന് തുല്യമാണ്.


The NAND function is another simple function that is extremely useful for defining computation.

കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് നിർവചിക്കുന്നതിന് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ മറ്റൊരു ലളിതമായ ഫംഗ്ഷനാണ് NAND ഫംഗ്ഷൻ.


We can compute AND, OR, and NOT by composing only the NAND function.

NAND ഫംഗ്ഷൻ മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് AND, OR, NOT എന്നിവ കണക്കാക്കാൻ കഴിയും.


For every Boolean circuit C of s gates, there exists a NAND circuit C' of at most 3s gates that computes the same function as C.

s ഗേറ്റുകളുള്ള ഏതൊരു ബൂളിയൻ സർക്യൂട്ട് C-ക്കും, C-ക്ക് തുല്യമായ ഫംഗ്ഷൻ കണക്കുകൂട്ടുന്ന 3s ഗേറ്റുകളിൽ കൂടാത്ത ഒരു NAND സർക്യൂട്ട് C' ഉണ്ട്.


We will see that we would obtain the same computational power if we instead used addition and multiplication.

കൂട്ടലും ഗുണനവും ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ പോലും, നമുക്ക് അതേ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ശക്തി ലഭിക്കുമെന്ന് നാം കാണും.


We can make the definition of an algorithm fully formal, and so give a precise mathematical meaning to statements such as “Algorithm A computes function f”.

ഒരു അൽഗോരിതത്തിന്റെ നിർവചനം പൂർണ്ണമായി ഔപചാരികമാക്കാൻ കഴിയും, അതുവഴി “അൽഗോരിതം A ഫംഗ്ഷൻ f കണക്കാക്കുന്നു” പോലുള്ള പ്രസ്താവനകൾക്ക് കൃത്യമായ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അർത്ഥം നൽകാനാകും.


We will see more examples of the power of simple operations to compute more complex operations including addition, multiplication, sorting and more.

കൂട്ടൽ, ഗുണനം, അടുക്കിവെക്കൽ എന്നിവയുൾപ്പെടെ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ശക്തിയുടെ കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ നമ്മൾ കാണും.


This is how modern electronic computers operate.

ആധുനിക ഇലക്ട്രോണിക് കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നത് ഈ രീതിയിലാണ്.


Boolean circuits provide a precise notion of “composing basic operations together”.

ബൂളിയൻ സർക്യൂട്ടുകൾ “അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒരുമിപ്പിക്കുക” എന്നതിനെക്കുറിച്ച് കൃത്യമായ ആശയം നൽകുന്നു.


We evaluate an n-input Boolean circuit C on an input x ∈ {0,1} n by placing the bits of x on the inputs, and then propagating the values on the wires until we reach an output.

ഇൻപുട്ടുകളിൽ x-ൻ്റെ ബിറ്റുകൾ സ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട്, ഒരു ഇൻപുട്ടിൽ n-ഇൻപുട്ട് ബൂളിയൻ സർക്യൂട്ട് C വിലയിരുത്തുകയും, തുടർന്ന് ഒരു ഔട്ട്‌പുട്ടിൽ എത്തുന്നതുവരെ വയറുകളിലെ മൂല്യങ്ങൾ പ്രചരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.


Boolean circuits are a mathematical model that does not necessarily correspond to a physical object, but they can be implemented physically.

ബൂളിയൻ സർക്യൂട്ടുകൾ ഒരു ഭൗതിക വസ്തുവുമായി പൊരുത്തപ്പെടണമെന്നില്ല, എന്നാൽ അവ ഭൗതികമായി നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും.


Define ALLEQ : {0,1} 4 → {0,1} to be the function that on input x ∈ {0,1} 4 outputs 1 if and only if x 0 = x 1 = x 2 = x 3.

ഇൻപുട്ട് x ∈ {0,1} 4-ൽ x 0 = x 1 = x 2 = x 3 ആണെങ്കിൽ മാത്രം 1 ഔട്ട്‌പുട്ട് ചെയ്യുന്ന ഫംഗ്‌ഷനായി ALLEQ : {0,1} 4 → {0,1} നിർവചിക്കുക.


We defined Boolean circuits informally as obtained by connecting AND, OR, and NOT gates via wires so as to produce an output from an input.

ഒരു ഇൻപുട്ടിൽ നിന്ന് ഒരു ഔട്ട്‌പുട്ട് ഉണ്ടാക്കുന്നതിന് വയറുകൾ വഴി AND, OR, കൂടാതെ NOT ഗേറ്റുകൾ ബന്ധിപ്പിച്ച് ബൂളിയൻ സർക്യൂട്ടുകൾ രൂപകൽപ്പന ചെയ്യാമെന്ന് നമ്മൾ അനൗപചാരികമായി നിർവചിച്ചു.


The inputs are vertices with no incoming edges, while each gate has the appropriate number of incoming edges based on the function it computes.

ഇൻപുട്ടുകൾക്ക് ഇൻകമിംഗ് എഡ്‌ജുകളില്ലാത്ത വെർട്ടെക്സുകളാണ്, അതേസമയം ഓരോ ഗേറ്റിനും അത് കണക്കാക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ശരിയായ എണ്ണം ഇൻകമിംഗ് എഡ്‌ജുകൾ ഉണ്ട്.


An AON-CIRC program is a sequence of strings, which we call “lines”, satisfying the following conditions:

ഒരു AON-CIRC പ്രോഗ്രാം എന്നത് “വരികൾ” എന്ന് വിളിക്കുന്ന സ്ട്രിംഗുകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ്, ഇത് താഴെ പറയുന്ന നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുന്നു:


A variable identifier in the AON-CIRC programming language can be any combination of letters, numbers, underscores, and brackets.

AON-CIRC പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷയിലെ ഒരു വേരിയബിൾ ഐഡൻ്റിഫയർ അക്ഷരങ്ങൾ, അക്കങ്ങൾ, അടിവരകൾ, அடைப்புக்குறிகள் എന്നിവയുടെ ഏതെങ്കിലും സംയോജനമായിരിക്കാം.


We say that n is the number of inputs of the program P and m is the number of outputs.

P പ്രോഗ്രാമിന്റെ ഇൻപുട്ടുകളുടെ എണ്ണമാണ് n എന്നും, m ഔട്ട്‌പുട്ടുകളുടെ എണ്ണമാണെന്നും പറയാം.


In a valid AON-CIRC program, in every line the variables on the right-hand side of the assignment operator must either be input variables or variables that have already been assigned a value in a previous line.

ഒരു സാധുവായ AON-CIRC പ്രോഗ്രാമിൽ, ഓരോ വരിയിലും അസൈൻമെൻ്റ് ഓപ്പറേറ്ററുടെ വലതുവശത്തുള്ള വേരിയബിളുകൾ ഇൻപുട്ട് വേരിയബിളുകളോ അല്ലെങ്കിൽ മുമ്പത്തെ വരിയിൽ ഇതിനകം മൂല്യം നൽകിയിട്ടുള്ള വേരിയബിളുകളോ ആയിരിക്കണം.


We denote the output of P on input x by P(x).

ഇൻപുട്ട് x-ൽ P-യുടെ ഔട്ട്‌പുട്ട് P(x) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.


The size of an AON circ program P is the number of lines it contains.

ഒരു AON സർക്യൂട്ട് പ്രോഗ്രാം P-യുടെ വലുപ്പം അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന വരികളുടെ എണ്ണമാണ്.


We now formally prove that AON-CIRC programs and Boolean circuits have exactly the same power:

AON-CIRC പ്രോഗ്രാമുകൾക്കും ബൂളിയൻ സർക്യൂട്ടുകൾക്കും ഒരേ ശക്തിയാണുള്ളതെന്ന് ഇപ്പോൾ ഔപചാരികമായി തെളിയിക്കാം:


The idea is simple - AON-CIRC programs and Boolean circuits are just different ways of describing the exact same computational process.

ആശയം ലളിതമാണ് - AON-CIRC പ്രോഗ്രാമുകളും ബൂളിയൻ സർക്യൂട്ടുകളും ഒരേ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രക്രിയയെ വിവരിക്കുന്ന വ്യത്യസ്ത വഴികൾ മാത്രമാണ്.


For example, an AND gate in a Boolean circuit corresponds to computing the AND of two previously-computed values.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബൂളിയൻ സർക്യൂട്ടിലെ AND ഗേറ്റ്, മുമ്പ് കണക്കാക്കിയ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുടെ AND കണക്കാക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.


While most modern computing devices are obtained by mapping logical gates to semiconductor-based transistors, throughout history people have computed using a huge variety of mechanisms.

ആധുനിക കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ഉപകരണങ്ങൾ കൂടുതലും ലോജിക്കൽ ഗേറ്റുകളെ സെമികണ്ടക്ടർ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ട്രാൻസിസ്റ്ററുകളിലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുമ്പോൾ, ചരിത്രത്തിലുടനീളം ആളുകൾ വിവിധതരം സംവിധാനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടിയിട്ടുണ്ട്.


ഇന്ന് കാലാവസ്ഥ സുഖകരമാണ്.


I am going to the market to buy some vegetables.

ഞാൻ കുറച്ച് പച്ചക്കറികൾ വാങ്ങാൻ മാർക്കറ്റിൽ പോകുന്നു.


Could you please help me with this task?

ഈ ജോലിയിൽ എന്നെ സഹായിക്കാമോ?


The company announced a new product launch.

കമ്പനി ഒരു പുതിയ ഉൽപ്പന്നം പുറത്തിറക്കുന്നതായി പ്രഖ്യാപിച്ചു.


The research paper explores the impact of climate change.

കാലാവസ്ഥാ വ്യതിയാനത്തിന്റെ ആഘാതം ഈ ഗവേഷണ പ്രബന്ധം പരിശോധിക്കുന്നു.


He is a very talented musician and composer.

അദ്ദേഹം വളരെ കഴിവുള്ള ഒരു സംഗീതജ്ഞനും, സംഗീതസംവിധായകനുമാണ്.


The government is implementing new policies to boost the economy.

സമ്പദ്‌വ്യവസ്ഥയെ ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനായി സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കുകയാണ്.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

പ്രതിസന്ധികൾ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അവർ സ്ഥിരോത്സാഹത്തോടെ മുന്നോട്ട് പോവുകയും വിജയിക്കുകയും ചെയ്തു.


The algorithm efficiently sorts the data.

അൽഗോരിതം ഡാറ്റയെ കാര്യക്ഷമമായി അടുക്കുന്നു.


The conference will be held next month in Delhi.

അടുത്ത മാസം ഡൽഹിയിൽ സമ്മേളനം നടക്കും.


The intricate details of the design were fascinating.

രൂപകൽപ്പനയുടെ സങ്കീർണ്ണമായ വിശദാംശങ്ങൾ ആകർഷകമായിരുന്നു.


The company's financial performance exceeded expectations.

കമ്പനിയുടെ സാമ്പത്തിക പ്രകടനം പ്രതീക്ഷകളെ അതിജീവിച്ചു.


The study revealed a significant correlation between the two variables.

രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ തമ്മിൽ കാര്യമായ ബന്ധമുണ്ടെന്ന് പഠനം വെളിപ്പെടുത്തി.


The philosophical implications of the discovery are profound.

ഈ കണ്ടെത്തലിന്റെ തത്ത്വചിന്താപരമായ സൂചനകൾ വളരെ വലുതാണ്.


The complex interplay of factors contributed to the crisis.

പ്രതിസന്ധിയിലേക്ക് നയിച്ചത് ഘടകങ്ങളുടെ സങ്കീർണ്ണമായ പരസ്പരബന്ധമാണ്.


The legal arguments presented were highly persuasive.

അവതരിപ്പിച്ച നിയമപരമായ വാദങ്ങൾ വളരെ ബോധ്യപ്പെടുത്തുന്നതായിരുന്നു.


The technological advancements have revolutionized the industry.

സാങ്കേതിക മുന്നേറ്റങ്ങൾ വ്യവസായത്തിൽ വിപ്ലവം സൃഷ്ടിച്ചു.


The artist's unique perspective is evident in their work.

കലാകാരന്റെ അതുല്യമായ വീക്ഷണം അവരുടെ കൃതികളിൽ വ്യക്തമാണ്.


The economic forecast predicts a period of sustained growth.

സാമ്പത്തിക പ്രവചനം സുസ്ഥിരമായ വളർച്ചയുടെ കാലഘട്ടം പ്രവചിപ്പിക്കുന്നു.


