The proof of Theorem 9.9 is below, but before reading it you might want to pause for a couple of minutes and think how you would prove it yourself.

തിയറം 9.9-ന്റെ തെളിവ് താഴെ നൽകുന്നു, എന്നാൽ ഇത് വായിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, കുറച്ച് മിനിറ്റ് ആലോചിച്ച്, ഇത് എങ്ങനെ തെളിയിക്കുമെന്നും ചിന്തിക്കാവുന്നതാണ്.


We will assume, towards the sake of contradiction, that HALTONZERO is computable by some algorithm A, and use this hypothetical algorithm A to construct an algorithm B to compute HALT.

HALTONZERO ചില അൽഗോരിതം A ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാവുന്നതാണെന്ന് വിപരീതമായി അനുമാനിക്കുകയും, HALT കണക്കാക്കാൻ ഈ സാങ്കൽപ്പിക അൽഗോരിതം A ഉപയോഗിച്ച് ഒരു അൽഗോരിതം B നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യും.


Since this is our first proof by reduction from the Halting problem, we will spell it out in more details than usual.

Halting പ്രശ്നത്തിൽ നിന്നുള്ള റിഡക്ഷൻ വഴിയുള്ള നമ്മുടെ ആദ്യത്തെ തെളിവായതുകൊണ്ട്, സാധാരണയേക്കാൾ കൂടുതൽ വിശദാംശങ്ങൾ നൽകാം.


Description of the reduction: We will describe the operation of our algorithm B, and how it makes “function calls” to the hypothetical algorithm A.

റിഡക്ഷന്റെ വിവരണം: നമ്മുടെ അൽഗോരിതം B-യുടെ പ്രവർത്തനം, അതുപോലെ സാങ്കൽപ്പിക അൽഗോരിതം A-യിലേക്ക് എങ്ങനെ “ഫംഗ്ഷൻ കോളുകൾ” നടത്തുന്നു എന്നും വിവരിക്കും.


Analysis of the reduction: We will then prove that under the hypothesis that Algorithm A computes HALTONZERO, Algorithm B will compute HALT.

റിഡക്ഷന്റെ വിശകലനം: അൽഗോരിതം A, HALTONZERO കണക്കാക്കുന്നു എന്ന സിദ്ധാന്തത്തിന് കീഴിൽ, അൽഗോരിതം B, HALT കണക്കാക്കുമെന്നും പിന്നീട് തെളിയിക്കും.


The machine M' ignores its input z and simply runs M on x.

മെഷീൻ M' അതിന്റെ ഇൻപുട്ട് z അവഗണിക്കുകയും M, x-ൽ പ്രവർത്തിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.


The algorithm B does not actually execute the machine N M,x.

അൽഗോരിതം B യഥാർത്ഥത്തിൽ N M,x എന്ന മെഷീൻ പ്രവർത്തിപ്പിക്കുന്നില്ല.


Rice’s Theorem and the impossibility of general software verification.

റൈസിന്റെ സിദ്ധാന്തവും, പൊതുവായ സോഫ്റ്റ്‌വെയർ പരിശോധനയുടെ അസാധ്യതയും.


We define a semantic specification on programs to be some property that does not depend on the code of the program but just on the function that the program computes.

പ്രോഗ്രാമുകളിലെ ഒരു സെമാന്റിക് സ്പെസിഫിക്കേഷൻ എന്നത് പ്രോഗ്രാമിന്റെ കോഡിനെ ആശ്രയിക്കാതെ, പ്രോഗ്രാം കണക്കാക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനെ മാത്രം ആശ്രയിക്കുന്ന ചില സ്വത്തായി നമ്മൾ നിർവചിക്കുന്നു.


Checking semantic properties of programs is of great interest, as it corresponds to checking whether a program conforms to a specification.

പ്രോഗ്രാമുകളുടെ സെമാന്റിക് പ്രോപ്പർട്ടികൾ പരിശോധിക്കുന്നത് വളരെ പ്രധാനമാണ്, കാരണം ഇത് ഒരു സ്പെസിഫിക്കേഷനുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.


The algorithm computes whether a string can be derived from a grammar.

ഒരു ഗ്രാമറിൽ നിന്ന് ഒരു സ്ട്രിംഗ് ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് ഈ അൽഗോരിതം കണക്കാക്കുന്നു.


Context-free grammars are more powerful than regular expressions.

സന്ദർഭ രഹിത വ്യാകരണങ്ങൾ സാധാരണ പ്രയോഗങ്ങളെക്കാൾ ശക്തമാണ്.


The parser transforms the source code into a parse tree.

പാഴ്സർ സോഴ്സ് കോഡിനെ ഒരു പാഴ്സ് ട്രീ ആയി രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു.


This tree is known as the parse tree of the string.

ഈ ട്രീ അറിയപ്പെടുന്നത് സ്ട്രിംഗിന്റെ പാഴ്സ് ട്രീ എന്നാണ്.


We can define grammars that compute the same function.

ഒരേ ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കുന്ന വ്യാകരണങ്ങൾ നമുക്ക് നിർവചിക്കാൻ കഴിയും.


Context-free grammars can capture every regular expression.

സന്ദർഭ രഹിത വ്യാകരണങ്ങൾക്ക് എല്ലാ സാധാരണ പ്രയോഗങ്ങളെയും ഉൾക്കൊള്ളാൻ കഴിയും.


The theorem is proved by induction on the length of the expression.

പ്രസ്താവനയുടെ നീളത്തെ ആശ്രയിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നു.


We can define a new grammar by adding a new starting variable.

ഒരു പുതിയ ആരംഭ വേരിയബിൾ ചേർത്ത് നമുക്ക് ഒരു പുതിയ വ്യാകരണം നിർവചിക്കാം.


The grammar generates exactly the strings that match the condition.

ഈ വ്യാകരണം, വ്യവസ്ഥകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സ്ട്രിംഗുകളെ കൃത്യമായി സൃഷ്ടിക്കുന്നു.


A more interesting example is computing strings that are not palindromes.

കൂടുതൽ രസകരമായ ഒരു ഉദാഹരണം, പ്രതിസമമല്ലാത്ത സ്ട്രിംഗുകൾ കണക്കാക്കുക എന്നതാണ്.


Context-free grammars have limitations, despite their power.

ശക്തിയുണ്ടായിട്ടും, സന്ദർഭ രഹിത വ്യാകരണങ്ങൾക്ക് പരിമിതികളുണ്ട്.


The pumping lemma is a tool to show these limitations.

ഈ പരിമിതികൾ കാണിക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന ഒരു ഉപകരണമാണ് പമ്പിംഗ് ലെമ്മ.


If a long string is matched by a grammar, there must be repetition.

ഒരു വ്യാകരണം ഒരുപാട് നീളമുള്ള സ്ട്രിംഗുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, അവിടെ ആവർത്തനമുണ്ടാകണം.


ഈ ഫംഗ്ഷൻ സന്ദർഭ രഹിതമല്ല.


CFG-കളുടെ ശൂന്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും.


The proof is easier to see if we transform the grammar.

വ്യാകരണം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ തെളിവ് എളുപ്പത്തിൽ മനസ്സിലാക്കാം.


The equivalence problem for context-free grammars is uncomputable.

സന്ദർഭ രഹിത വ്യാകരണങ്ങളുടെ തുല്യത പ്രശ്നം കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല.


CFG-കളുടെ പൂർണ്ണത കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല.


We can trade expressiveness for amenability to analysis.

വിശകലനത്തിനായുള്ള എളുപ്പത്തിനായി നമുക്ക് എക്സ്പ്രസ്സീവ്നെസ്സ് മാറ്റാൻ കഴിയും.


Regular expressions are useful for string matching.

സ്ട്രിംഗ് പൊരുത്തപ്പെടുത്തലിന് സാധാരണ പ്രയോഗങ്ങൾ ഉപയോഗപ്രദമാണ്.


The theorem is potentially easier to prove than the previous one.

തിയറം മുൻപത്തേതിനേക്കാൾ എളുപ്പത്തിൽ തെളിയിക്കാൻ സാധ്യതയുണ്ട്.


A configuration can be thought of as a string describing its current state.

ഒരു കോൺഫിഗറേഷൻ അതിന്റെ നിലവിലെ അവസ്ഥ വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്ട്രിംഗായി കണക്കാക്കാം.


Every value is simply a function of the values of its neighbors.

ഓരോ മൂല്യവും അതിന്റെ അയൽക്കാരുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ മാത്രമാണ്.


We can write a quantified mixed statement that will be true if and only if a condition is met.

ഒരു നിബന്ധന പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ മാത്രം ശരിയാകുന്ന ഒരു ക്വാണ്ടിഫൈഡ് മിക്സഡ് സ്റ്റേറ്റ്മെന്റ് നമുക്ക് എഴുതാം.


A program halts on input if and only if there is a sequence of configurations.

ഒരു പ്രോഗ്രാം ഇൻപുട്ടിൽ അവസാനിക്കുന്നത്, കോൺഫിഗറേഷനുകളുടെ ഒരു ശ്രേണി ഉണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമാണ്.


The proof is obtained by a reduction from the Halting problem.

പ്രൂഫ് ലഭിക്കുന്നത്, Halting പ്രശ്നത്തിൽ നിന്നുള്ള ഒരു ചുരുക്കത്തിലൂടെയാണ്.


For every Turing machine, there is a finite alphabet.

ഓരോ ട്യൂറിംഗ് മെഷീനും ഒരു പരിമിതമായ അക്ഷരമാലയുണ്ട്.


A configuration encodes all the state of the program at a particular iteration.

ഒരു കോൺഫിഗറേഷൻ ഒരു പ്രത്യേക ആവർത്തനത്തിൽ പ്രോഗ്രാമിന്റെ എല്ലാ അവസ്ഥയും എൻകോഡ് ചെയ്യുന്നു.


If a configuration exists, then the next configuration is denoted by a function.

ഒരു കോൺഫിഗറേഷൻ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അടുത്ത കോൺഫിഗറേഷൻ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.


There are simple conditions to check whether a string is a valid starting configuration.

ഒരു സ്ട്രിംഗ് സാധുവായ പ്രാരംഭ കോൺഫിഗറേഷനാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ ലളിതമായ വ്യവസ്ഥകളുണ്ട്.


A program halts on input if and only if a sequence of configurations exists.

ഒരു പ്രോഗ്രാം ഇൻപുട്ടിൽ അവസാനിക്കുന്നത്, കോൺഫിഗറേഷനുകളുടെ ഒരു ശ്രേണി നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമാണ്.


We can encode such a sequence of configurations as a binary string.

അത്തരം കോൺഫിഗറേഷനുകളുടെ ഒരു ശ്രേണി നമുക്ക് ഒരു ബൈനറി സ്ട്രിംഗായി എൻകോഡ് ചെയ്യാൻ കഴിയും.


For every Turing machine, the machine halts on the input zero if and only if a statement is true.

ഓരോ ട്യൂറിംഗ് മെഷീനും, മെഷീൻ പൂജ്യം ഇൻപുട്ടിൽ അവസാനിക്കുന്നത് ഒരു പ്രസ്താവന ശരിയാണെങ്കിൽ മാത്രമാണ്.


We can define a quantified mixed predicate that is true if and only if a condition is met.

ഒരു നിബന്ധന പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ മാത്രം ശരിയാകുന്ന ഒരു ക്വാണ്ടിഫൈഡ് മിക്സഡ് പ്രെഡിക്കേറ്റ് നമുക്ക് നിർവചിക്കാം.


Indeed, NEXT(훼,훽) is true if for every i, a condition is met.

തീർച്ചയായും, ഓരോ i-നും ഒരു നിബന്ധന പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ NEXT(훼,훽) ശരിയാണ്.


Using the above, we can now write the condition that for every substring of H.

മുകളിൽ പറഞ്ഞവ ഉപയോഗിച്ച്, H-ന്റെ എല്ലാ സബ്സ്ട്രിംഗിനും വേണ്ടിയുള്ള വ്യവസ്ഥ ഇപ്പോൾ എഴുതാം.


Checking that the first bits of H equal a certain value can be expressed using logical operations.

H-ന്റെ ആദ്യത്തെ ബിറ്റുകൾ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണോയെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് ലോജിക്കൽ ഓപ്പറേഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.


Together the above yields a computable procedure.

മുകളിലുള്ളവ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടബിൾ നടപടിക്രമം നൽകുന്നു.


There are several other ways to show that QMS is uncomputable.

QMS കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തതാണെന്ന് കാണിക്കാൻ മറ്റ് നിരവധി വഴികളുണ്ട്.


We can express the condition that a 1-dimensional cellular automaton eventually writes a '1'.

ഒരു 1-മാന സെല്ലുലാർ ഓട്ടോമാറ്റൺ ഒടുവിൽ ഒരു '1' എഴുതുന്ന അവസ്ഥ നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.


The discovery of calculus by Newton and Leibnitz ushered a golden age of problem solving.

ന്യൂട്ടന്റെയും ലൈബ്‌നിറ്റ്‌സിന്റെയും കാല്ക്കുലസിന്റെ കണ്ടുപിടുത്തം പ്രശ്നപരിഹാരത്തിന്റെ സുവർണ്ണ കാലഘട്ടത്തിന് തുടക്കം കുറിച്ചു.


Many longstanding challenges succumbed to the new tools that were discovered.

കണ്ടെത്തിയ പുതിയ ഉപകരണങ്ങൾക്ക് മുന്നിൽ നിലനിന്നിരുന്ന പല വെല്ലുവിളികളും കീഴടങ്ങി.


Mathematicians manipulated infinitesimal quantities and infinite series cavalierly.

ഗണിതജ്ഞർ സൂക്ഷ്മമായ അളവുകളും അനന്തമായ ശ്രേണികളും അശ്രദ്ധമായി കൈകാര്യം ചെയ്തു.


This led to a growing sense of unease in the foundations of the subject.

ഇത് വിഷയത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു അസ്വസ്ഥതയുളവാക്കി.


In the beginning of the 20th century, there was an effort to replicate this effort, in greater rigor, to all parts of mathematics.

ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളിലും ഇത് കൂടുതൽ കൃത്യതയോടെ പുനഃസൃഷ്ടിക്കാൻ ശ്രമം നടന്നു.


The hope was to show that all the true results of mathematics can be obtained by starting with a number of axioms.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ എല്ലാ ശരിയായ ഫലങ്ങളും, ചില സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് നേടാൻ കഴിയുമെന്ന് കാണിക്കുക എന്നതായിരുന്നു ലക്ഷ്യം.


This effort was known as the Hilbert program.

ഈ ശ്രമം ഹിൽബെർട്ട് പ്രോഗ്രാം എന്നറിയപ്പെട്ടു.


Alas, it turns out the results we’ve seen dealt a devastating blow to this program.

bed, നാം കണ്ട ഫലങ്ങൾ ഈ പ്രോഗ്രാമിന് വലിയ തിരിച്ചടിയായി.


For every sound proof system for sufficiently rich mathematical statements, there is a mathematical statement that is true but is not provable in this system.

ഏത് മതിയായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രസ്താവനകൾക്കും, ശരിയായതും എന്നാൽ ഈ സിസ്റ്റത്തിൽ തെളിയിക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രസ്താവനയുണ്ട്.


At the highest level, a mathematical statement is simply a piece of text.

ഏറ്റവും ഉയർന്ന തലത്തിൽ, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രസ്താവന എന്നത് ലളിതമായി ഒരു വാചകമാണ്.


Mathematical statements contain assertions whose truth does not depend on any empirical fact.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രസ്താവനകളിൽ, ഏതെങ്കിലും അനുഭവപരമായ വസ്തുതകളെ ആശ്രയിക്കാത്ത കാര്യങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


For example, the following is a mathematical statement: “The number is prime”.

ഉദാഹരണത്തിന്, താഴെ പറയുന്നവ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രസ്താവനയാണ്: “ഈ സംഖ്യ ഒരു പ്രൈം സംഖ്യയാണ്”.


Mathematical statements do not have to involve numbers.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രസ്താവനകളിൽ സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുത്തണമെന്നില്ല.


They can assert properties of any other mathematical object including sets, strings, functions, graphs and yes, even programs.

സെറ്റുകൾ, സ്ട്രിംഗുകൾ, ഫംഗ്ഷനുകൾ, ഗ്രാഫുകൾ, പ്രോഗ്രാമുകൾ എന്നിവയുൾപ്പെടെ മറ്റേതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കളുടെയും ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ച് അവയ്ക്ക് പറയാൻ കഴിയും.


A proof for a statement is another piece of text that certifies the truth of the statement asserted.

ഒരു പ്രസ്താവനയുടെ തെളിവ്, പ്രസ്താവനയുടെ സത്യം സാക്ഷ്യപ്പെടുത്തുന്ന മറ്റൊരു വാചകമാണ്.


Given a statement and a proof, there is an algorithm to verify whether or not is a valid proof.

ഒരു പ്രസ്താവനയും തെളിവും നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതൊരു സാധുവായ തെളിവാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ ഒരു അൽഗോരിതം ഉണ്ട്.


ഒരു സാധുവായ തെളിവുണ്ടെങ്കിൽ, അത് ശരിയാണ്.


These are quite minimal requirements for a proof system.

ഇവ ഒരു പ്രൂഫ് സിസ്റ്റത്തിനുള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ആവശ്യകതകളാണ്.


You shouldn’t be able to prove things that are not true.

ശരിയല്ലാത്ത കാര്യങ്ങൾ തെളിയിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല.


We formally define proof systems as an algorithm where holds if the string is a valid proof for the statement.

ഒരു പ്രസ്താവനയുടെ സാധുവായ തെളിവാണെങ്കിൽ, അവിടെ നൽകിയിട്ടുള്ള അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് പ്രൂഫ് സിസ്റ്റങ്ങൾ ഔദ്യോഗികമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു.


Turing machines are a fundamental concept in computer science.

കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലെ അടിസ്ഥാനപരമായ ആശയമാണ് ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകൾ.


The extended Church-Turing thesis is a statement about the limits of computation.