The intricate details of the ancient civilization were meticulously documented.

പുരാതന നാഗരികതയുടെ സങ്കീർണ്ണമായ വിശദാംശങ്ങൾ സൂക്ഷ്മമായി രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.


The function IF is also known as a multiplexing function.

IF എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു മൾട്ടിപ്ലക്സിംഗ് ഫംഗ്‌ഷൻ എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു.


NAND-ൽ നമുക്ക് കണ്ടീഷണലുകൾ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും.


The idea is that we replace code of the form if(condition): assign blah to variable foo.

if(condition) എന്ന രൂപത്തിലുള്ള കോഡിന് പകരം, blah എന്നതിനെ foo എന്ന വേരിയബിളിലേക്ക് നൽകുക എന്നതാണ് ആശയം.


നമുക്ക് താഴെ പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.


Let NAND-CIRC-IF be the programming language NAND-CIRC augmented with if/then/else statements.

if/then/else സ്റ്റേറ്റ്‌മെന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വർദ്ധിപ്പിച്ച NAND-CIRC പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷയാണ് NAND-CIRC-IF.


Using such transformations, we can prove the following theorem.

അത്തരം രൂപാന്തരീകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് താഴെ പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.


We can write the integer addition function as follows.

ഇന്റീജർ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഫംഗ്‌ഷൻ നമുക്ക് താഴെ പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം.


രണ്ട് n-ബിറ്റ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കൂട്ടുക.


സൗകര്യത്തിനായി, നമ്മൾ പൈത്തൺ ശൈലി ഉപയോഗിക്കുന്നു.


This is not the most efficient program for this task.

ഈ ടാസ്‌കിനായുള്ള ഏറ്റവും മികച്ച പ്രോഗ്രാം ഇതല്ല.


TheLOOKUP function will play an important role in this chapter.

ഈ അധ്യായത്തിൽ LOOKUP ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കും.


For every k, the lookup function of order k, LOOKUP k is defined as follows.

ഓരോ k-നും, k ക്രമത്തിലുള്ള ലുക്ക്അപ്പ് ഫംഗ്‌ഷൻ, LOOKUP k, താഴെ പറയുന്ന പ്രകാരം നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.


The output is x sub i: the i-th coordinate of x.

ഔട്ട്‌പുട്ട് x sub i ആണ്: x-ന്റെ i-th കോർഡിനേറ്റ്.


See Fig. 4.6 for an illustration of the LOOKUP function.

LOOKUP ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഒരു ചിത്രീകരണത്തിനായി ചിത്രം 4.6 കാണുക.


It turns out that for every k, we can compute LOOKUP k using a NAND-CIRC program.

ഓരോ k-നും, ഒരു NAND-CIRC പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ച് LOOKUP k കണക്കാക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.


ഇൻഡക്ഷൻ വഴി നമ്മൾ സിദ്ധാന്തം 4.10 തെളിയിക്കുന്നു.


For the case k = 1, LOOKUP 1 maps (x0, x1, i) ∈ {0,1}3 to x sub i.

k = 1 എന്ന കേസിൽ, LOOKUP 1, (x0, x1, i) ∈ {0,1}3 നെ x sub i-ലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യുന്നു.


In other words, if i = 0 then it outputs x0 and otherwise it outputs x1.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, i = 0 ആണെങ്കിൽ അത് x0 ഉം, അല്ലെങ്കിൽ x1 ഉം നൽകുന്നു.


As a warm-up for the case of general k, let us consider the case of k = 2.

പൊതുവായ k-യുടെ കേസിനായുള്ള ഒരു മുന്നൊരുക്കമായി, k = 2 എന്ന കേസ് പരിഗണിക്കാം.


Given input x = (x0, x1, x2, x3) for LOOKUP 2 and an index i = (i0, i1).

LOOKUP 2-ന് ഇൻപുട്ടായി x = (x0, x1, x2, x3) ഉം, ഒരു സൂചികയായി i = (i0, i1) ഉം നൽകിയിരിക്കുന്നു.


ഈ കോഡ് ഒരു NAND-CIRC പ്രോഗ്രാം വിലയിരുത്തുന്നു.


The function NANDEVAL is used for evaluation.

വിലയിരുത്തുന്നതിന് NANDEVAL എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


Input values are loaded into the Vartable.

ഇൻപുട്ട് മൂല്യങ്ങൾ Vartable-ലേക്ക് ലോഡ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു.


The program iterates through the list of tuples.

പ്രോഗ്രാം ട്യൂപ്പിളുകളുടെ ലിസ്റ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.


The output is returned as a list of values.

ഔട്ട്‌പുട്ട് മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റായി നൽകുന്നു.


Consider the XOR example with two inputs.

രണ്ട് ഇൻപുട്ടുകളുള്ള XOR ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.


XOR(1,1)-ൻ്റെ ഔട്ട്‌പുട്ട് 0 ആണ്.


Understand why GET and LOOKUP are the same function.

GET, LOOKUP എന്നിവ എന്തുകൊണ്ട് ഒരേ ഫംഗ്ഷനാണ് എന്ന് മനസ്സിലാക്കുക.


O(2^ℓ) സമയത്തിനുള്ളിൽ നമുക്ക് LOOKUP കണക്കാക്കാൻ കഴിയും.


UPDATE_ell corresponds to the UPDATE function.

UPDATE_ell, UPDATE ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.


Compute UPDATE using an O(ℓ) line NAND-CIRC program.

O(ℓ) ലൈൻ NAND-CIRC പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ച് UPDATE കണക്കാക്കുക.


The loop over j in UPDATE is run 2^ℓ times.

UPDATE-ലെ j-യുടെ ലൂപ്പ് 2^ℓ തവണ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.


The total number of lines to compute UPDATE is O(2^ℓ ⋅ ℓ).

UPDATE കണക്കാക്കാൻ ആവശ്യമായ മൊത്തം ലൈനുകളുടെ എണ്ണം O(2^ℓ ⋅ ℓ) ആണ്.


The implementation amounts to careful bookkeeping.

നടപ്പാക്കുക എന്നത് ശ്രദ്ധയോടെയുള്ള കണക്കെടുപ്പാണ്.


The total number of lines for computing EVAL is O(s^2 log s).

EVAL കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള മൊത്തം ലൈനുകളുടെ എണ്ണം O(s^2 log s) ആണ്.


NAND does not offer arrays with efficient random access.

NAND കാര്യക്ഷമമായ റാൻഡം ആക്സസ് ഉള്ള അറേകൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നില്ല.


The Python program for EVAL is translated.

EVAL-നായുള്ള പൈത്തൺ പ്രോഗ്രാം വിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.


It is possible to translate every Python program.

എല്ലാ പൈത്തൺ പ്രോഗ്രാമുകളും വിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും.


Understanding this is fundamental to computer science.

ഇത് മനസ്സിലാക്കുന്നത് കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിന് അടിസ്ഥാനമാണ്.


The potential of quantum computing is fascinating, even though it hasn't been fully realized yet.

ക്വാണ്ടം കമ്പ്യൂട്ടിംഗിന്റെ സാധ്യത വളരെ ആകർഷകമാണ്, ഇത് പൂർണ്ണമായി നടപ്പിലാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിലും.


We will explore quantum computing in detail in a later chapter.

ഒരു പിൽക്കാല അധ്യായത്തിൽ ക്വാണ്ടം കമ്പ്യൂട്ടിംഗിനെക്കുറിച്ച് വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യാം.


Governments and companies rely on cryptography to protect sensitive information.

സെൻസിറ്റീവ് വിവരങ്ങൾ സംരക്ഷിക്കാൻ ഗവൺമെന്റുകളും കമ്പനികളും ക്രിപ്റ്റോഗ്രഫിയെ ആശ്രയിക്കുന്നു.


Cryptography provides a certain level of security, often measured in bits.

ക്രിപ്റ്റോഗ്രഫി ഒരു നിശ്ചിത സുരക്ഷ നൽകുന്നു, ഇത് പലപ്പോഴും ബിറ്റുകളിൽ അളക്കുന്നു.


We can think of programs as both processes and data.

പ്രോഗ്രാമുകളെ പ്രക്രിയയായും ഡാറ്റയായും കണക്കാക്കാം.


The Physical Extended Church-Turing Thesis (PECTT) is a key concept.

ഫിസിക്കൽ എക്സ്റ്റൻഡഡ് ചർച്ച്-ട്യൂറിംഗ് സിദ്ധാന്തം (PECTT) ഒരു പ്രധാന ആശയമാണ്.


Quantum computing poses a challenge to the PECTT.

ക്വാണ്ടം കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് PECTT-ക്ക് ഒരു വെല്ലുവിളി ഉയർത്തുന്നു.


Every function can be computed by many programs.

ഓരോ ഫംഗ്ഷനും നിരവധി പ്രോഗ്രാമുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാൻ കഴിയും.


We define SIZE(s) as the set of functions computable by circuits of a certain size.

നിശ്ചിത വലുപ്പത്തിലുള്ള സർക്യൂട്ടുകൾ വഴി കണക്കാക്കാൻ കഴിയുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ കൂട്ടമാണ് SIZE(s).


The chapter concludes the first part of the book.

ഈ അധ്യായം പുസ്തകത്തിന്റെ ആദ്യ ഭാഗം ഉപസംഹരിക്കുന്നു.


We can describe a circuit or program as a string.

ഒരു സർക്യൂട്ടോ പ്രോഗ്രാമോ ഒരു സ്ട്രിംഗായി വിവരിക്കാം.


The Physical Extended Church-Turing Thesis postulates a relationship between physical resources and computation.

ഫിസിക്കൽ എക്സ്റ്റൻഡഡ് ചർച്ച്-ട്യൂറിംഗ് സിദ്ധാന്തം, ഭൗതിക വിഭവങ്ങളും കമ്പ്യൂട്ടിംഗും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നു.


In the next part, we will discuss unbounded inputs.

അടുത്ത ഭാഗത്ത്, പരിധിയില്ലാത്ത ഇൻപുട്ടുകളെക്കുറിച്ച് ചർച്ച ചെയ്യാം.


The concept of a function with unbounded length inputs is crucial.

പരിധിയില്ലാത്ത നീളമുള്ള ഇൻപുട്ടുകളുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ആശയം വളരെ പ്രധാനമാണ്.


We will explore functions that take strings of arbitrary length.

ഏത് നീളത്തിലുള്ള സ്ട്രിംഗുകളും സ്വീകരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ പഠിക്കും.


The XOR function cannot be computed by a Boolean circuit.

ഒരു Boolean സർക്യൂട്ടിന് XOR ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല.


We can define languages based on Boolean functions.

Boolean ഫംഗ്ഷനുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നമുക്ക് ഭാഷകൾ നിർവചിക്കാൻ കഴിയും.


The membership problem is about determining if a string belongs to a language.

ഒരു ഭാഷയിൽ ഒരു സ്ട്രിംഗ് ഉൾപ്പെടുന്നുണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നതാണ് അംഗത്വ പ്രശ്നം.


We will discuss finite automata as a model of computation.

കമ്പ്യൂട്ടിംഗിന്റെ ഒരു മാതൃകയായി ഫൈനൈറ്റ് ഓട്ടോമാറ്റയെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്യും.


Finite automata are not as powerful as general-purpose programming languages.

സാധാരണ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളെപ്പോലെ ശക്തമല്ല ഫൈനൈറ്റ് ഓട്ടോമാറ്റ.


The number of functions that can be computed using small circuits is much smaller than the total number of functions.

ചെറിയ സർക്യൂട്ടുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാൻ കഴിയുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം മൊത്തം ഫംഗ്ഷനുകളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ വളരെ കുറവാണ്.


A function mapping {0,1} to {0,1} can be identified with the list of its four values.

{0,1}-ലേക്ക് {0,1} മാപ്പ് ചെയ്യുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ അതിന്റെ നാല് മൂല്യങ്ങളുടെ ലിസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും.


The number of functions mapping {0,1} ^n to {0,1} is equal to the number of possible 2^n length lists of values which is exactly 2^(2^n).

{0,1}^n-ൽ നിന്ന് {0,1}-ലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം സാധ്യമായ 2^n നീളമുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ ലിസ്റ്റുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇത് കൃത്യമായി 2^(2^n) ആണ്.