കമ്പ്യൂട്ടിംഗിൻ്റെ പരിമിതികളെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പ്രസ്താവനയാണ് വിപുലീകൃത ചർച്ച്-ട്യൂറിംഗ് സിദ്ധാന്തം.


Polynomial time algorithms are considered efficient.

പോളിനോമിയൽ സമയ അൽഗോരിതങ്ങൾ കാര്യക്ഷമമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.


Exponential time algorithms become impractical for large inputs.

വലിയ ഇൻപുട്ടുകൾക്ക് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ടൈം അൽഗോരിതങ്ങൾ പ്രായോഗികമല്ലാത്തവയായി മാറുന്നു.


RAM machines are closer to real-world computing architectures.

യഥാർത്ഥ ലോക കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ആർക്കിടെക്ചറുകളോട് അടുത്തുള്ളവയാണ് റാം മെഷീനുകൾ.


The difference between polynomial and exponential time is crucial.

പോളിനോമിയൽ, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമയങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വളരെ നിർണായകമാണ്.


Understanding the Extended Church-Turing Thesis is important.

വിപുലീകൃത ചർച്ച്-ട്യൂറിംഗ് സിദ്ധാന്തം മനസ്സിലാക്കുന്നത് പ്രധാനമാണ്.


Turing machines can simulate RAM machines with polynomial overhead.

പോളിനോമിയൽ ഓവർഹെഡ് ഉപയോഗിച്ച് ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകൾക്ക് റാം മെഷീനുകളെ അനുകരിക്കാൻ കഴിയും.


The concept of computability is central to theoretical computer science.

കമ്പ്യൂട്ടബിലിറ്റിയുടെ ആശയം സൈദ്ധാന്തിക കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിന്റെ കേന്ദ്രബിന്ദുവാണ്.


Efficient algorithms are highly sought after in computer science.

കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിൽ കാര്യക്ഷമമായ അൽഗോരിതങ്ങൾക്ക് വലിയ ഡിമാൻഡുണ്ട്.


The running time of an algorithm is a key performance metric.

ഒരു അൽഗോരിതത്തിന്റെ റണ്ണിംഗ് ടൈം ഒരു പ്രധാന പ്രകടന അളവുകോലാണ്.


NAND-RAM programs are often used to model real-world computation.

യഥാർത്ഥ ലോക കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് മോഡൽ ചെയ്യുന്നതിന് NAND-RAM പ്രോഗ്രാമുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


The extended Church-Turing thesis is still a subject of debate.

വിപുലീകൃത ചർച്ച്-ട്യൂറിംഗ് സിദ്ധാന്തം ഇപ്പോഴും ഒരു ചർച്ചാ വിഷയമാണ്.


Quantum computers may challenge the extended Church-Turing thesis.

ക്വാണ്ടം കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ വിപുലീകൃത ചർച്ച്-ട്യൂറിംഗ് സിദ്ധാന്തത്തെ വെല്ലുവിളിച്ചേക്കാം.


The efficiency of a universal machine is a critical factor.

ഒരു സാർവത്രിക മെഷീന്റെ കാര്യക്ഷമത ഒരു നിർണായക ഘടകമാണ്.


We can define running time with respect to NAND-RAM programs.

NAND-RAM പ്രോഗ്രാമുകളുടെ കാര്യത്തിൽ നമുക്ക് റണ്ണിംഗ് ടൈം നിർവചിക്കാൻ കഴിയും.


The proof involves some technical details, but is not deep.

തെളിവ് ചില സാങ്കേതിക വിശദാംശങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, എന്നാൽ ഇത് ആഴത്തിലുള്ളതല്ല.


All 'reasonable' computational models are equivalent.

എല്ലാ 'ന്യായമായ' കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ മോഡലുകളും തുല്യമാണ്.


The main message of the theorem is Turing machines and RAM machines are roughly equivalent.

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രധാന സന്ദേശം ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകളും റാം മെഷീനുകളും ഏകദേശം തുല്യമാണ് എന്നതാണ്.


The choice of model does not matter when we only care about the gap between polynomial and exponential time.

പോളിനോമിയൽ, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമയം എന്നിവ തമ്മിലുള്ള അന്തരം മാത്രമാണ് നമ്മൾ പരിഗണിക്കുന്നതെങ്കിൽ മോഡലിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് പ്രശ്നമല്ല.


The algorithm efficiently solves the connectivity problem in directed graphs.

അൽഗോരിതം വളരെ കാര്യക്ഷമമായി ഡയറക്‌ടഡ് ഗ്രാഫുകളിലെ കണക്റ്റിവിറ്റി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു.


Despite much effort, we do not know of a significantly better algorithm for 3SAT.

ഒരുപാട് ശ്രമിച്ചിട്ടും, 3SAT-നു വേണ്ടി കാര്യമായ ഒരു നല്ല അൽഗോരിതം നമുക്കറിയില്ല.


The difference between two and three often corresponds to the difference between tractable and intractable.

രണ്ടിനും മൂന്നിനും ഇടയിലുള്ള വ്യത്യാസം പലപ്പോഴും കൈകാര്യം ചെയ്യാവുന്നതും, കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ കഴിയാത്തതും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.


Solving linear equations is a problem people have been solving time and again.

ആളുകൾ വീണ്ടും വീണ്ടും പരിഹരിക്കുന്ന ഒരു പ്രശ്നമാണ് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ.


The standard Gaussian elimination algorithm can be used to solve such equations in polynomial time.

പോളിനോമിയൽ സമയത്തിനുള്ളിൽ ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ സാധാരണ ഗൗസിയൻ ഒഴിവാക്കൽ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിക്കാം.


If we insist on integer solutions, the task of solving for linear equalities or inequalities is known as integer programming.

integer സൊല്യൂഷനുകൾ നിർബന്ധമാണെങ്കിൽ, രേഖീയ സമത്വങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ অসমതകൾ എന്നിവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതലയെ ഇന്റീജർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.


The input length corresponds to how many bits are needed to describe the number.

എത്ര ബിറ്റുകൾ ഒരു സംഖ്യയെ വിവരിക്കാൻ ആവശ്യമാണ് എന്നതിനോടാണ് ഇൻപുട്ട് ലെങ്ത് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്.


There is a huge difference between having a billion dollars and having nine dollars.

ഒരു ബില്യൺ ഡോളറും, ഒമ്പത് ഡോളറും കൈവശം വെക്കുന്നതിലെ വ്യത്യാസം വളരെ വലുതാണ്.


It is an important and long open question whether there is such an algorithm that runs in time polynomial in the input length.

ഇൻപുട്ട് ലെങ്തിൽ പോളിനോമിയൽ സമയമെടുക്കുന്ന ഒരു അൽഗൊരിതം ഉണ്ടോ എന്നത് ഇപ്പോഴും ഒരു വലിയ ചോദ്യചിഹ്നമാണ്.


Solving quadratic equations in several variables is a classical and extremely well motivated problem.

നിരവധി വേരിയബിളുകളിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഒരു ക്ലാസിക്കൽ, നന്നായി പ്രചോദിപ്പിക്കപ്പെട്ട പ്രശ്നമാണ്.


The determinant of a matrix is an extremely important quantity in linear algebra.

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ നിർണ്ണായകം രേഖീയ ബീജഗണിതത്തിലെ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരളവാണ്.


The determinant can be defined in several ways.

നിർണ്ണായകം പല രീതിയിൽ നിർവചിക്കാം.


Using these rules and the Gaussian elimination algorithm, it is possible to tell whether A is singular or not.

ഈ നിയമങ്ങളും ഗൗസിയൻ ഒഴിവാക്കൽ അൽഗൊരിതവും ഉപയോഗിച്ച് A സിംഗുലർ ആണോ അല്ലയോ എന്ന് പറയാൻ കഴിയും.


The permanent of a matrix is a natural quantity, and has been studied in several contexts.

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ പെർമനെന്റ് ഒരു സ്വാഭാവിക അളവാണ്, കൂടാതെ നിരവധി സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് പഠിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.


It turns out that we can compute perm2(A) in polynomial time.

പെർം2(A) പോളിനോമിയൽ സമയത്തിനുള്ളിൽ കണക്കാക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.


We do not know of a much better than brute force algorithm to even compute the permanent modulo 3.

പെർമനെന്റ് മോഡുലോ 3 കണക്കാക്കാൻ പോലും ബ്രൂട്ട് ഫോഴ്സ് അൽഗൊരിതത്തേക്കാൾ മികച്ചൊരെണ്ണം നമുക്കറിയില്ല.


A zero sum game is a game between two players where the payoff for one is the same as the penalty for the other.

ഒരു പൂജ്യം-സം ഗെയിം എന്നത് രണ്ട് കളിക്കാർ തമ്മിലുള്ള കളിയാണ്, അവിടെ ഒരാൾക്ക് ലഭിക്കുന്ന പ്രതിഫലം മറ്റൊരാൾക്കുള്ള പിഴയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.


The min max theorem turns out to be a corollary of linear programming duality.

മിൻ-മാക്സ് തിയറം രേഖീയ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഡ്യുവാലിറ്റിയുടെ ഒരു ഉപസിദ്ധാന്തമാണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.


We do not know of an efficient algorithm for finding a Nash equilibrium given the description of a general game.

ഒരു പൊതുവായ ഗെയിമിൻ്റെ വിവരണം നൽകുമ്പോൾ നാഷ് സന്തുലിതാവസ്ഥ കണ്ടെത്തുന്നതിന് കാര്യക്ഷമമായ ഒരു അൽഗൊരിതം നമുക്കറിയില്ല.


We can reduce these N steps to √N by observing that if N is a composite of the form N = PQ then either P or Q is smaller than √N.

N = PQ എന്ന രൂപത്തിലുള്ള ഒരു കോമ്പോസിറ്റ് സംഖ്യയാണ് N എങ്കിൽ, ഒന്നുകിൽ P അല്ലെങ്കിൽ Q, √N നേക്കാൾ ചെറുതായിരിക്കും എന്ന് നിരീക്ഷിക്കുന്നതിലൂടെ ഈ N ഘട്ടങ്ങൾ √N ആയി കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും.


Graphs are so ubiquitous in computer science and other sciences because they can be used to model a great many of the data that we encounter.

കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലും മറ്റ് ശാസ്ത്രങ്ങളിലും ഗ്രാഫുകൾ വളരെ സാധാരണമാണ്, കാരണം നമുക്ക് നേരിടേണ്ടി വരുന്ന ധാരാളം ഡാറ്റകൾ മോഡൽ ചെയ്യാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കാം.


The shortest path problem is the task of finding, given a graph G = (V, E) and two vertices s, t ∈ V, the length of the shortest path between s and t.

ഒരു ഗ്രാഫ് G = (V, E), രണ്ട് വെർട്ടെക്സുകൾ s, t ∈ V എന്നിവ നൽകിയിട്ടുള്ളപ്പോൾ, s-നും t-ക്കും ഇടയിലുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ പാതയുടെ നീളം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും ചെറിയ പാത പ്രശ്നം.


If each vertex has at least two neighbors then there can be an exponential number of paths from s to t, but fortunately we do not have to enumerate them all to find the shortest path.

ഓരോ വെർട്ടെക്സിനും കുറഞ്ഞത് രണ്ട് അയൽക്കാരെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, s-ൽ നിന്ന് t-യിലേക്ക് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ എണ്ണം പാതകൾ ഉണ്ടാകാം, എന്നാൽ ഭാഗ്യവശാൽ ഏറ്റവും ചെറിയ പാത കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ അവയെല്ലാം എണ്ണേണ്ടതില്ല.


We can find the shortest path using a breadth first search (BFS), enumerating s’s neighbors, and then neighbors’ neighbors, etc.. in order.

ഒരു ബ്രെഡ്ത് ഫസ്റ്റ് സെർച്ച് (BFS) ഉപയോഗിച്ച്, s-ൻ്റെ അയൽക്കാരെയും തുടർന്ന് അയൽക്കാരുടെ അയൽക്കാരെയും ക്രമത്തിൽ എണ്ണിക്കൊണ്ട് നമുക്ക് ഏറ്റവും ചെറിയ പാത കണ്ടെത്താനാകും.


Dijkstra’s algorithm is a well-known generalization of BFS to weighted graphs.

വെയ്റ്റഡ് ഗ്രാഫുകളിലേക്കുള്ള BFS-ൻ്റെ ഒരു പ്രസിദ്ധമായ ജനറലൈസേഷനാണ് ഡിക്സ്ട്രാസ് അൽഗോരിതം.


Graphs can also denote correlations in data, causal relations, or the state space of a system.

ഡാറ്റയിലെ പരസ്പരബന്ധം, കാരണബന്ധങ്ങൾ, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥാ സ്പേസ് എന്നിവയും ഗ്രാഫുകൾക്ക് സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.


A queue is a data structure for storing a list of elements in “First In First Out (FIFO)” order.

ഒരു ക്യൂ എന്നത് “ഫസ്റ്റ് ഇൻ ഫസ്റ്റ് ഔട്ട് (FIFO)” ക്രമത്തിൽ ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് സംഭരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഡാറ്റാ ഘടനയാണ്.


The longest path problem is the task of finding the length of the longest simple path between a given pair of vertices s and t in a given graph G.

ഏതെങ്കിലും ഗ്രാഫ് G-യിലെ രണ്ട് വെർട്ടെക്സുകൾ s, t എന്നിവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഏറ്റവും വലിയ ലളിതമായ പാതയുടെ നീളം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും വലിയ പാത പ്രശ്നം.


TSP is a classical optimization problem, with applications ranging from planning and logistics to DNA sequencing and astronomy.

TSP എന്നത് ക്ലാസിക്കൽ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നമാണ്, ഇത് ആസൂത്രണത്തിലും ലോജിസ്റ്റിക്സിലും തുടങ്ങി DNA സീക്വൻസിംഗും, ജ്യോതിശാസ്ത്രം വരെ വ്യാപിച്ചു കിടക്കുന്നു.


Given a graph G = (V, E), a cut of G is a subset S ⊆ V such that S is neither empty nor is it all of V.

ഒരു ഗ്രാഫ് G = (V, E) നൽകുമ്പോൾ, G-യുടെ ഒരു കട്ട് എന്നത് S ⊆ V എന്ന ഉപസെറ്റാണ്, S ശൂന്യവുമല്ല, V-യുടെ എല്ലാ ഭാഗവുമല്ല.


Computing minimum s,t cuts is useful in many applications since minimum cuts often correspond to bottlenecks.

മിനിമം s,t കട്ടുകൾ കമ്പ്യൂട്ട് ചെയ്യുന്നത് പല ആപ്ലിക്കേഷനുകളിലും ഉപയോഗപ്രദമാണ്, കാരണം മിനിമം കട്ടുകൾ പലപ്പോഴും തടസ്സങ്ങൾക്ക് (bottlenecks)  തുല്യമാണ്.


For example, in a communication or railroad network the minimum cut between s and t corresponds to the smallest number of edges that, if dropped, will disconnect s from t.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ആശയവിനിമയത്തിലോ റെയിൽറോഡ് ശൃംഖലയിലോ s-നും t-ക്കും ഇടയിലുള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ കട്ട്, ഒഴിവാക്കിയാൽ s-നെ t-യിൽ നിന്ന് വിച്ഛേദിക്കുന്ന ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ എണ്ണം എഡ്‌ജുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.


The naive algorithm for computing MINCUT will check all 2^n possible subsets of an n-vertex graph, but it turns out we can do much better than that.

MINCUT കമ്പ്യൂട്ട് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ലളിതമായ അൽഗോരിതം ഒരു n-വെർട്ടെക്സ് ഗ്രാഫിന്റെ എല്ലാ 2^n സാധ്യതയുള്ള ഉപസെറ്റുകളും പരിശോധിക്കും, എന്നാൽ അതിലും മികച്ചത് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.


We can obtain a polynomial-time algorithm for computing MINCUT using the Max-Flow Min-Cut Theorem.

Max-Flow Min-Cut സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് MINCUT കമ്പ്യൂട്ട് ചെയ്യുന്നതിന് ഒരു പോളിനോമിയൽ-ടൈം അൽഗോരിതം നമുക്ക് ലഭിക്കും.


This theorem says that the minimum cut between s and t equals the maximum amount of flow we can send from s to t, if every edge has unit capacity.

എല്ലാ എഡ്‌ജുകൾക്കും യൂണിറ്റ് ശേഷിയുണ്ടെങ്കിൽ, s-നും t-ക്കും ഇടയിലുള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ കട്ട്, s-ൽ നിന്ന് t-യിലേക്ക് അയക്കാൻ കഴിയുന്ന പരമാവധി ഒഴുക്കിന് തുല്യമാണെന്ന് ഈ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു.


The maximum flow problem can be thought of as the task of maximizing ∑ e∋s xe over all the vectors x ∈ ℝm that satisfy the above conditions.

പരമാവധി ഒഴുക്ക് പ്രശ്നം എന്നത് മുകളിലുള്ള നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുന്ന എല്ലാ വെക്റ്ററുകളും x ∈ ℝm എന്നിവയിൽ ∑ e∋s xe  പരമാവധി ആക്കുന്ന ഒരു ടാസ്‌ക് ആയി കണക്കാക്കാം.


Maximizing a linear function ℓ(x) over the set of x ∈ ℝm that satisfy certain linear equalities and inequalities is known as linear programming.

ചില ലീനിയർ സമത്വങ്ങളും,  അസമത്വങ്ങളും പാലിക്കുന്ന x ∈ ℝm എന്ന സെറ്റിൽ ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ ℓ(x) പരമാവധി ആക്കുന്നതിനെ ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.


For example, maximum cut arises in VLSI design, and also has some surprising relation to analyzing the Ising model in statistical physics.

ഉദാഹരണത്തിന്, മാക്സിമം കട്ട് VLSI രൂപകൽപ്പനയിൽ ഉണ്ടാകുന്നു, കൂടാതെ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ ഐസിംഗ് മോഡൽ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതുമായി ഇതിന് ചില ബന്ധങ്ങളുണ്ട്.