There is a constant δ > 0, such that for every sufficiently large n, there is a function f : {0,1}^n -> {0,1} such that f ∉ SIZE_n(δ2^n/n).

ഓരോ n-നും, f : {0,1}^n -> {0,1} എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ നിലവിലുണ്ട്, f ∉ SIZE_n(δ2^n/n).


We have seen before that every function mapping {0,1}^n to {0,1} can be computed by an O(2^n/n) line program.

{0,1}^n-ൽ നിന്ന് {0,1}-ലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യുന്ന എല്ലാ ഫംഗ്ഷനുകളും ഒരു O(2^n/n) ലൈൻ പ്രോഗ്രാം വഴി കണക്കാക്കാമെന്ന് നമ്മൾ മുമ്പ് കണ്ടിട്ടുണ്ട്.


Some functions f : {0,1}^n -> {0,1} cannot be computed by a Boolean circuit using fewer than exponential (in n) number of gates.

ചില ഫംഗ്‌ഷനുകൾ f : {0,1}^n -> {0,1} എന്നിവ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ (n-ൽ) ഗേറ്റുകളുടെ എണ്ണം കുറഞ്ഞ ഒരു ബൂളിയൻ സർക്യൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല.


The ASCII representation is not the shortest representation for NAND-CIRC programs.

NAND-CIRC പ്രോഗ്രാമുകൾക്കുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രാതിനിധ്യം ASCII പ്രാതിനിധ്യമല്ല.


NAND-CIRC programs are equivalent to circuits with NAND gates.

NAND-CIRC പ്രോഗ്രാമുകൾ NAND ഗേറ്റുകളുള്ള സർക്യൂട്ടുകൾക്ക് തുല്യമാണ്.


We prove Theorem 5.5 by coming up with a list f0, ..., f2^n of functions.

f0, ..., f2^n ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് ഉണ്ടാക്കുന്നതിലൂടെ നമ്മൾ സിദ്ധാന്തം 5.5 തെളിയിക്കുന്നു.


By Theorem 4.15 the class SIZE_n(10 ⋅ 2^n/n) contains all functions from {0,1}^n to {0,1}.

സിദ്ധാന്തം 4.15 അനുസരിച്ച്, SIZE_n(10 ⋅ 2^n/n) എന്ന ക്ലാസ്സിൽ {0,1}^n-ൽ നിന്ന് {0,1}-ലേക്കുള്ള എല്ലാ ഫംഗ്ഷനുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.


For every sufficiently large n and 10n < s < 0.1 ⋅ 2^n/n, SIZE_n(s) ⊊ SIZE_n(s+10n).

ഓരോ n-നും 10n < s < 0.1 ⋅ 2^n/n ആകുമ്പോൾ, SIZE_n(s) ⊊ SIZE_n(s+10n).


To prove the theorem we need to find a function f : {0,1}^n -> {0,1} such that f can be computed by a circuit of s + 10n gates.

ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ, s + 10n ഗേറ്റുകളുള്ള ഒരു സർക്യൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാൻ കഴിയുന്ന f : {0,1}^n -> {0,1} എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.


We will do so by coming up with a sequence of functions f0, f1, f2, ..., fN with the following properties.

ഇനി പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുള്ള f0, f1, f2, ..., fN എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു ശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യും.


The function f0 is simply the constant zero function, while the function f2^n is equal to f*.

f0 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ലളിതമായി സ്ഥിരമായ പൂജ്യ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അതേസമയം f2^n എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ f*-ന് തുല്യമാണ്.


Moreover, for every i ∈ [2^n], the functions fi and fi+1 differ on at most one input.

കൂടാതെ, ഓരോ i ∈ [2^n]-നും, fi, fi+1 എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പരമാവധി ഒരു ഇൻപുട്ടിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.


Let 10n < s < 0.1 ⋅ 2^n/n, and let i be the first index such that fi ∉ SIZE_n(s).

10n < s < 0.1 ⋅ 2^n/n ആകട്ടെ, fi ∉ SIZE_n(s) ആകുന്ന ആദ്യ സൂചിക i ആകട്ടെ.


Since f2^n = f* ∉ SIZE_n(0.1 ⋅ 2^n/n) there must exist such an index i, and moreover i > 0 since the constant zero function is a member of SIZE_n(10n).

f2^n = f* ∉ SIZE_n(0.1 ⋅ 2^n/n) ആയതിനാൽ, അത്തരമൊരു സൂചിക i ഉണ്ടായിരിക്കണം, മാത്രമല്ല സ്ഥിരമായ പൂജ്യ ഫംഗ്‌ഷൻ SIZE_n(10n)-ൻ്റെ അംഗമായതിനാൽ i > 0 ആയിരിക്കണം.


To complete the proof, we need to show that fi ∈ SIZE_n(s + 10n).

തെളിവ് പൂർത്തിയാക്കാൻ, fi ∈ SIZE_n(s + 10n) എന്ന് നമ്മൾ കാണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.


We define the functions f0, f1, ..., f2^n mapping {0,1}^n to {0,1} as follows.

ഇനി പറയുന്ന രീതിയിൽ {0,1}^n-നെ {0,1}-ലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യുന്ന f0, f1, ..., f2^n എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ നമ്മൾ നിർവചിക്കുന്നു.


For every x ∈ {0,1}^n, if lex(x) ∈ {0,1, ..., 2^n - 1} is x’s order in the lexicographical order then fi(x) = f*(x) if lex(x) < i, 0 otherwise.

ഓരോ x ∈ {0,1}^n-നും, lex(x) ∈ {0,1, ..., 2^n - 1} ആണെങ്കിൽ, ലെക്സിക്കോഗ്രാഫിക്കൽ ക്രമത്തിൽ x-ൻ്റെ ക്രമം ആണെങ്കിൽ fi(x) = f*(x) lex(x) < i, അല്ലെങ്കിൽ 0.


The algorithm checks if 'e' matches the empty string.

'e' ശൂന്യമായ സ്ട്രിംഗുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുണ്ടോ എന്ന് അൽഗോരിതം പരിശോധിക്കുന്നു.


If e is empty or belongs to the alphabet, return 0.

e ശൂന്യമാണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ അക്ഷരമാലയിൽ ഉൾപ്പെട്ടതാണെങ്കിൽ, 0 തിരികെ നൽകുക.


ഈ അൽഗോരിതം വളരെ കാര്യക്ഷമമല്ല.


Fortunately, there is a much more efficient algorithm.

ഭാഗ്യവശാൽ, വളരെ കൂടുതൽ കാര്യക്ഷമമായ ഒരു അൽഗോരിതം ഉണ്ട്.


We will see a formal definition of time complexity in Chapter 13.

അധ്യായം 13-ൽ സമയ സങ്കീർണ്ണതയുടെ ഔപചാരികമായ ഒരു നിർവചനം നമ്മൾ കാണും.


e ഒരു സാധാരണ പദമാണെന്ന് കരുതുക.


Then there is an O(n) time algorithm that computes Φe.

അപ്പോൾ Φe കണക്കാക്കുന്ന ഒരു O(n) സമയ അൽഗോരിതം ഉണ്ട്.


This makes sense since in practice we often want to compute Φe(x) for a small regular expression e and a large document x.

ഒരു ചെറിയ സാധാരണ പദമായ e-ക്കും വലിയ ഡോക്യുമെന്റ് x-നും വേണ്ടി Φe(x) കണക്കുകൂട്ടാൻ നമ്മൾ പലപ്പോഴും ആഗ്രഹിക്കുന്നതുകൊണ്ട് ഇത് അർത്ഥവത്താണ്.


We prove Theorem 6.12 by obtaining a more efficient recursive algorithm.

കൂടുതൽ കാര്യക്ഷമമായ ഒരു റിcursർസീവ് അൽഗോരിതം വഴി നമ്മൾ സിദ്ധാന്തം 6.12 തെളിയിക്കുന്നു.


The idea is that for every regular expression e and symbol σ in its alphabet, it is possible to define a regular expression e[σ] such that e[σ] matches a string x if and only if e matches the string xσ.

ഓരോ സാധാരണ പദത്തിനും അതിന്റെ അക്ഷരമാലയിലെ σ എന്ന ചിഹ്നത്തിനും, e[σ] എന്ന ഒരു സാധാരണ പദം നിർവചിക്കാൻ കഴിയും. e[σ] ഒരു സ്ട്രിംഗ് x-മായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നത് e, xσ എന്ന സ്ട്രിംഗുമായി പൊരുത്തപ്പെടുമ്പോളാണ്.


Algorithm 6.13 computes the restriction e[σ] given a regular expression e and an alphabet symbol σ.

ഒരു സാധാരണ പദവും (e), ഒരു അക്ഷരമാലാ ചിഹ്നവും (σ) നൽകിയാൽ, ആൽഗൊരിതം 6.13 e[σ] എന്ന നിയന്ത്രണം കണക്കാക്കുന്നു.


It always terminates, since the recursive calls it makes are always on expressions smaller than the input expression.

ഇത് എപ്പോഴും അവസാനിപ്പിക്കും, കാരണം ഇത് ഉണ്ടാക്കുന്ന റിcursർസീവ് കോളുകൾ ഇൻപുട്ട് എക്സ്പ്രഷനേക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും.


Using this notion of restriction, we can define the following recursive algorithm for regular expression matching.

ഈ നിയന്ത്രണ ആശയം ഉപയോഗിച്ച്, സാധാരണ പദങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള താഴെയുള്ള റിcursർസീവ് അൽഗോരിതം നമുക്ക് നിർവചിക്കാം.


By the definition of a restriction, for every σ ∈ Σ and x' ∈ Σ*, the expression e matches x'σ if and only if e[σ] matches x'.

ഒരു നിയന്ത്രണത്തിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, എല്ലാ σ ∈ Σ, x' ∈ Σ* എന്നിവയ്ക്കും, e, x'σ-മായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നത് e[σ], x'-മായി പൊരുത്തപ്പെടുമ്പോളാണ്.


The only remaining task is to analyze its running time.

ഇനി അതിന്റെ പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സമയം വിശകലനം ചെയ്യുക എന്നതാണ് ശേഷിക്കുന്ന ജോലി.


For simplicity, let us restrict our attention to the case that the alphabet Σ is equal to {0,1}.

ലളിതമാക്കാൻ, അക്ഷരമാല Σ എന്നത് {0,1} ന് തുല്യമാകുമ്പോൾ നമുക്ക് ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാം.


Define C(ℓ) to be the maximum number of operations that Algorithm 6.13 takes when given as input a regular expression e over {0,1} of at most ℓ symbols.

പരമാവധി ℓ ചിഹ്നങ്ങളുള്ള {0,1}-ൽ e എന്ന സാധാരണ പദം ഇൻപുട്ടായി നൽകുമ്പോൾ, ആൽഗൊരിതം 6.13 എടുക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം C(ℓ) ആയി നിർവചിക്കുക.


Algorithm 6.14 is a recursive algorithm that input an expression e and a string x ∈ {0,1}n, does computation of at most C(|e|) steps and then calls itself with input some expression e' and a string x' of length n - 1.

ആൽഗൊരിതം 6.14 എന്നത് ഒരു റിcursർസീവ് അൽഗോരിതമാണ്. ഇത് e എന്ന പദവും x ∈ {0,1}n എന്ന സ്ട്രിംഗും ഇൻപുട്ടായി എടുക്കുന്നു, C(|e|) ഘട്ടങ്ങൾ വരെ കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്തുന്നു, തുടർന്ന് e' എന്ന പദവും n - 1 എന്ന നീളമുള്ള x' എന്ന സ്ട്രിംഗും ഇൻപുട്ടായി സ്വീകരിക്കുന്നു.


This solves to O(n) where the implicit constant in the O notation can (and will) depend on e but crucially, not on the length of the input x.

ഇത് O(n)-ലേക്ക് പരിഹരിക്കുന്നു, ഇവിടെ O നൊട്ടേഷനിലെ വ്യക്തമല്ലാത്ത സ്ഥിരാങ്കം e-യെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇൻപുട്ട് x-ന്റെ നീളത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.


Specifically a variable ve' for every e' ∈ S(e) and a variable last e' for every e' in S(e), using the fact that e'[xi] is in S(e) for every e' ∈ S(e).