If D ⊆ ℝn, then a function f : D → 푅 is convex if for every x, y ∈ D and p ∈ [0,1] f(px + (1 − p)y) ≤ pf(x) + (1 − p)f(y).

D ⊆ ℝn ആണെങ്കിൽ, എല്ലാ x, y ∈ D, p ∈ [0,1] എന്നിവയ്ക്കും f(px + (1 − p)y) ≤ pf(x) + (1 − p)f(y)  ആണെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ f : D → 푅 കോൺവെക്സ് ആയിരിക്കും.


The satisfiability problem is the task of determining, given a CNF formula φ, whether or not there exists a satisfying assignment for φ.

ഒരു CNF ഫോർമുല φ നൽകുമ്പോൾ, അതിന് ഒരു സംതൃപ്തികരമായ അസൈൻമെന്റ് ഉണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക എന്നതാണ് സംതൃപ്തി പ്രശ്നം.


ഇന്ന് കാലാവസ്ഥ സുഖകരമാണ്.


അല്പം ഉപ്പ് തരുമോ?


I am going to the market to buy some groceries.

ഞാൻ കുറച്ച് പലചരക്ക് സാധനങ്ങൾ വാങ്ങാൻ മാർക്കറ്റിൽ പോകുകയാണ്.


The company announced a new product launch.

കമ്പനി ഒരു പുതിയ ഉൽപ്പന്നം പുറത്തിറക്കുന്നതായി പ്രഖ്യാപിച്ചു.


The algorithm efficiently sorts the data.

അൽഗോരിതം ഡാറ്റയെ കാര്യക്ഷമമായി അടുക്കുന്നു.


അദ്ദേഹം വളരെ കഴിവുള്ള ഒരു സംഗീതജ്ഞനാണ്.


സമ്മേളനം അടുത്ത ആഴ്ച നടക്കും.


Please submit your application before the deadline.

അവസാന തീയതിക്ക് മുമ്പ് നിങ്ങളുടെ അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുക.


The research paper explores the impact of climate change.

ഗവേഷണ പ്രബന്ധം കാലാവസ്ഥാ വ്യതിയാനത്തിന്റെ ആഘാതം പരിശോധിക്കുന്നു.


The government implemented new policies to boost the economy.

സമ്പദ്‌വ്യവസ്ഥയെ ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനായി സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കി.


The software update includes several bug fixes.

സോഫ്റ്റ്‌വെയർ അപ്‌ഡേറ്റിൽ നിരവധി ബഗ് പരിഹാരങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു.


The artist's work is known for its vibrant colors.

ചിത്രകാരന്റെ കൃതികൾ അതിന്റെ തിളക്കമാർന്ന വർണ്ണങ്ങൾക്ക് പേരുകേട്ടതാണ്.


ടീം ഒരു പുതിയ പ്രോജക്റ്റിലാണ് പ്രവർത്തിക്കുന്നത്.


The company's profits increased significantly this quarter.

കമ്പനിയുടെ ലാഭം ഈ ത്രൈമാസത്തിൽ ഗണ്യമായി വർദ്ധിച്ചു.


The complex equation requires advanced mathematical techniques.

സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യം, അത്യാധുനിക ഗണിത രീതികൾ ആവശ്യമാണ്.


The historical event had a profound impact on society.

ചരിത്രപരമായ ഈ സംഭവം സമൂഹത്തിൽ വലിയ സ്വാധീനം ചെലുത്തി.


The data analysis revealed some interesting patterns.

ഡാറ്റാ വിശകലനം ചില രസകരമായ പാറ്റേണുകൾ വെളിപ്പെടുത്തി.


The new regulations will affect small businesses.

പുതിയ നിയന്ത്രണങ്ങൾ ചെറുകിട ബിസിനസ്സുകളെ ബാധിക്കും.


The scientist conducted an experiment to test the hypothesis.

ശാസ്ത്രജ്ഞൻ സിദ്ധാന്തം പരീക്ഷിക്കുന്നതിനായി ഒരു പരീക്ഷണം നടത്തി.


The book provides a comprehensive overview of the subject.

പുസ്തകം വിഷയത്തെക്കുറിച്ച് സമഗ്രമായ ഒരു വിവരണം നൽകുന്നു.


The algorithm efficiently solves complex problems.

അൽഗോരിതം സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ കാര്യക്ഷമമായി പരിഹരിക്കുന്നു.


കൃത്യമായ വിശകലനത്തിന് ഡാറ്റ വളരെ പ്രധാനമാണ്.


കമ്പനി പുതിയ ഉൽപ്പന്നം പുറത്തിറക്കുന്നതായി പ്രഖ്യാപിച്ചു.


She enjoys reading novels in her free time.

അവൾ ഒഴിവുസമയങ്ങളിൽ നോവലുകൾ വായിക്കാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു.


The weather forecast predicts heavy rainfall.

കാലാവസ്ഥാ പ്രവചനം കനത്ത മഴയുടെ സൂചന നൽകുന്നു.


He is studying computer science at the university.

അയാൾ യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിൽ കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ് പഠിക്കുന്നു.


The research paper explores advanced topics in AI.

ഗവേഷണ പ്രബന്ധം AI-യിലെ നൂതന വിഷയങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നു.


She is a talented musician and composer.

അവൾ ഒരു കഴിവുള്ള സംഗീതജ്ഞനും, സംഗീത സംവിധായകനുമാണ്.


The government implemented new economic policies.

സർക്കാർ പുതിയ സാമ്പത്തിക നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കി.


The complex system requires careful maintenance.

സങ്കീർണ്ണമായ ഈ സിസ്റ്റത്തിന് ശ്രദ്ധയോടെയുള്ള പരിപാലനം ആവശ്യമാണ്.


The team collaborated effectively on the project.

പ്രോജക്റ്റിൽ ടീം വളരെ ഫലപ്രദമായി സഹകരിച്ചു.


The scientist presented groundbreaking findings.

ശാസ്ത്രജ്ഞൻ പുതിയ കണ്ടെത്തലുകൾ അവതരിപ്പിച്ചു.


The article discusses the impact of climate change.

കാലാവസ്ഥാ വ്യതിയാനത്തിന്റെ ആഘാതത്തെക്കുറിച്ച് ലേഖനത്തിൽ പറയുന്നു.


അയാൾക്ക് ഒന്നിലധികം ഭാഷകളിൽ പ്രാവീണ്യമുണ്ട്.


The software update includes several new features.

സോഫ്റ്റ്‌വെയർ അപ്‌ഡേറ്റിൽ നിരവധി പുതിയ ഫീച്ചറുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു.


The economic downturn affected many businesses.

സാമ്പത്തിക മാന്ദ്യം പല ബിസിനസ്സുകളെയും ബാധിച്ചു.


She is passionate about environmental conservation.

പരിസ്ഥിതി സംരക്ഷണത്തിൽ അവൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്.


The experiment yielded unexpected results.

പരീക്ഷണം അപ്രതീക്ഷിത ഫലങ്ങൾ നൽകി.


The political debate was highly contentious.

രാഷ്ട്രീയ സംവാദം വളരെ വിവാദപരമായിരുന്നു.


The intricate design required specialized skills.

സങ്കീർണ്ണമായ രൂപകൽപ്പനയ്ക്ക് പ്രത്യേക വൈദഗ്ദ്ധ്യം ആവശ്യമാണ്.


The time hierarchy theorem is a fundamental concept in computational complexity theory.

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ കോംപ്ലക്സിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ അടിസ്ഥാനപരമായ ആശയമാണ് സമയ ശ്രേണി സിദ്ധാന്തം.


This machine can simulate the execution of M for T steps.

ഈ മെഷീന് M-ൻ്റെ T ഘട്ടങ്ങൾ വരെ പ്രവർത്തിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.


Given any Turing machine M, input x, and a step budget T, we can simulate the execution of M.

ഏതൊരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ M, ഇൻപുട്ട് x, കൂടാതെ T എന്ന സ്റ്റെപ്പ് ബഡ്ജറ്റ് എന്നിവ നൽകിയാൽ, M-ൻ്റെ പ്രവർത്തനം നമുക്ക് അനുകരിക്കാൻ കഴിയും.


The timed universal Turing machine takes as input a Turing machine M, an input x, and a time bound T.

സമയബന്ധിതമായ യൂണിവേഴ്സൽ ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ ഒരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ M, ഒരു ഇൻപുട്ട് x, കൂടാതെ സമയപരിധി T എന്നിവ ഇൻപുട്ടായി എടുക്കുന്നു.


The theorem states that there is such a machine that runs in time polynomial in T.

T-ൽ ഒരു ബഹുപദ സമയത്തിനുള്ളിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു മെഷീൻ ഉണ്ടെന്ന് ഈ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു.


We define a function TIMEDEVAL that takes the three parameters M, x, and the time budget.

M, x, സമയ ബഡ്ജറ്റ് എന്നീ മൂന്ന് പരാമീറ്ററുകൾ എടുക്കുന്ന TIMEDEVAL എന്ന ഫംഗ്ഷൻ നമ്മൾ നിർവചിക്കുന്നു.