പ്രത്യേകിച്ചും, എല്ലാ e' ∈ S(e)-നും ഒരു വേരിയബിൾ ve' ഉം, S(e)-ലെ എല്ലാ e'-നും ഒരു വേരിയബിൾ last e' ഉം ഉപയോഗിക്കുന്നു, e'[xi] എല്ലാ e' ∈ S(e)-നും S(e)-ൽ ഉണ്ട് എന്ന വസ്തുത ഉപയോഗിച്ച്.


The length n, denoted as F n, is the finite function f : {0,1} n -> {0,1} such that f(x) = F(x) for every x ∈ {0,1} n.

n എന്ന നീളം, F n എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, f : {0,1} n -> {0,1} എന്ന പരിമിതമായ ഫംഗ്ഷനാണ്, അതായത് എല്ലാ x ∈ {0,1} n നും f(x) = F(x).


That is, F n is the finite function that is only defined on inputs in {0,1} n, but agrees with F on those inputs.

അതായത്, F n എന്നത് {0,1} n-ൽ ഇൻപുട്ടുകളിൽ മാത്രം നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ളതും, എന്നാൽ ആ ഇൻപുട്ടുകളിൽ F-മായി യോജിക്കുന്നതുമായ പരിമിതമായ ഫംഗ്ഷനാണ്.


Since F n is a finite function, it can be computed by a Boolean circuit, implying the following theorem: Theorem 6.1— Circuit collection for every infinite function.

F n ഒരു പരിമിതമായ ഫംഗ്ഷനായതിനാൽ, ഇത് ഒരു Boolean സർക്യൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാൻ കഴിയും, ഇത് താഴെ പറയുന്ന സിദ്ധാന്തത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: സിദ്ധാന്തം 6.1— എല്ലാ അനന്തമായ ഫംഗ്ഷനുകൾക്കുമുള്ള സർക്യൂട്ട് ശേഖരം.


Let F : {0,1} * -> {0,1}. Then there is a collection {C n } n∈{1,2,...} of circuits such that for every n > 0, C n computes the restriction F n of F to inputs of length n.

F : {0,1} * -> {0,1} എന്ന് കരുതുക. അങ്ങനെയെങ്കിൽ, {C n } n∈{1,2,...} എന്ന സർക്യൂട്ടുകളുടെ ഒരു ശേഖരം ഉണ്ട്, അതുപോലെ എല്ലാ n > 0 നും, C n F ന്റെ F n എന്ന നിയന്ത്രണം n എന്ന നീളത്തിലുള്ള ഇൻപുട്ടുകളിൽ കണക്കാക്കുന്നു.


Proof. This is an immediate corollary of the universality of Boolean circuits.

തെളിവ്. ഇത് Boolean സർക്യൂട്ടുകളുടെ സാർവത്രികതയുടെ ഒരു തൽക്ഷണ ഫലമാണ്.


Indeed, since F n maps {0,1} n to {0,1}, Theorem 4.15 implies that there exists a Boolean circuit C n to compute it.

തീർച്ചയായും, F n, {0,1} n നെ {0,1} ആയി മാപ്പ് ചെയ്യുന്നതിനാൽ, ഇത് കണക്കാക്കാൻ ഒരു Boolean സർക്യൂട്ട് C n നിലവിലുണ്ടെന്ന് സിദ്ധാന്തം 4.15 സൂചിപ്പിക്കുന്നു.


In fact, the size of this circuit is at most c ⋅2 n /n gates for some constant c ≤ 10.

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ സർക്യൂട്ടിന്റെ വലുപ്പം ചില സ്ഥിരമായ c ≤ 10-ന്, c ⋅2 n /n ഗേറ്റുകളിൽ കൂടരുത്.


In particular, Theorem 6.1 implies that there exists such a circuit collection {C n } even for the TWINP function we described before, even though we do not know of any program to compute it.

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ മുമ്പ് വിവരിച്ച TWINP ഫംഗ്ഷനുപോലും, ഇത് കണക്കാക്കാൻ ഒരു പ്രോഗ്രാം നമുക്കറിയില്ലെങ്കിലും, അത്തരം ഒരു സർക്യൂട്ട് ശേഖരം {C n } നിലവിലുണ്ടെന്ന് സിദ്ധാന്തം 6.1 സൂചിപ്പിക്കുന്നു.


Indeed, this is not that surprising: for every particular n ∈ ℕ, TWINP n is either the constant zero function or the constant one function, both of which 222 introduction to theoretical computer science can be computed by very simple Boolean circuits.

തീർച്ചയായും, ഇത് അത്ര അത്ഭുതകരമല്ല: എല്ലാ പ്രത്യേക n ∈ ℕ നും, TWINP n എന്നത് സ്ഥിരമായ പൂജ്യം ഫംഗ്ഷനോ സ്ഥിരമായ ഒന്ന് ഫംഗ്ഷനോ ആണ്, രണ്ടും വളരെ ലളിതമായ Boolean സർക്യൂട്ടുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാൻ കഴിയും.


Hence a collection of circuits {C n } that computes TWINP certainly exists.

അതുകൊണ്ട് TWINP കണക്കാക്കുന്ന {C n } എന്ന സർക്യൂട്ടുകളുടെ ഒരു ശേഖരം തീർച്ചയായും നിലവിലുണ്ട്.


The difficulty in computing TWINP using Python or any other programming lan- guage arises from the fact that we do not know for each particular n what is the circuit C n in this collection.

പൈത്തൺ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റേതെങ്കിലും പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷ ഉപയോഗിച്ച് TWINP കണക്കാക്കുന്നതിലെ ബുദ്ധിമുട്ട്, ഓരോ പ്രത്യേക n നും ഈ ശേഖരത്തിലെ C n സർക്യൂട്ട് ഏതാണെന്ന് നമുക്കറിയില്ല എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്നാണ് ഉണ്ടാകുന്നത്.


6.2 DETERMINISTIC FINITE AUTOMATA (OPTIONAL) All our computational models so far - Boolean circuits and straight- line programs - were only applicable for finite functions.

6.2 നിർണ്ണായക ഫൈനൈറ്റ് ഓട്ടോമാറ്റ (ഓപ്ഷണൽ) ഇതുവരെയുള്ള നമ്മുടെ എല്ലാ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ മോഡലുകളും - Boolean സർക്യൂട്ടുകളും നേർരേഖാ പ്രോഗ്രാമുകളും - പരിമിതമായ ഫംഗ്ഷനുകൾക്ക് വേണ്ടി മാത്രമുള്ളവയായിരുന്നു.


In Chapter 7, we will present Turing machines, which are the central models of computation for unbounded input length functions.

അധ്യായം 7-ൽ, പരിധിയില്ലാത്ത ഇൻപുട്ട് ലെങ്ത് ഫംഗ്ഷനുകൾക്കായുള്ള കമ്പ്യൂട്ടേഷന്റെ കേന്ദ്ര മോഡലുകളായ ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കും.


However, in this section we present the more basic model of deterministic finite automata (DFA).

എങ്കിലും, ഈ ഭാഗത്ത് നമ്മൾ കൂടുതൽ അടിസ്ഥാനപരമായ ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് ഫൈനൈറ്റ് ഓട്ടോമാറ്റയുടെ (DFA) മാതൃക അവതരിപ്പിക്കുന്നു.


Automata can serve as a good stepping-stone for Turing machines, though they will not be used much in later parts of this book, and so the reader can feel free to skip ahead to Chapter 7.

ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകൾക്ക് ഒരു നല്ല മുന്നേറ്റമായി ഓട്ടോമാറ്റ പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും, എന്നിരുന്നാലും ഈ പുസ്തകത്തിന്റെ തുടർന്നുള്ള ഭാഗങ്ങളിൽ ഇത് അധികം ഉപയോഗിക്കില്ല, അതിനാൽ വായനക്കാർക്ക് 7-ാം അധ്യായത്തിലേക്ക് കടന്നുപോവുകയും ചെയ്യാം.


DFAs turn out to be equivalent in power to regular expressions: a powerful mechanism to specify patterns, which is widely used in practice.

DFA-കൾ, പ്രായോഗികമായി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്ന പാറ്റേണുകൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള ശക്തമായ ഒരു സംവിധാനമായ റെഗുലർ എക്സ്പ്രഷനുകളുമായി തുല്യശക്തിയുള്ളവയാണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.


Our treatment of automata is relatively brief.

ഓട്ടോമാറ്റയെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ വിവരണം താരതമ്യേന ചുരുങ്ങിയതാണ്.


There are plenty of resources that help you get more comfortable with DFAs.

DFA-കളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന ധാരാളം വിവരങ്ങൾ ലഭ്യമാണ്.


At a high level, an algorithm is a recipe for computing an output from an input via a combination of the following steps:

ഒരു ഉയർന്ന തലത്തിൽ, ഒരു അൽഗോരിതം എന്നത് ഇൻപുട്ടിൽ നിന്ന് ഔട്ട്‌പുട്ട് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ്, താഴെ പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങളുടെ സംയോജനത്തിലൂടെ ഇത് സാധ്യമാക്കുന്നു:


1. Read a bit from the input 2. Update the state (working memory) 3. Stop and produce an output

1. ഇൻപുട്ടിൽ നിന്ന് ഒരു ബിറ്റ് വായിക്കുക 2. സ്റ്റേറ്റ് അപ്‌ഡേറ്റ് ചെയ്യുക (പ്രവർത്തിക്കുന്ന മെമ്മറി) 3. നിർത്തുക, ഒരു ഔട്ട്‌പുട്ട് ഉണ്ടാക്കുക


The Turing machine starts in the START state.

ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ ആരംഭിക്കുന്നത് START എന്ന അവസ്ഥയിലാണ്.


It moves right, looking for the first symbol that is 0 or 1.

0 അല്ലെങ്കിൽ 1 ആയ ആദ്യ ചിഹ്നം തിരഞ്ഞ് അത് വലത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നു.


If it finds ∅ before it hits such a symbol then it moves to the OUTPUT_1 state.

അത്തരത്തിലുള്ള ചിഹ്നത്തിൽ എത്തുന്നതിന് മുമ്പ് ∅ കണ്ടെത്തിയാൽ, അത് OUTPUT_1 എന്ന അവസ്ഥയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.


Once the machine finds a symbol b ∈ {0,1}, it deletes b from the tape.

മെഷീൻ ഒരു ചിഹ്നം b ∈ {0,1} കണ്ടെത്തിയാൽ, അത് ടേപ്പിൽ നിന്ന് b ഇല്ലാതാക്കുന്നു.


The machine enters either the RIGHT_b mode and starts moving rightwards.

മെഷീൻ RIGHT_b മോഡിൽ പ്രവേശിക്കുകയും വലത്തേക്ക് നീങ്ങാൻ തുടങ്ങുകയും ചെയ്യുന്നു.


It moves leftward until it hits the first symbol that is not 0 or 1.

0 അല്ലെങ്കിൽ 1 അല്ലാത്ത ആദ്യ ചിഹ്നത്തിൽ എത്തുന്നതുവരെ അത് ഇടത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നു.


The OUTPUT_b states mean that the machine will eventually output the value b.

OUTPUT_b അവസ്ഥകൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് മെഷീൻ ഒടുവിൽ മൂല്യം b ഔട്ട്‌പുട്ട് ചെയ്യും എന്നാണ്.


The formal definition of Turing machines is as follows:

ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകളുടെ ഔപചാരിക നിർവചനം ഇപ്രകാരമാണ്:


A Turing machine with k states and alphabet Σ ⊇ {0,1,▷,∅} is represented by a transition function.

k അവസ്ഥകളും Σ ⊇ {0,1,▷,∅} എന്ന അക്ഷരമാലയുമുള്ള ഒരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ ഒരു ട്രാൻസിഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.


For every x ∈ {0,1}*, the output of M on input x, denoted by M(x), is the result of the following process:

എല്ലാ x ∈ {0,1} * നും, M-ൻ്റെ ഇൻപുട്ടായ x-ൻ്റെ ഔട്ട്‌പുട്ട്, M(x) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് താഴെ പറയുന്ന പ്രക്രിയയുടെ ഫലമാണ്:


We initialize T to be the sequence ▷, x0, x1, ..., xn-1, ∅, ∅, ...

▷, x0, x1, ..., xn-1, ∅, ∅, ...എന്ന ക്രമത്തിൽ T-യെ ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്നു.


i = 0, s = 0 എന്നിങ്ങനെയും ആരംഭിക്കുന്നു.


(s', σ', D) = δM(s, T[i]) എന്ന് എടുക്കുക.


If D = R then set i → i+1, if D = L then set i → max{i-1, 0}.

D = R ആണെങ്കിൽ i → i+1 എന്നും, D = L ആണെങ്കിൽ i → max{i-1, 0} എന്നും നൽകുക.


If the process above halts, then M’s output, denoted by M(x), is the string y ∈ {0,1}* obtained by concatenating all the symbols in {0,1}.

മുകളിലുള്ള പ്രക്രിയ നിലച്ചാൽ, M-ൻ്റെ ഔട്ട്‌പുട്ട്, M(x) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, {0,1} എന്നതിലെ എല്ലാ ചിഹ്നങ്ങളും ചേർത്ത് ഉണ്ടാക്കുന്ന y ∈ {0,1}* എന്ന സ്ട്രിംഗ് ആണ്.


If the Turing machine does not halt then we denote M(x) = ⊥.

ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ പ്രവർത്തിക്കാത്ത പക്ഷം M(x) = ⊥ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.


We can precisely define what it means for a function to be computable by any possible algorithm.

ഏത് അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ചും ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കാവുന്നതാണ് എന്ന് നമുക്ക് കൃത്യമായി നിർവചിക്കാൻ കഴിയും.


A Turing machine (or program) M can compute some function F, but it is not the same as F.

ഒരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീന് (അല്ലെങ്കിൽ പ്രോഗ്രാം) M-ന് F എന്ന ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കാൻ കഴിയും, പക്ഷേ ഇത് F-ന് തുല്യമല്ല.


We define R be the set of all computable functions F : {0,1}* -> {0,1}.

എല്ലാ കമ്പ്യൂട്ടബിൾ ഫംഗ്ഷനുകളുടെയും കൂട്ടമായി R-നെ നമ്മൾ നിർവചിക്കുന്നു F : {0,1}* -> {0,1}.


A partial function F from a set A to a set B is a function that is only defined on a subset of A.

A എന്ന സെറ്റിൽ നിന്ന് B എന്ന സെറ്റിലേക്കുള്ള ഒരു ഭാഗിക ഫംഗ്ഷൻ എന്നത് A-യുടെ ഉപഗണത്തിൽ മാത്രം നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്.


The machine simulates each iteration of the program by updating its state and tape accordingly.

പ്രോഗ്രാമിന്റെ ഓരോ ആവർത്തനവും അതിന്റെ അവസ്ഥയും ടേപ്പും തദനുസരണം അപ്‌ഡേറ്റ് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ മെഷീൻ അനുകരിക്കുന്നു.


We can encode the set {L, R, S, H} using {0, 1}2.

{L, R, S, H} എന്ന സെറ്റ് {0, 1}2 ഉപയോഗിച്ച് എൻകോഡ് ചെയ്യാൻ കഴിയും.


The Turing machine will enter into a special loop to copy the results of the Y array into the output and then halt.

യന്ത്രം Y അറേയുടെ ഫലങ്ങൾ ഔട്ട്‌പുട്ടിലേക്ക് പകർത്തി, തുടർന്ന് നിർത്തുന്നതിന് ഒരു പ്രത്യേക ലൂപ്പിലേക്ക് പ്രവേശിക്കും.


The key observation is that by Theorem 4.12 we can compute every finite function using a NAND-CIRC program.

സിദ്ധാന്തം 4.12 അനുസരിച്ച്, ഒരു NAND-CIRC പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് എല്ലാ ഫൈനൈറ്റ് ഫംഗ്ഷനും കണക്കാക്കാൻ കഴിയുമെന്നതാണ് പ്രധാന നിരീക്ഷണം.


We will come back to this question of measuring the number of computation steps later in this course.

കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ ഘട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണം അളക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഈ ചോദ്യത്തിലേക്ക് ഈ കോഴ്സിൽ പിന്നീട് തിരികെ വരാം.


The GOTO statement was a staple of most early programming languages.

GOTO സ്റ്റേറ്റ്മെന്റ്, ആദ്യകാല പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളിലെ പ്രധാന ഘടകമായിരുന്നു.


In contrast, if the program might jump to do blah from any other point in the code, then it’s very hard for you as the programmer to know what you can rely upon in this code.

നേരെമറിച്ച്, കോഡിലെ മറ്റേതെങ്കിലും പോയിന്റിൽ നിന്ന് പ്രോഗ്രാം ബ്ലായിലേക്ക് പോകാൻ സാധ്യതയുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ കോഡിൽ നിങ്ങൾക്ക് എന്തിനെ ആശ്രയിക്കാമെന്ന് പ്രോഗ്രാമർ എന്ന നിലയിൽ നിങ്ങൾക്ക് അറിയാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.


We can implement more advanced looping constructs than the simple MODANDJUMP.

ലളിതമായ MODANDJUMP-നേക്കാൾ മികച്ച ലൂപ്പിംഗ് ഘടനകൾ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും.


The machine can simulate this iteration by reading the values of all array variables at i.

i-യിലെ എല്ലാ അറേ വേരിയബിളുകളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ വായിക്കുന്നതിലൂടെ മെഷീന് ഈ ആവർത്തനം അനുകരിക്കാൻ കഴിയും.


The overall operation of the Turing machine will be as follows:

ട്യൂറിംഗ് മെഷീന്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള പ്രവർത്തനം താഴെ പറയുന്നവയാണ്:


We can achieve the effect of GOTO in NAND-TM using conditionals.

കണ്ടീഷണൽസ് ഉപയോഗിച്ച് NAND-TM-ൽ GOTO-യുടെ ഫലം നമുക്ക് നേടാനാകും.


The key difference between NAND-CIRC and NAND-TM is that NAND-TM allows us to express the fact that the algorithm for computing parities of length-100 strings is really the same one as the algorithm for computing parities of length-5 strings.

NAND-CIRC-ഉം NAND-TM-ഉം തമ്മിലുള്ള പ്രധാന വ്യത്യാസം, 100-ന്റെ നീളമുള്ള സ്ട്രിംഗുകളുടെ പാരിറ്റികൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം, 5-ന്റെ നീളമുള്ള സ്ട്രിംഗുകളുടെ പാരിറ്റികൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം പോലെ തന്നെയാണെന്ന വസ്തുത പ്രകടിപ്പിക്കാൻ NAND-TM നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു എന്നതാണ്.


These are models where each individual program/circuit can compute a finite function.

ഓരോ വ്യക്തിഗത പ്രോഗ്രാമിനും/സർക്യൂട്ടിനും ഒരു ഫൈനൈറ്റ് ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കാൻ കഴിയുന്ന മോഡലുകളാണ് ഇവ.


We will move freely between describing an algorithm as a Turing machine or as a NAND-TM program.

ഒരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീനായി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു NAND-TM പ്രോഗ്രാമായി ഒരു അൽഗോരിതം വിവരിക്കുന്നതിൽ ഞങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമായി നീങ്ങും.


The head location corresponds to the index variable i.

ഹെഡ് ലൊക്കേഷൻ സൂചിക വേരിയബിൾ i-ക്ക് അനുസൃതമാണ്.


The main trouble with GOTO is that it makes analysis of programs more difficult.

GOTO-യുടെ പ്രധാന പ്രശ്നം, ഇത് പ്രോഗ്രാമുകളുടെ വിശകലനം കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാക്കുന്നു എന്നതാണ്.


We can use “syntactic sugar” to make NAND-TM programs easier to write.

NAND-TM പ്രോഗ്രാമുകൾ എഴുതുന്നത് എളുപ്പമാക്കാൻ നമുക്ക് “സിന്റാക്റ്റിക് ഷുഗർ” ഉപയോഗിക്കാം.


In one iteration of P the value of i remains fixed.

P-യുടെ ഒരു ആവർത്തനത്തിൽ i-യുടെ മൂല്യം സ്ഥിരമായി നിലനിൽക്കുന്നു.


The notion of “self replication”, and the related notion of “self reference” are crucial to many aspects of computation.

“സ്വയം പകർപ്പ്” എന്ന ആശയവും, അതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട “സ്വയം റഫറൻസ്” എന്ന ആശയവും കമ്പ്യൂട്ടേഷന്റെ പല കാര്യങ്ങളിലും നിർണായകമാണ്.


We can encode its components as follows:

അതിന്റെ ഘടകങ്ങൾ നമുക്ക് താഴെ പറയുന്ന രീതിയിൽ എൻകോഡ് ചെയ്യാം:


If |푤 ′ | > 2|푒 ′ |then by the induction hypothesis there exist푥,푦,푧 ′ with |푦| ≥ 1,|푥푦| ≤ 2|푒 ′ | < 푛 0 such that푤 ′ = 푥푦푧 ′ and푒 ′ matches푥푦 푘 푧 ′ for every푘 ∈ ℕ.

|푤 ′ | > 2|푒 ′ | ആണെങ്കിൽ, ഇൻഡക്ഷൻ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, |푦| ≥ 1, |푥푦| ≤ 2|푒 ′ | < 푛 0 എന്ന നിലയിൽ 푥, 푦, 푧 ′ എന്നിവ ഉണ്ടാകും, അതുപോലെ 푤 ′ = 푥푦푧 ′ കൂടാതെ എല്ലാ 푘 ∈ ℕ നും 푒 ′ , 푥푦 푘 푧 ′ എന്നിവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.


This completes the proof since if we set푧 = 푧 ′ 푤 ′′ then we see that푤 = 푤 ′ 푤 ′′ = 푥푦푧and푒 = (푒 ′ )(푒 ′′ )matches푥푦 푘 푧for every푘 ∈ ℕ.

നമ്മൾ 푧 = 푧 ′ 푤 ′′ എന്ന് സ്ഥാപിച്ചാൽ, 푤 = 푤 ′ 푤 ′′ = 푥푦푧 എന്നും എല്ലാ 푘 ∈ ℕ നും 푒 = (푒 ′ )(푒 ′′ ) , 푥푦 푘 푧 എന്നിവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എന്നും കാണാം.


Otherwise, if|푤 ′ | ≤ 2|푒 ′ |then since|푤| = |푤 ′ | + |푤 ′′ | > 푛 0 = 2(|푒 ′ |+|푒 ′′ |), it must be that|푤 ′′ | > 2|푒 ′′ |.

മറിച്ച്, |푤 ′ | ≤ 2|푒 ′ | ആണെങ്കിൽ, |푤| = |푤 ′ | + |푤 ′′ | > 푛 0 = 2(|푒 ′ |+|푒 ′′ |) എന്നതിനാൽ, |푤 ′′ | > 2|푒 ′′ | ആയിരിക്കണം.


Hence by the induction hypothesis there exist푥 ′ ,푦,푧such that|푦| ≥ 1,|푥 ′ 푦| ≤ 2|푒 ′′ |and푒 ′′ matches푥 ′ 푦 푘 푧for every푘 ∈ ℕ.

അതുകൊണ്ട് ഇൻഡക്ഷൻ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് |푦| ≥ 1, |푥 ′ 푦| ≤ 2|푒 ′′ |എന്ന നിലയിൽ 푥 ′ , 푦, 푧 എന്നിവ ഉണ്ടാകും, കൂടാതെ എല്ലാ 푘 ∈ ℕ നും 푒 ′′ , 푥 ′ 푦 푘 푧 എന്നിവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.


But now if we set푥 = 푤 ′ 푥 ′ we see that |푥푦| = |푤 ′ | + |푥 ′ 푦| ≤ 2|푒 ′ | + 2|푒 ′′ | = 푛 0 and on the other hand the expression푒 = (푒 ′ )(푒 ′′ )matches푥푦 푘 푧 = 푤 ′ 푥 ′ 푦 푘 푧for every푘 ∈ ℕ.

എന്നാൽ ഇപ്പോൾ നമ്മൾ 푥 = 푤 ′ 푥 ′ എന്ന് സ്ഥാപിച്ചാൽ |푥푦| = |푤 ′ | + |푥 ′ 푦| ≤ 2|푒 ′ | + 2|푒 ′′ | = 푛 0 എന്നും മറുവശത്ത് എല്ലാ 푘 ∈ ℕ നും 푒 = (푒 ′ )(푒 ′′ ) , 푥푦 푘 푧 = 푤 ′ 푥 ′ 푦 푘 푧 എന്നിവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എന്നും കാണാം.