The timed universal Turing machine computes TIMEDEVAL in polynomial time.

സമയബന്ധിതമായ യൂണിവേഴ്സൽ ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ TIMEDEVAL ഒരു ബഹുപദ സമയത്തിനുള്ളിൽ കണക്കാക്കുന്നു.


Given a Turing machine M, by Theorem 13.5 we can transform it in time polynomial in its description.

ഒരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ M നൽകിയിരിക്കുന്നു, തിയറം 13.5 അനുസരിച്ച്, അതിന്റെ വിവരണത്തിൽ ഒരു ബഹുപദ സമയത്തിനുള്ളിൽ നമുക്ക് ഇതിനെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ കഴിയും.


Some functions are uncomputable, but are there functions that can be computed, but only at an exorbitant cost?

ചില ഫംഗ്ഷനുകൾ കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തവയാണ്, എന്നാൽ കണക്കാക്കാൻ കഴിയുന്ന ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ടോ, എന്നാൽ വലിയ ചിലവിൽ മാത്രം?


The time hierarchy theorem tells us that there are functions we can compute in O(n^2) time but not O(n).

O(n^2) സമയത്തിനുള്ളിൽ കണക്കാക്കാൻ കഴിയുന്നതും എന്നാൽ O(n) സമയത്തിനുള്ളിൽ കഴിയാത്തതുമായ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ടെന്ന് സമയ ശ്രേണി സിദ്ധാന്തം നമ്മോട് പറയുന്നു.


We have seen that we have no shortage of natural functions for which the best known algorithm requires roughly 2^n time.

ഏറ്റവും മികച്ച അൽഗോരിതം ഏകദേശം 2^n സമയം ആവശ്യമുള്ള സ്വാഭാവിക ഫംഗ്ഷനുകളുടെ കുറവില്ലെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടു.


The time hierarchy theorem relies on the existence of an efficient universal NAND-RAM program.

സമയ ശ്രേണി സിദ്ധാന്തം ഒരു കാര്യക്ഷമമായ യൂണിവേഴ്സൽ NAND-RAM പ്രോഗ്രാമിന്റെ നിലനിൽപ്പിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.


We have now seen two measures of “computation cost” for functions.

ഫംഗ്ഷനുകൾക്കായുള്ള “കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ ചിലവ്” അളക്കുന്ന രണ്ട് വഴികൾ നമ്മൾ ഇപ്പോൾ കണ്ടു.


We defined the complexity of computing finite functions using circuits.

സർക്യൂട്ടുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിമിതമായ ഫംഗ്ഷനുകൾ കമ്പ്യൂട്ട് ചെയ്യുന്നതിന്റെ സങ്കീർണ്ണത നമ്മൾ നിർവചിച്ചു.


The condition F ∈ P means that there is a single Turing machine M that computes F on all inputs in polynomial time.

F ∈ P എന്ന അവസ്ഥയുടെ അർത്ഥം, എല്ലാ ഇൻപുട്ടുകളിലും F ഒരു ബഹുപദ സമയത്തിനുള്ളിൽ കണക്കാക്കുന്ന ഒരു ട്യൂറിംഗ് മെഷീൻ M ഉണ്ട് എന്നാണ്.


The condition F ∈ P/poly only means that for every input length n there can be a different circuit.

F ∈ P/poly എന്ന അവസ്ഥയുടെ അർത്ഥം, ഓരോ ഇൻപുട്ട് ലെങ്ത് n-നും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു സർക്യൂട്ട് ഉണ്ടാകാം എന്നാണ്.


However, the other direction is true: Non-uniform computation contains uniform computation.

എങ്കിലും, മറുവശം ശരിയാണ്: ഏകീകൃതമല്ലാത്ത കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ, ഏകീകൃത കമ്പ്യൂട്ടേഷനെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


The idea behind the proof is to “unroll the loop”.

പ്രൂഫിന് പിന്നിലെ ആശയം “ലൂപ്പ് അൺറോൾ ചെയ്യുക” എന്നതാണ്.


For example, consider the following NAND-TM to compute the XOR function on inputs of arbitrary length.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഇഷ്ടമുള്ള നീളത്തിലുള്ള ഇൻപുട്ടുകളിൽ XOR ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കാൻ, താഴെ പറയുന്ന NAND-TM പരിഗണിക്കുക.


Key to this transformation was the fact that in our original NAND-TM program for XOR, the index variable i is guaranteed to equal 0 in the first iteration.

ഈ രൂപാന്തരീകരണത്തിന്റെ പ്രധാന കാരണം, XOR-നായുള്ള ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ NAND-TM പ്രോഗ്രാമിൽ, സൂചിക വേരിയബിൾ i ആദ്യ ആവർത്തനത്തിൽ 0-ന് തുല്യമായിരിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പാണ് എന്നതാണ്.


The algorithm efficiently sorts the data.

അൽഗോരിതം ഡാറ്റയെ കാര്യക്ഷമമായി അടുക്കുന്നു.


She enjoys reading novels in her free time.

അവൾ ഒഴിവുസമയങ്ങളിൽ നോവലുകൾ വായിക്കാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു.


The company announced a new product launch.

കമ്പനി പുതിയ ഉൽപ്പന്നം പുറത്തിറക്കുന്നതായി പ്രഖ്യാപിച്ചു.


അല്പം ഉപ്പ് തരുമോ?


The weather forecast predicts rain tomorrow.

നാളെ മഴ പെയ്യുമെന്ന് കാലാവസ്ഥാ പ്രവചനം.


He is a highly skilled software engineer.

അദ്ദേഹം വളരെ കഴിവുള്ള ഒരു സോഫ്റ്റ്‌വെയർ എഞ്ചിനീയറാണ്.


The government implemented new policies to boost the economy.

സമ്പദ്‌വ്യവസ്ഥയെ ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനായി സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കി.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

പ്രതിസന്ധികൾക്കിടയിലും അവർ മുന്നോട്ട് പോവുകയും വിജയിക്കുകയും ചെയ്തു.


The research paper explores the impact of climate change.

ഗവേഷണ പ്രബന്ധം കാലാവസ്ഥാ വ്യതിയാനത്തിന്റെ ആഘാതം പരിശോധിക്കുന്നു.


She is fluent in multiple languages, including Malayalam.

അവൾ മലയാളം ഉൾപ്പെടെ നിരവധി ഭാഷകളിൽ പ്രാവീണ്യം നേടിയിട്ടുണ്ട്.


The complex equation required advanced mathematical skills.

സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യം, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കഴിവുകൾ ആവശ്യമായിരുന്നു.


The philosophical debate delved into the nature of existence.

തത്വചിന്താപരമായ സംവാദം, അസ്തിത്വത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച് ആഴത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്തു.


The intricate design of the building showcased architectural brilliance.

കെട്ടിടത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണമായ രൂപകൽപ്പന, വാസ്തുവിദ്യാ വൈദഗ്ദ്ധ്യം പ്രകടമാക്കി.


The company's innovative approach revolutionized the industry.

കമ്പനിയുടെ നൂതനമായ സമീപനം വ്യവസായത്തിൽ വിപ്ലവം സൃഷ്ടിച്ചു.


The implications of the new scientific discovery are far-reaching.

പുതിയ ശാസ്ത്രീയ കണ്ടെത്തലിന്റെ അനന്തരഫലങ്ങൾ വളരെ ദൂരവ്യാപകമാണ്.


The artist's evocative use of color created a powerful emotional response.

ചിത്രകാരൻ്റെ വർണ്ണങ്ങളുടെ ശക്തമായ ഉപയോഗം ശക്തമായ വൈകാരിക പ്രതികരണം സൃഷ്ടിച്ചു.


The economic downturn significantly impacted global trade.

സാമ്പത്തിക മാന്ദ്യം ലോക വ്യാപാരത്തെ സാരമായി ബാധിച്ചു.


The intricate details of the ancient artifact fascinated the archaeologists.

പുരാതന വസ്തുവിന്റെ സങ്കീർണ്ണമായ വിശദാംശങ്ങൾ പുരാവസ്തു ഗവേഷകരെ ആകർഷിച്ചു.


The political discourse was filled with complex arguments and counter-arguments.

രാഷ്ട്രീയ സംവാദം സങ്കീർണ്ണമായ വാദങ്ങളും, പ്രതിവാദങ്ങളും നിറഞ്ഞതായിരുന്നു.


The technological advancements have transformed the way we communicate.

സാങ്കേതിക മുന്നേറ്റങ്ങൾ, ആശയവിനിമയം നടത്തുന്ന രീതിയെ മാറ്റിമറിച്ചു.


The algorithm has an O(n) time complexity.

അൽഗോരിതത്തിന് O(n) സമയ സങ്കീർണ്ണതയുണ്ട്.


3SAT ഒരു കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രശ്നമാണ്.


If P equals NP, then many problems become efficiently solvable.

P, NP-ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, പല പ്രശ്നങ്ങളും കാര്യക്ഷമമായി പരിഹരിക്കാനാകും.


We want to find the satisfying assignment.

നമ്മൾ തൃപ്തികരമായ അസൈൻമെൻ്റ് കണ്ടെത്താൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.