In case(c), if푤is matched by(푒 ′ ) ∗ then푤 = 푤 0 ⋯푤 푡 where for every푖 ∈ [푡],푤 푖 is a nonempty string matched by푒 ′ .

(c)എന്ന കേസിൽ, 푤 , (푒 ′ ) ∗ എന്നിവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ, 푤 = 푤 0 ⋯푤 푡 ആയിരിക്കും, അവിടെ എല്ലാ 푖 ∈ [푡] നും 푤 푖 എന്നത് 푒 ′  എന്നതുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ശൂന്യമല്ലാത്ത ഒരു സ്ട്രിംഗ് ആണ്.


If|푤 0 | > 2|푒 ′ |, then we can use the same approach as in the concatenation case above.

|푤 0 | > 2|푒 ′ | ആണെങ്കിൽ, മുകളിലുള്ള കോൺകാറ്റെനേഷൻ കേസിലേതിന് സമാനമായ സമീപനം ഉപയോഗിക്കാം.


Otherwise, we simply note that if푥is the empty string,푦 = 푤 0 , and 푧 = 푤 1 ⋯푤 푡 then|푥푦| ≤ 푛 0 and푥푦 푘 푧is matched by(푒 ′ ) ∗ for every 푘 ∈ ℕ.

മറ്റൊരുവിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, 푥 ശൂന്യമായ സ്ട്രിംഗും, 푦 = 푤 0 , കൂടാതെ 푧 = 푤 1 ⋯푤 푡 ആയാൽ |푥푦| ≤ 푛 0  ആയിരിക്കും, കൂടാതെ എല്ലാ 푘 ∈ ℕ നും 푥푦 푘 푧 , (푒 ′ ) ∗ എന്നിവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.


When an object isrecursively defined(as in the case of regular expressions) then it is natural to prove properties of such objects byinduction.

ഒരു വസ്തുവിനെ ആവർത്തിച്ച് നിർവചിക്കുമ്പോൾ (റെഗുലർ എക്സ്പ്രഷൻ്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ), അത്തരം വസ്തുക്കളുടെ ഗുണങ്ങൾ ഇൻഡക്ഷൻ വഴി തെളിയിക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്.


That is, if we want to prove that all objects of this type have prop- erty푃, then it is natural to use an inductive step that says that if표 ′ ,표 ′′ ,표 ′′′ etc have property푃then so is an object표that is obtained by composing them.

അതായത്, ഈ തരത്തിലുള്ള എല്ലാ വസ്തുക്കൾക്കും പ്രോപ്പർട്ടി 푃 ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, 표 ′ ,표 ′′ ,표 ′′′ തുടങ്ങിയവയ്ക്ക് പ്രോപ്പർട്ടി 푃 ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവയെ രചിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന ഒരു വസ്തുവും അങ്ങനെയാണെന്ന് പറയുന്ന ഒരു ഇൻഡക്റ്റീവ് ഘട്ടം ഉപയോഗിക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്.


Using the pumping lemma, we can easily prove Lemma 6.20(i.e., the non-regularity of the “matching parenthesis” function):

പംപിംഗ് ലമ്മ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ Lemma 6.20 (അതായത്, “മാച്ചിംഗ് പരാന്തസിസ്” ഫംഗ്ഷൻ്റെ നോൺ-റെഗുലാരിറ്റി) തെളിയിക്കാൻ കഴിയും:


Suppose, towards the sake of contradiction, that there is an expression푒such thatΦ 푒 =MATCHPAREN.

വിരുദ്ധാഭാസം എന്ന നിലയിൽ, Φ 푒 =MATCHPAREN എന്ന ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക.


Let푛 0 be the number obtained from Theorem 6.21and let푤 = ⟨ 푛 0 ⟩ 푛 0 (i.e.,푛 0 left parenthesis followed by푛 0 right parenthesis).

Theorem 6.21 ൽ നിന്ന് ലഭിച്ച സംഖ്യയാണ് 푛 0, കൂടാതെ 푤 = ⟨ 푛 0 ⟩ 푛 0 (അതായത്, 푛 0 ഇടത് പരാന്തസിസിനു ശേഷം 푛 0 വലത് പരാന്തസിസ്).


Then we see that if we write푤 = 푥푦푧as in Theorem 6.21, the condition|푥푦| ≤ 푛 0 implies that푦consists solely of left parenthesis.

നമ്മൾ 푤 = 푥푦푧 എന്ന് Theorem 6.21 ൽ എഴുതിയാൽ, |푥푦| ≤ 푛 0 എന്ന അവസ്ഥ 푦 പൂർണ്ണമായും ഇടത് പരാന്തസിസുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.


Hence the string 푥푦 2 푧will contain more left parenthesis than right parenthesis.

അതുകൊണ്ട് സ്ട്രിംഗ് 푥푦 2 푧 വലത് പരാന്തസിസിനേക്കാൾ കൂടുതൽ ഇടത് പരാന്തസിസുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


Hence MATCHPAREN(푥푦 2 푧) = 0but by the pumping lemmaΦ 푒 (푥푦 2 푧) = 1, contradicting our assumption thatΦ 푒 =MATCHPAREN.

അതുകൊണ്ട് MATCHPAREN(푥푦 2 푧) = 0 എന്നാൽ പമ്പിംഗ് ലമ്മ അനുസരിച്ച് Φ 푒 (푥푦 2 푧) = 1, ഇത് Φ 푒 =MATCHPAREN എന്ന നമ്മുടെ അനുമാനത്തിന് വിരുദ്ധമാണ്.


The pumping lemma is a very useful tool to show that certain func- tions arenotcomputable by a regular expression.

ചില ഫംഗ്ഷനുകൾ ഒരു റെഗുലർ എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് കാണിക്കാൻ പമ്പിംഗ് ലമ്മ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ ഒരു ഉപകരണമാണ്.


However, it isnotan “if and only if” condition for regularity: there are non-regular func- tions that still satisfy the pumping lemma conditions.

എങ്കിലും, ഇത് റെഗുലാരിറ്റിക്കുള്ള “if and only if” അവസ്ഥയല്ല: ഇപ്പോഴും പമ്പിംഗ് ലമ്മയുടെ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന, റെഗുലർ അല്ലാത്ത ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്.


To understand the pumping lemma, it is crucial to follow the order of quantifiers in Theorem 6.21.

പംപിംഗ് ലമ്മ മനസ്സിലാക്കാൻ, Theorem 6.21 ലെ ക്വാണ്ടിഫയറുകളുടെ ക്രമം പിന്തുടരേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ്.


The RAM machine model is closer to actual computers.

RAM മെഷീൻ മാതൃക, യഥാർത്ഥ കമ്പ്യൂട്ടറുകളോട് കൂടുതൽ അടുത്തതാണ്.


Turing machines do not correspond to standard computing architectures.

Turing machines സാധാരണ കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ആർക്കിടെക്ചറുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല.


We will see that cellular automata is also Turing equivalent.

സെല്ലുലാർ ഓട്ടോമാറ്റയും ട്യൂറിംഗ് തുല്യമാണെന്ന് നമ്മൾ കാണും.


This chapter studies equivalence between models.

ഈ അധ്യായം മോഡലുകൾ തമ്മിലുള്ള തുല്യതയെക്കുറിച്ച് പഠിക്കുന്നു.


RAM machines capture the architecture of modern computers more closely than Turing machines.

ആധുനിക കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെ വാസ്തുവിദ്യയെ ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകളേക്കാൾ അടുത്തായി RAM മെഷീനുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


The Church-Turing Thesis holds that every 'reasonable' definition of computable function is equivalent to being computable by a Turing machine.

കമ്പ്യൂട്ടബിൾ ഫംഗ്ഷന്റെ എല്ലാ 'ന്യായമായ' നിർവചനവും ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ ഉപയോഗിച്ച് കമ്പ്യൂട്ടബിൾ ചെയ്യുന്നതിന് തുല്യമാണെന്ന് ചർച്ച്-ട്യൂറിംഗ് സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു.


We can always encode an element using a binary string.

നമുക്ക് എപ്പോഴും ഒരു ബൈനറി സ്ട്രിംഗ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മൂലകത്തെ എൻകോഡ് ചെയ്യാൻ കഴിയും.


The website features a large variety of esoteric Turing-complete programming languages.

വെബ്സൈറ്റിൽ വിവിധതരം നിഗൂഢമായ ട്യൂറിംഗ്-കംപ്ലീറ്റ് പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകൾ ഉണ്ട്.


RAM machines can carry out computation on registers.

RAM മെഷീനുകൾക്ക് രജിസ്റ്ററുകളിൽ കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്താൻ കഴിയും.


We will not use this terminology in this book.

ഈ പുസ്തകത്തിൽ നമ്മൾ ഈ പദാവലി ഉപയോഗിക്കില്ല.


The techniques we develop allow us to show that all general-purpose programming languages are Turing Complete.

എല്ലാ പൊതു-ആവശ്യ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളും ട്യൂറിംഗ് കംപ്ലീറ്റ് ആണെന്ന് കാണിക്കാൻ ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ച സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ നമ്മെ സഹായിക്കുന്നു.


This is a powerful principle, which underlies the vast reach of Computer Science.

കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിന്റെ വലിയ വ്യാപ്തിക്ക് പിന്നിലുള്ള ശക്തമായ തത്വമാണിത്.


We can choose the model of our convenience for the task at hand.

നമ്മുടെ കയ്യിലുള്ള ജോലിക്ക് സൗകര്യപ്രദമായ മോഡൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാം.


The memory of a RAM machine is an array of unbounded size.

ഒരു RAM മെഷീന്റെ മെമ്മറി, പരിധിയില്ലാത്ത വലുപ്പത്തിലുള്ള ഒരു അറേ ആണ്.


RAM machines also contain a constant number of registers.

RAM മെഷീനുകളിൽ സ്ഥിരമായ എണ്ണം രജിസ്റ്ററുകളും ഉണ്ട്.


A RAM machine can directly access any cell of memory.

ഒരു RAM മെഷീന് മെമ്മറിയുടെ ഏത് സെല്ലും നേരിട്ട് ആക്സസ് ചെയ്യാൻ കഴിയും.


NAND-RAM includes conditional statements as part of the language.

NAND-RAM ഭാഷയുടെ ഭാഗമായി കണ്ടീഷണൽ സ്റ്റേറ്റ്‌മെന്റുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


NAND-RAM contains looping constructs such as while and do.

NAND-RAM-ൽ while, do തുടങ്ങിയ ലൂപ്പിംഗ് ഘടനകൾ ഉണ്ട്.


Theorem 8.1 shows that all these four models are equivalent to one another.

ഈ നാല് മോഡലുകളും പരസ്പരം തുല്യമാണെന്ന് theorem 8.1 കാണിക്കുന്നു.


The challenging direction is to transform a NAND-RAM program to an equivalent NAND-TM program.

ഒരു NAND-RAM പ്രോഗ്രാമിനെ തത്തുല്യമായ ഒരു NAND-TM പ്രോഗ്രാമാക്കി മാറ്റുക എന്നതാണ് വെല്ലുവിളി നിറഞ്ഞ കാര്യം.


The study of Turing machines is fundamental to computer science.

കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിന്റെ അടിസ്ഥാനമാണ് ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം.


This programming language is Turing complete.

ഈ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷ ട്യൂറിംഗ് പൂർണ്ണമാണ്.


Algorithms are described in English in algorithms courses.

അൽഗോരിതങ്ങൾ അൽഗോരിത കോഴ്സുകളിൽ ഇംഗ്ലീഷിൽ വിവരിക്കുന്നു.


We can use Turing machines when we want to prove something can't be done.

ഒന്നും ചെയ്യാൻ കഴിയില്ലെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകൾ ഉപയോഗിക്കാം.


The concept of abstraction is crucial in computer science.

കമ്പ്യൂട്ടർ ശാസ്ത്രത്തിൽ ആശയപരമായ സംഗ്രഹണം വളരെ പ്രധാനമാണ്.


One of the most important skills for a computer scientist is the ability to move up and down hierarchies of abstractions.

ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കഴിവുകളിലൊന്ന്, സംഗ്രഹണങ്ങളുടെ ശ്രേണികളിൽ മുകളിലേക്കും താഴേക്കും നീങ്ങാനുള്ള കഴിവാണ്.


Cellular automata are used to model physical systems.