The theorem implies a search vs decision reduction.

ഈ സിദ്ധാന്തം ഒരു തിരയലിനും തീരുമാനത്തിനുമിടയിലുള്ള കുറവ് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.


Finding the maximum cut in a graph is a classic problem.

ഗ്രാഫിലെ പരമാവധി കട്ട് കണ്ടെത്തുന്നത് ഒരു ക്ലാസിക് പ്രശ്നമാണ്.


തെളിയിക്കാനുള്ള ആശയം ലളിതമാണ്.


നമുക്ക് എല്ലാ ബിറ്റുകളും വീണ്ടെടുക്കാൻ കഴിയും.


Algorithm 16.2 shows the search to decision reduction.

അൽഗോരിതം 16.2 തിരയലിനും തീരുമാനത്തിനുമിടയിലുള്ള കുറവ് കാണിക്കുന്നു.


അൽഗോരിതം നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു.


നമ്മൾ സ്ഥിരത നിലനിർത്തുന്നു.


ഏറ്റവും വലിയ ലളിതമായ പാത കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ?


P=NP-യിൽ നിന്നുള്ള ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ സാധ്യമാണ്.


ഫംഗ്ഷൻ f, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യുന്നു.


നമുക്ക് ബൈനറി തിരയൽ ഉപയോഗിക്കാം.


ഇൻ്റീജർ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഒരു ആപ്ലിക്കേഷനാണ്.


Supervised learning is a classical optimization task.

സൂപ്പർവൈസ്ഡ് ലേണിംഗ് ഒരു ക്ലാസിക്കൽ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ ടാസ്‌ക്കാണ്.


The goal is to come up with a hypothesis.

ഒരു സിദ്ധാന്തം രൂപീകരിക്കുക എന്നതാണ് ലക്ഷ്യം.


Breaking cryptosystems is also discussed.

ക്രിപ്റ്റോസിസ്റ്റങ്ങൾ തകർക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചും ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.


Finding mathematical proofs can be automated.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ തെളിവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ഓട്ടോമേറ്റ് ചെയ്യാൻ കഴിയും.


We can make the loop corresponding to the variables long enough so that we must take the entire path in each loop in order to have a fighting chance of getting a path as long as the one corresponds to a satisfying assignment.

വേരിയബിളുകൾക്ക് അനുസൃതമായ ലൂപ്പ് മതിയായത്ര വലുതാക്കാൻ കഴിയും, അതിനാൽ തൃപ്തികരമായ ഒരു അസൈൻമെൻ്റിന് അനുസൃതമായ പാത ലഭിക്കാൻ ഓരോ ലൂപ്പിലെയും മുഴുവൻ പാതയും എടുക്കേണ്ടി വരും.


But if we do that, then the only way if we are able to reach t is if the paths we took corresponded to a satisfying assignment, since otherwise we will have one clause j where we cannot reach t j from s j without using a vertex we already used before.

എന്നാൽ, അങ്ങനെ ചെയ്താൽ, t-യിൽ എത്തിച്ചേരാനുള്ള ഒരേയൊരു വഴി, നമ്മൾ എടുത്ത വഴികൾ ഒരു തൃപ്തികരമായ അസൈൻമെൻ്റിന് അനുയോജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമാണ്. കാരണം, അല്ലെങ്കിൽ നമ്മൾ ഇതിനകം ഉപയോഗിച്ച ഒരു വെർട്ടെക്സ് ഉപയോഗിക്കാതെ s j-യിൽ നിന്ന് t j-ൽ എത്തിച്ചേരാൻ കഴിയാത്ത ഒരു ക്ലോസ് j നമുക്ക് ഉണ്ടാകും.


Hence coming up with a polynomial-time algorithm for even one of these problems will entail a polynomial-time algorithm for 3SAT.

അതിനാൽ, ഈ പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്നിന് പോലും ഒരു ബഹുപദ സമയ അൽഗോരിതം ഉണ്ടാക്കുന്നത് 3SAT-ന് ഒരു ബഹുപദ സമയ അൽഗോരിതം ഉണ്ടാക്കും.


In Chapter 15 we will show the inverse direction (“If 3SAT ∈ P then F ∈ P”) for these functions, hence allowing us to conclude that they have equivalent complexity to 3SAT.

അധ്യായം 15-ൽ, ഈ ഫംഗ്ഷനുകൾക്കായി വിപരീത ദിശ (“If 3SAT ∈ P then F ∈ P”) ഞങ്ങൾ കാണിക്കും, അതിനാൽ അവ 3SAT-ന് തുല്യമായ കോംപ്ലക്സിറ്റി (complexity)  ഉണ്ടെന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാൻ ഇത് നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു.


The computational complexity of many seemingly unrelated computational problems can be related to one another through the use of reductions.

പരസ്പരം ബന്ധമില്ലാത്തതായി തോന്നുന്ന നിരവധി കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രശ്നങ്ങളുടെ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ കോംപ്ലക്സിറ്റി കുറയ്ക്കലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.


If F ≤ p G then a polynomial-time algorithm for G can be transformed into a polynomial-time algorithm for F.

F ≤ p G ആണെങ്കിൽ, G-യുടെ ഒരു ബഹുപദ സമയ അൽഗോരിതം F-യുടെ ഒരു ബഹുപദ സമയ അൽഗോരിതമായി രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ കഴിയും.


Equivalently, if F ≤ p G and F does not have a polynomial-time algorithm then neither does G.

തുല്യമായി പറഞ്ഞാൽ, F ≤ p G ആണെങ്കിൽ, F-ന് ഒരു ബഹുപദ സമയ അൽഗോരിതം ഇല്ലെങ്കിൽ, G-ക്കും ഉണ്ടാകില്ല.


We’ve developed many techniques to show that 3SAT ≤ p F for interesting functions F.

ആകർഷകമായ ഫംഗ്ഷനുകൾ F-ന് 3SAT ≤ p F എന്ന് കാണിക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിരവധി സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്.


Sometimes we can do so by using transitivity of reductions: if 3SAT ≤ p G and G ≤ p F then 3SAT ≤ p F.

ചിലപ്പോൾ, കുറയ്ക്കലിൻ്റെ ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും: 3SAT ≤ p G, G ≤ p F ആണെങ്കിൽ, 3SAT ≤ p F.


Several notions of reductions are defined in the literature.

കുറയ്ക്കലിൻ്റെ നിരവധി ആശയങ്ങൾ സാഹിത്യത്തിൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.


The notion defined in Definition 14.1 is often known as a mapping reduction, many to one reduction or a Karp reduction.

നിർവചനം 14.1-ൽ നിർവചിച്ചിട്ടുള്ള ആശയം പലപ്പോഴും ഒരു മാപ്പിംഗ് റിഡക്ഷൻ, പലതിനെയും ഒന്നിലേക്ക് കുറയ്ക്കൽ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കാർപ് റിഡക്ഷൻ എന്നറിയപ്പെടുന്നു.


The maximal (as opposed to maximum) independent set is the task of finding a “local maximum” of an independent set.

പരമാവധി (പരമാവധിക്കെതിരെ) സ്വതന്ത്ര സെറ്റ് എന്നത് ഒരു സ്വതന്ത്ര സെറ്റിൻ്റെ “പ്രാദേശിക പരമാവധി” കണ്ടെത്താനുള്ള ജോലിയാണ്.


Unlike finding a maximum independent set, finding a maximal independent set can be done efficiently by a greedy algorithm, but this local maximum can be much smaller than the global maximum.

പരമാവധി സ്വതന്ത്ര സെറ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഒരു പരമാവധി സ്വതന്ത്ര സെറ്റ് ഒരു അത്യാഗ്രഹ അൽഗോരിതം വഴി കാര്യക്ഷമമായി ചെയ്യാൻ കഴിയും, എന്നാൽ ഈ പ്രാദേശിക പരമാവധി ആഗോള പരമാവധിയേക്കാൾ വളരെ ചെറുതായിരിക്കും.


We have mentioned that the line between reductions used for algorithm design and showing hardness is sometimes blurry.

അൽഗോരിതം രൂപകൽപ്പനയ്ക്കും കാഠിന്യം കാണിക്കുന്നതിനും ഉപയോഗിക്കുന്ന കുറയ്ക്കലുകൾ തമ്മിലുള്ള രേഖ ചിലപ്പോൾ അവ്യക്തമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ചു.


In this field people use algorithms for SAT (that take exponential time in the worst case but often are much faster on many instances in practice) together with reductions of the form F ≤ p SAT to derive algorithms for other functions F of interest.

ഈ മേഖലയിൽ, ആളുകൾ SAT-നുള്ള അൽഗോരിതങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു (ഏറ്റവും മോശം സാഹചര്യത്തിൽ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമയം എടുക്കും, എന്നാൽ പല സന്ദർഭങ്ങളിലും ഇത് വളരെ വേഗത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കും), താൽപ്പര്യമുള്ള മറ്റ് ഫംഗ്ഷനുകൾ F-യുടെ അൽഗോരിതങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാൻ F ≤ p SAT എന്ന രൂപത്തിലുള്ള കുറയ്ക്കലുകൾക്കൊപ്പം.