ശാരീരിക സംവിധാനങ്ങൾ മാതൃകയാക്കാൻ സെല്ലുലാർ ഓട്ടോമാറ്റ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


The Game of Life is a canonical example of a cellular automaton.

സെല്ലുലാർ ഓട്ടോമാറ്റയുടെ ഒരു ക്ലാസിക് ഉദാഹരണമാണ് ലൈഫ് ഗെയിം.


One-dimensional cellular automata can be Turing complete.

വൺ-ഡൈമൻഷണൽ സെല്ലുലാർ ഓട്ടോമാറ്റ ട്യൂറിംഗ് പൂർണ്ണമായിരിക്കാം.


The lambda calculus inspired functional programming languages.

ലാംഡ കാൽക്കുലസ് ഫങ്ഷണൽ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളെ പ്രചോദിപ്പിച്ചു.


Anonymous functions are a core concept in lambda calculus.

അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷനുകൾ ലാംഡ കാൽക്കുലസിന്റെ പ്രധാന ആശയമാണ്.


The notation f(x) can also be written as f x.

f(x) എന്ന ചിഹ്നം f x എന്നും എഴുതാം.


Function evaluations are associative and bind from left to right.

ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യനിർണ്ണയങ്ങൾ സഹായകമാണ്, ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു.


The expression (f g) h is the same as f g h.

(f g) h എന്ന പദവും f g h എന്നതും ഒന്നുതന്നെയാണ്.


Functions can be used as arguments to other functions.

ഫംഗ്ഷനുകൾ മറ്റ് ഫംഗ്ഷനുകൾക്കുള്ള ആർഗ്യുമെന്റുകളായി ഉപയോഗിക്കാം.


Understanding the lambda calculus requires practice.

ലാംഡ കാൽക്കുലസ് മനസ്സിലാക്കാൻ പരിശീലനം ആവശ്യമാണ്.


The core of the lambda calculus is the ability to define anonymous functions.

അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷനുകൾ നിർവചിക്കാനുള്ള കഴിവാണ് ലാംഡ കാൽക്കുലസിന്റെ കാതൽ.


This is a complex concept, but it is fundamental.

ഇതൊരു സങ്കീർണ്ണമായ ആശയമാണ്, എന്നാൽ ഇത് അടിസ്ഥാനപരമാണ്.


The goal is to analyze the general phenomenon of computation.

കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ പൊതുവായ പ്രതിഭാസം വിശകലനം ചെയ്യുക എന്നതാണ് ലക്ഷ്യം.


We can have our cake and eat it too, using different models.

വിവിധ മാതൃകകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് കേക്ക് ഉണ്ടാക്കുകയും അത് കഴിക്കുകയും ചെയ്യാം.


പൂച്ച പായയിൽ ഇരുന്നു.


വലിയ ഭൂകമ്പം ഉണ്ടായതായി വാർത്തയിൽ പറയുന്നു.


ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് എന്നെ സഹായിക്കാമോ?


കമ്പനി തങ്ങളുടെ പുതിയ ഉൽപ്പന്നം പ്രഖ്യാപിച്ചു.


ഞാൻ കമ്പോളത്തിലേക്ക് പോകുന്നു.


The algorithm efficiently sorts the data.

അൽഗോരിതം ഡാറ്റയെ കാര്യക്ഷമമായി അടുക്കുന്നു.


The government implemented new policies.

സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കി.


അദ്ദേഹം വളരെ കഴിവുള്ള ഒരു സംഗീതജ്ഞനാണ്.


The research paper explores various aspects of climate change.

ഗവേഷണ പ്രബന്ധം കാലാവസ്ഥാ വ്യതിയാനത്തിന്റെ വിവിധ വശങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു.


പ്രതിസന്ധികൾക്കിടയിലും അവർ വിജയിച്ചു.


The economic forecast predicts a recession.

സാമ്പത്തിക പ്രവചനം ഒരു മാന്ദ്യം പ്രവചിിക്കുന്നു.


The complex equation requires advanced calculus.

സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യത്തിന് ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം ആവശ്യമാണ്.


The artist's work is displayed in the museum.

കലാകാരന്റെ സൃഷ്ടി മ്യൂസിയത്തിൽ പ്രദർശിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.


സോഫ്റ്റ്‌വെയർ അപ്‌ഡേറ്റ് നിരവധി ബഗുകൾ പരിഹരിച്ചു.


ചർച്ചകൾ വിജയിച്ചില്ല.


The philosophical debate centered on the nature of reality.

തത്വചിന്താപരമായ സംവാദം യാഥാർത്ഥ്യത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തെ കേന്ദ്രീകരിച്ചു.


The company is facing financial difficulties.

കമ്പനി സാമ്പത്തിക പ്രതിസന്ധി നേരിടുന്നു.


The scientific community is researching the effects of the new drug.

പുതിയ മരുന്നിന്റെ ഫലങ്ങളെക്കുറിച്ച് ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഗവേഷണം നടത്തുന്നു.


The historical event had a profound impact on society.

ചരിത്രപരമായ സംഭവം സമൂഹത്തിൽ വലിയ സ്വാധീനം ചെലുത്തി.


The intricate design of the building is impressive.

കെട്ടിടത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണമായ രൂപകൽപ്പന ശ്രദ്ധേയമാണ്.


You can use an array or a dictionary to encode the transition function.

മാറ്റ ഫംഗ്ഷൻ എൻകോഡ് ചെയ്യാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു അറേ അല്ലെങ്കിൽ ഡിക്ഷണറി ഉപയോഗിക്കാം.


The interpreter will continue the simulation until the machine halts.

യന്ത്രം നിലയ്ക്കുന്നതുവരെ ഇന്റർപ്രെറ്റർ അനുകരണം തുടരും.


This is a concept that has a long history in computer science.

കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിൽ വളരെക്കാലത്തെ ചരിത്രമുള്ള ഒരു ആശയമാണിത്.


We can represent every Turing machine as a string.

ഓരോ ട്യൂറിംഗ് മെഷീനെയും നമുക്ക് ഒരു സ്ട്രിംഗായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയും.


Given the string representation of a Turing machine and an input, we can simulate its execution.

ഒരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീന്റെ സ്ട്രിംഗ് പ്രാതിനിധ്യവും ഇൻപുട്ടും നൽകിയിട്ടുള്ളതിനാൽ, നമുക്ക് അതിന്റെ എക്സിക്യൂഷൻ അനുകരിക്കാൻ കഴിയും.


The details of the representation scheme of Turing machines as strings are immaterial for almost all applications.

സ്ട്രിംഗുകളായുള്ള ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകളുടെ പ്രാതിനിധ്യ രീതിയുടെ വിശദാംശങ്ങൾ മിക്കവാറും എല്ലാ ആപ്ലിക്കേഷനുകൾക്കും പ്രസക്തമല്ലാത്തവയാണ്.


We can easily write a Python program that evaluates a Turing machine.

ഒരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ വിലയിരുത്തുന്ന ഒരു പൈത്തൺ പ്രോഗ്രാം നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ എഴുതാൻ കഴിയും.


With enough effort, we can translate this Python code line by line to a Turing machine.

ആവശ്യമായത്ര പരിശ്രമമുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ പൈത്തൺ കോഡ് വരികളായി ഒരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീനിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും.


We can represent a dictionary as a list of pairs.

ഒരു നിഘണ്ടുവിനെ ജോഡികളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയും.


The argument in the proof is a very inefficient way to implement the dictionary data structure.

തെളിയിക്കാനുള്ള ഈ വാദം നിഘണ്ടു ഡാറ്റാ ഘടന നടപ്പിലാക്കുന്നതിനുള്ള വളരെ കാര്യക്ഷമമല്ലാത്ത മാർഗ്ഗമാണ്.


Researchers have attempted to find the smallest possible universal Turing machines.

ഗവേഷകർ ഏറ്റവും ചെറിയ സാർവത്രിക ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ട്.


The existence of even a single such machine is already extremely fundamental.

അത്തരത്തിലുള്ള ഒരൊറ്റ മെഷീന്റെ തന്നെ നിലനിൽപ്പ് ഇതിനകം വളരെ അടിസ്ഥാനപരമാണ്.


Because we can simulate every Turing machine by a NAND-TM program and vice versa.

എല്ലാ ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകളും ഒരു NAND-TM പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ച് അനുകരിക്കാൻ കഴിയുന്നതിനാലും തിരിച്ചും.


Compilers for programming languages are often used to compile themselves.

പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകൾക്കായുള്ള കംപൈലറുകൾ പലപ്പോഴും സ്വയം കംപൈൽ ചെയ്യാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


There are universal Turing machines known that require a very small number of states.

വളരെ കുറഞ്ഞ എണ്ണം സ്റ്റേറ്റുകൾ ആവശ്യമുള്ള സാർവത്രിക ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകൾ അറിയപ്പെടുന്നു.


Therefore a natural guess is that NAND-TM programs could compute every infinite function.

അതുകൊണ്ട് NAND-TM പ്രോഗ്രാമുകൾക്ക് എല്ലാ അനന്തമായ ഫംഗ്ഷനുകളും കണക്കാക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ഒരു സ്വാഭാവിക ഊഹമാണ്.


The notion of an uncomputable function thus seems to be a contradiction.

കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന ആശയം ഒരു വൈരുദ്ധ്യമായി തോന്നുന്നു.


There exists a function that is not computable by any Turing machine.

ഒരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീനും കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട്.


The idea is to construct the function in a way that will ensure that every possible machine will fail.

എല്ലാ സാധ്യതകളുമുള്ള മെഷീനുകളും പരാജയപ്പെടുന്ന രീതിയിൽ ഫംഗ്ഷൻ നിർമ്മിക്കുക എന്നതാണ് ആശയം.


We will show that the uncomputability of a function implies the uncomputability of the Halting problem.

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ കണക്കുകൂട്ടാൻ കഴിയാത്ത സ്വഭാവം, Halting പ്രശ്നത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടാൻ കഴിയാത്ത സ്വഭാവത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.


The function takes a pair of inputs me and x, and replaces recursive calls of f with calls to me.

ഈ ഫംഗ്ഷൻ രണ്ട് ഇൻപുട്ടുകൾ എടുക്കുന്നു: me, x, കൂടാതെ f-ൻ്റെ റിcursive കോളുകൾ me-യിലേക്കുള്ള കോളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.


Create the function myf that takes a pair of inputs me and x, and replaces recursive calls of f with calls to me.

me, x എന്നീ രണ്ട് ഇൻപുട്ടുകൾ എടുക്കുന്ന myf എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ടാക്കുക, കൂടാതെ f-ൻ്റെ റിcursive കോളുകൾ me-യിലേക്കുള്ള കോളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.


The Church-Turing thesis is that this is the only sensible definition of “computable” functions.

കമ്പ്യൂട്ടബിൾ” ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഏക യുക്തിസഹമായ നിർവചനം ഇതാണെന്നാണ് ചർച്ച്-ട്യൂറിംഗ് സിദ്ധാന്തം.


We have defined functions to be computable if they can be computed by a NAND-TM program.

ഒരു NAND-TM പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷനുകൾ കമ്പ്യൂട്ടബിൾ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ട്.


The universal machine is clear. We do not need to have an infinity of different machines doing different jobs.

യൂണിവേഴ്സൽ മെഷീൻ വ്യക്തമാണ്. വ്യത്യസ്ത ജോലികൾ ചെയ്യുന്ന, വ്യത്യസ്ത മെഷീനുകളുടെ അനന്തമായ സംഖ്യ നമുക്ക് ആവശ്യമില്ല.


Once we build a device that can compute the single universal function, we have the ability, via software, to extend it to do arbitrary computations.

ഒരൊറ്റ സാർവത്രിക ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ഉപകരണം നമ്മൾ നിർമ്മിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, സോഫ്റ്റ്‌വെയർ വഴി, അത് ഇഷ്ടമുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ചെയ്യാൻ നമുക്ക് കഴിയും.


The engineering problem of producing various machines for various jobs is replaced by the office work of ‘programming’ the universal machine.

വിവിധ ജോലികൾക്കായി വിവിധ യന്ത്രങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിൻ്റെ എഞ്ചിനിയറിംഗ് പ്രശ്നം സാർവത്രിക യന്ത്രം ‘പ്രോഗ്രാം’ ചെയ്യുന്ന ഓഫീസിലെ ജോലിയായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.


This chapter we will see two of the most important results in Computer Science.

ഈ അധ്യായത്തിൽ കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട രണ്ട് ഫലങ്ങൾ നമ്മൾ കാണും.


The existence of a universal Turing machine: a single algorithm that can evaluate all other algorithms.

ഒരു സാർവത്രിക ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ്റെ (Turing machine) നിലനിൽപ്പ്: മറ്റ് എല്ലാ അൽഗോരിതങ്ങളെയും വിലയിരുത്തുന്ന ഒരൊറ്റ അൽഗോരിതം.


The existence of uncomputable functions: functions that cannot be computed by any algorithm.

കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്ത ഫംഗ്ഷനുകളുടെ (uncomputable functions) നിലനിൽപ്പ്: ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ചും കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്ത ഫംഗ്ഷനുകൾ.


We start by proving the existence of a universal Turing machine.

ഒരു സാർവത്രിക ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ്റെ (Turing machine) നിലനിൽപ്പ് തെളിയിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.


This is a single Turing machine U that can evaluate arbitrary Turing machines M on arbitrary inputs x.

ഇതൊരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീനാണ് (Turing machine), ഇത് M എന്ന ഏതൊരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീനെയും x എന്ന ഏതൊരു ഇൻപുട്ടിലും വിലയിരുത്താൻ കഴിയും.


In particular, U can even be used to evaluate itself!

പ്രത്യേകിച്ചും, U-ന് സ്വയം വിലയിരുത്തുന്നതിന് പോലും ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും!


Think of how you would code U in your favorite programming language.

നിങ്ങളുടെ ഇഷ്ടപ്പെട്ട പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷയിൽ U എങ്ങനെ കോഡ് ചെയ്യുമെന്നും ചിന്തിക്കുക.


First, you would need an interpreter for Turing machines.

ആദ്യം, നിങ്ങൾക്ക് ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകൾക്കായി ഒരു ഇന്റർപ്രെറ്റർ ആവശ്യമാണ്.


That is, U gets a representation of the machine M (think of it as source code), and some input x, and needs to simulate the execution of M on x.

അതായത്, U-ന് M എന്ന മെഷീൻ്റെ ഒരു പ്രാതിനിധ്യം ലഭിക്കുന്നു (അതിനെ സോഴ്സ് കോഡായി കണക്കാക്കുക), കൂടാതെ x എന്ന ചില ഇൻപുട്ടും, M-ൻ്റെ എക്സിക്യൂഷൻ x-ൽ സിമുലേറ്റ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.


The machine M can be much more complex than U.

M എന്ന മെഷീൻ U-യെക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമായിരിക്കാം.


The existence of such a universal program underlies the information technology revolution.

അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു സാർവത്രിക പ്രോഗ്രാമിന്റെ (universal program) നിലനിൽപ്പാണ് വിവരസാങ്കേതികവിദ്യയുടെ വിപ്ലവത്തിന് അടിസ്ഥാനമിട്ടത്.


We will prove the existence of the universal program, and also show its implications for uncomputability.

സാർവത്രിക പ്രോഗ്രാമിന്റെ (universal program) നിലനിൽപ്പ് നമ്മൾ തെളിയിക്കുകയും, അതുപോലെ കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തവയുടെ (uncomputability) പ്രത്യാഘാതങ്ങൾ കാണിക്കുകയും ചെയ്യും.


Beyond the practical applications, the existence of a universal algorithm also has surprising theoretical ramifications.

പ്രായോഗികപരമായ ഉപയോഗങ്ങൾക്കപ്പുറം, ഒരു സാർവത്രിക അൽഗോരിതത്തിന്റെ (universal algorithm) നിലനിൽപ്പിന് അതിശയിപ്പിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തപരമായ അനന്തരഫലങ്ങളുണ്ട്.


We saw a few examples of elements in the latter set that are not in the former.

പിന്നീടുള്ള കൂട്ടത്തിൽ മുൻപത്തെ കൂട്ടത്തിൽ ഇല്ലാത്ത ചില അംഗങ്ങളെ ഞങ്ങൾ കണ്ടു.


Chapter Recap • There is a universal Turing machine (or NAND-TM program) U such that on input a description of a Turing machine M and some input x, U(M,x) halts and outputs M(x) if (and only if) M halts on input x.

അദ്ധ്യായ സംഗ്രഹം • ഒരു സാർവത്രിക ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ (അല്ലെങ്കിൽ NAND-TM പ്രോഗ്രാം) U ഉണ്ട്, M എന്ന ട്യൂറിംഗ് മെഷീന്റെ വിവരണവും x എന്ന ഇൻപുട്ടും നൽകിയാൽ, M ഇൻപുട്ട് x-ൽ പ്രവർത്തിച്ച് നിർത്തുകയാണെങ്കിൽ U(M,x) പ്രവർത്തിച്ച് M(x) ഔട്ട്പുട്ട് നൽകുന്നു.


Unlike in the case of finite computation (i.e., NAND-CIRC programs / circuits), the input to the program U can be a machine M that has more states than U itself.

പരിമിതമായ കമ്പ്യൂട്ടേഷന്റെ കാര്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി (അതായത്, NAND-CIRC പ്രോഗ്രാമുകൾ / സർക്യൂട്ടുകൾ), പ്രോഗ്രാം U-യുടെ ഇൻപുട്ട് U-നേക്കാൾ കൂടുതൽ അവസ്ഥകളുള്ള ഒരു മെഷീൻ M ആകാം.


Unlike the finite case, there are actually functions that are inherently uncomputable in the sense that they cannot be computed by any Turing machine.

പരിമിതമായ കേസുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഏതൊരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീനും കണക്കുകൂട്ടാൻ കഴിയാത്ത ചില ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്.


These include not only some “degenerate” or “esoteric” functions but also functions that people have deeply cared about and conjectured that could be computed.

ഇവയിൽ ചില “വികൃതമായ” അല്ലെങ്കിൽ “രഹസ്യമായ” ഫംഗ്ഷനുകൾ മാത്രമല്ല, ആളുകൾ വളരെയധികം ശ്രദ്ധിക്കുകയും കണക്കുകൂട്ടാൻ കഴിയുമെന്ന് അനുമാനിക്കുകയും ചെയ്ത ഫംഗ്ഷനുകളും ഉൾപ്പെടുന്നു.


If the Church-Turing thesis holds then a function F that is uncomputable according to our definition cannot be computed by any means in our physical world.

ചർച്ച്-ട്യൂറിംഗ് സിദ്ധാന്തം നിലനിൽക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമ്മുടെ നിർവചനപ്രകാരം കണക്കുകൂട്ടാൻ കഴിയാത്ത ഒരു ഫംഗ്ഷൻ F-നെ നമ്മുടെ ഭൗതിക ലോകത്ത് ഒരു മാർഗ്ഗത്തിലൂടെയും കണക്കുകൂട്ടാൻ കഴിയില്ല.


NANDRAMHALT കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തതാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.


TIMEDHALT കണക്കാക്കാവുന്നതാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.


SPACEHALT കണക്കാക്കാവുന്നതാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.


Suppose that F : {0,1} * -> {0,1} and G : {0,1} * -> {0,1} are computable functions.

F : {0,1} * -> {0,1} , G : {0,1} * -> {0,1} എന്നിവ കണക്കാക്കാവുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളാണെന്ന് കരുതുക.


For each one of the following functions H, either prove that H is necessarily computable or give an example of a pair F and G of computable functions such that H will not be computable.

താഴെ പറയുന്ന ഓരോ ഫംഗ്ഷൻ H-നും, H നിർബന്ധമായും കണക്കാക്കാവുന്നതാണെന്ന് തെളിയിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ H കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്ത തരത്തിലുള്ള F, G എന്നീ ജോഡി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകുക.


Prove that the following function FINITE : {0,1} * -> {0,1} is uncomputable.

FINITE : {0,1} * -> {0,1} എന്ന ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തതാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.


EQ കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തതാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.


For each of the following two functions, say whether it is computable or not:

താഴെ പറയുന്ന രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളിൽ, ഏതാണ് കണക്കാക്കാവുന്നത്, ഏതാണ് അല്ലാത്തത് എന്ന് പറയുക:


F കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തതാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.


Prove that every computable F is also recursively enumerable.

എല്ലാ കണക്കാക്കാവുന്ന F-ഉം ആവർത്തനപരമായി എണ്ണാവുന്നതാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.


Prove that there exists F that is not computable but is recursively enumerable.

കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തതും എന്നാൽ ആവർത്തനപരമായി എണ്ണാൻ കഴിയുന്നതുമായ F നിലവിലുണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കുക.


Prove that for every G : {0,1} * -> {0,1}, if (a) G is neither the constant zero nor the constant one function, and (b) for every M, M' such that L(M) = L(M'), G(M) = G(M'), then G is uncomputable.

എല്ലാ G : {0,1} * -> {0,1} നും, (a) G സ്ഥിരമായ പൂജ്യമോ ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ (b) L(M) = L(M') ആകുന്ന എല്ലാ M, M'-നും, G(M) = G(M') ആണെങ്കിൽ, G കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തതാണ് എന്ന് തെളിയിക്കുക.


TBB കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തതാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.


Prove that NBB grows faster than TOWER, in the sense that TOWER(n) = o(NBB(n)).

TOWER-നേക്കാൾ വേഗത്തിൽ NBB വളരുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കുക, അതായത് TOWER(n) = o(NBB(n)).


If we know that HALT is uncomputable, and we want to show that some other function BLAH is uncomputable, then we can do so via a contrapositive argument.

HALT കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് നമുക്കറിയാമെങ്കിൽ, മറ്റ് ചില ഫംഗ്ഷൻ BLAH കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് കാണിക്കാൻ, ഒരു കോൺട്രാപോസിറ്റീവ് ആർഗ്യുമെന്റിലൂടെ നമുക്ക് ഇത് ചെയ്യാനാകും.


The Halting problem turns out to be a linchpin of uncomputability.

നിർണ്ണയിക്കാനാവാത്തതിന്റെ കാതലാണ് Halting പ്രശ്നം.


A reduction-based proof has two components.

ഒരു റിഡക്ഷൻ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള പ്രൂഫിന് രണ്ട് ഘടകങ്ങളുണ്ട്.


The algorithm to compute R is known as a reduction since the transformation R modifies an input to HALT to an input to BLAH.

R കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം ഒരു റിഡക്ഷൻ എന്നറിയപ്പെടുന്നു, കാരണം R എന്ന രൂപാന്തരം HALT-ന്റെ ഇൻപുട്ടിനെ BLAH-ന്റെ ഇൻപുട്ടിലേക്ക് മാറ്റുന്നു.


ഒരു റിഡക്ഷൻ ഒരു അൽഗോരിതമാണ്.


In general, to reduce a function F to G, the reduction should satisfy F(w) = G(R(w)) for every input w to F.

പൊതുവേ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ F-നെ G-യിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിന്, F-യിലേക്കുള്ള എല്ലാ ഇൻപുട്ട് w-ക്കും, റിഡക്ഷൻ F(w) = G(R(w))എന്നത് പാലിക്കണം.


Here is a concrete example for a proof by reduction.

ഇതാ, റിഡക്ഷൻ വഴിയുള്ള പ്രൂഫിന് ഒരു കൃത്യമായ ഉദാഹരണം.


We define the function HALTONZERO : {0,1}* -> {0,1} as follows.

HALTONZERO : {0,1}* -> {0,1} എന്ന ഫംഗ്ഷൻ നമ്മൾ താഴെ പറയുന്ന പ്രകാരം നിർവചിക്കുന്നു.


Given any string M, HALTONZERO(M) = 1 if and only if M describes a Turing machine that halts when it is given the string 0 as input.

ഏതെങ്കിലും സ്ട്രിംഗ് M നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, M ഒരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീനെ വിവരിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, ഇൻപുട്ടായി സ്ട്രിംഗ് 0 നൽകുമ്പോൾ അത് നിലയ്ക്കുന്നു, അപ്പോഴാണ് HALTONZERO(M) = 1.


A priori HALTONZERO seems like a potentially easier function to compute than the full-fledged HALT function.

മുമ്പുതന്നെ HALTONZERO, പൂർണ്ണമായ HALT ഫംഗ്ഷനെക്കാൾ എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒന്നായി തോന്നുന്നു.