So far we have shown that 3SAT is no harder than Quadratic Equations, Independent Set, Maximum Cut, and Longest Path.

ഇതുവരെ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ, ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് സെറ്റ്, മാക്സിമം കട്ട്, ലോംഗസ്റ്റ് പാത്ത് എന്നിവയേക്കാൾ കഠിനമല്ല 3SAT എന്ന് നമ്മൾ കാണിച്ചു.


But to show that these problems are computationally equivalent we need to give reductions in the other direction, reducing each one of these problems to 3SAT as well.

എന്നാൽ ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽപരമായി തുല്യമാണെന്ന് കാണിക്കാൻ, മറ്റ് ദിശയിലുള്ള കുറയ്ക്കലുകൾ നൽകേണ്ടതുണ്ട്, ഈ ഓരോ പ്രശ്നങ്ങളെയും 3SAT-ലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു.


All of the problems we discussed in Chapter 14, and a great many other problems, share the same commonality: they are all search problems, where the goal is to decide, given an instance x, whether there exists a solution y that satisfies some condition that can be verified in polynomial time.

നമ്മൾ 14-ാം അധ്യായത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്ത എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും, മറ്റു പല പ്രശ്നങ്ങളും ഒരേ പൊതുവായ സ്വഭാവം പങ്കിടുന്നു: അവയെല്ലാം സെർച്ച് പ്രശ്നങ്ങളാണ്, അവിടെ ഒരു ഉദാഹരണം x നൽകുമ്പോൾ, ഒരു ബഹുപദ സമയത്തിനുള്ളിൽ പരിശോധിക്കാൻ കഴിയുന്ന ചില വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന ഒരു പരിഹാരം y നിലവിലുണ്ടോ എന്ന് തീരുമാനിക്കുക എന്നതാണ് ലക്ഷ്യം.


In this chapter we will see the definition of the complexity class NP - one of the most important definitions in this book, and the Cook-Levin Theorem - one of the most important theorems in it.

ഈ അധ്യായത്തിൽ, ഈ പുസ്തകത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട നിർവചനങ്ങളിലൊന്നായ കോംപ്ലക്സിറ്റി ക്ലാസ് NP-യുടെ നിർവചനവും, അതിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തങ്ങളിലൊന്നായ കുക്ക്-ലെവിൻ സിദ്ധാന്തവും നമ്മൾ കാണും.


Intuitively, the class NP corresponds to the class of problems where it is easy to verify a solution (i.e., verification can be done by a polynomial-time algorithm).

അന്തർജ്ഞാനപരമായി, NP ക്ലാസ് എന്നത് ഒരു പരിഹാരം പരിശോധിക്കാൻ എളുപ്പമുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ ക്ലാസുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു (അതായത്, പരിശോധന ഒരു ബഹുപദ സമയ അൽഗോരിതം വഴി ചെയ്യാൻ കഴിയും).


Yet not a single polynomial-time algorithm for any of them has been found, supports that conjecture that indeed P≠NP.

ഒന്നിനും ഒരു ബഹുപദ സമയ അൽഗോരിതം പോലും ഇതുവരെ കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ല, ഇത് P≠NP എന്ന അനുമാനത്തെ പിന്തുണയ്ക്കുന്നു.


In fact, for many of these problems, we don’t even know of a 2^(n)-time algorithm!

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ പ്രശ്നങ്ങളിൽ പലതിനും, 2^(n) സമയ അൽഗോരിതം പോലും നമുക്കറിയില്ല!


However, to the frustration of computer scientists, we have not yet been able to prove that P≠NP or even rule out the existence of an O(n)-time algorithm for 3SAT.

എങ്കിലും, കമ്പ്യൂട്ടർ ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ നിരാശയ്ക്ക്, P≠NP എന്ന് തെളിയിക്കാനോ അല്ലെങ്കിൽ 3SAT-ന് ഒരു O(n)-സമയ അൽഗോരിതത്തിന്റെ സാധ്യത തള്ളിക്കളയാനോ ഞങ്ങൾക്ക് ഇതുവരെ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല.


Resolving whether or not P = NP is known as the P vs NP problem.

P = NP ആണോ അല്ലയോ എന്ന് തീരുമാനിക്കുന്നതിനെ P vs NP പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.


A million-dollar prize has been offered for the solution of this problem.

ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരത്തിനായി ഒരു ദശലക്ഷം ഡോളർ സമ്മാനം വാഗ്ദാനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്.


One of the mysteries of computation is that people have observed a certain empirical “zero-one law” or “dichotomy” in the computational complexity of natural problems.

കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ രഹസ്യങ്ങളിലൊന്ന്, പ്രകൃതിദത്ത പ്രശ്നങ്ങളുടെ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ കോംപ്ലക്സിറ്റിയിൽ ആളുകൾ ഒരു നിശ്ചിത അനുഭവപരമായ “സൂറൊ-വൺ നിയമം” അല്ലെങ്കിൽ “വിഭജനം” നിരീക്ഷിച്ചിട്ടുണ്ട് എന്നതാണ്.


This is related to the fact that for most natural problems, the best known algorithm is either exponential or polynomial.

മിക്ക പ്രകൃതിദത്ത പ്രശ്നങ്ങളിലും, ഏറ്റവും അറിയപ്പെടുന്ന അൽഗോരിതം ഒന്നുകിൽ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ അല്ലെങ്കിൽ ബഹുപദമാണ് എന്ന വസ്തുതയുമായി ഇതിന് ബന്ധമുണ്ട്.


However, it is believed that there exist problems in NP that are neither in P nor are NP-complete.

എങ്കിലും, P-യിലോ NP-കംപ്ലീറ്റിലോ പെടാത്ത NP-യിൽ പ്രശ്നങ്ങളുണ്ടെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു.


We will now prove the Cook-Levin Theorem, which is the underpinning to a great web of reductions from 3SAT to thousands of problems across many great fields.

ഇപ്പോൾ, 3SAT-ൽ നിന്ന് നിരവധി വലിയ ഫീൽഡുകളിലെ ആയിരക്കണക്കിന് പ്രശ്നങ്ങളിലേക്കുള്ള വലിയ അളവിലുള്ള കുറയ്ക്കലിന്റെ അടിസ്ഥാനമായ കുക്ക്-ലെവിൻ സിദ്ധാന്തം നമ്മൾ തെളിയിക്കും.


Some problems that have been shown to be NP-complete include: minimum-energy protein folding, minimum surface-area foam configuration, map coloring, optimal Nash equilibrium, quantum state entanglement, minimum supersequence of a genome, minimum codeword problem, shortest vector in a lattice, minimum genus knots, positive Diophantine equations, integer programming, and many many more.

NP-കംപ്ലീറ്റ് ആണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ട ചില പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഇവ ഉൾപ്പെടുന്നു: ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഊർജ്ജ പ്രോട്ടീൻ മടക്കിവെക്കൽ, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണമുള്ള നുരകളുടെ ക്രമീകരണം, മാപ്പ് കളറിംഗ്, ഒപ്റ്റിമൽ നാഷ് സന്തുലിതാവസ്ഥ, ക്വാണ്ടം അവസ്ഥയുടെ പിന്നടുക്കൽ, ഒരു ജീനോമിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സൂപ്പർസീക്വൻസ്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ കോഡ്വേഡ് പ്രശ്നം, ലാറ്റിസിലെ ഏറ്റവും ചെറിയ വെക്റ്റർ, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ജീനസ് കെട്ടുകൾ, പോസിറ്റീവ് ഡയോഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ, പൂർണ്ണസംഖ്യ പ്രോഗ്രാമിംഗ് എന്നിവയും അതിലേറെയും.


The worst-case complexity of all these problems is (up to polynomial factors) equivalent to that of 3SAT, and through the Cook-Levin Theorem, to all problems in NP.

ഈ പ്രശ്നങ്ങളെല്ലാം മോശം സാഹചര്യത്തിൽ 3SAT-ന് തുല്യമാണ് (ബഹുപദ ഘടകങ്ങൾ വരെ), കൂടാതെ കുക്ക്-ലെവിൻ സിദ്ധാന്തത്തിലൂടെ NP-യിലെ എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.


അത് നമ്മൾ മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങളായി ചെയ്യും.


We define two intermediate problems: NANDSAT and 3NAND.

നമ്മൾ രണ്ട് ഇടത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്നു: NANDSAT, 3NAND.


We will shortly show the definitions of these two problems, but Theorem 15.6 will follow from combining the following three results:

ഈ രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങൾ നമ്മൾ ഉടൻ തന്നെ കാണിക്കും, എന്നാൽ താഴെ പറയുന്ന മൂന്ന് ഫലങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ സിദ്ധാന്തം 15.6 ലഭിക്കും:


The function NANDSAT : {0,1} * → {0,1} is defined as follows:

NANDSAT : {0,1} * → {0,1} എന്ന ഫംഗ്ഷൻ താഴെ പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:


The input to NANDSAT is a string Q representing a NAND-CIRC program (or equivalently, a circuit with NAND gates).

NANDSAT-ലേക്കുള്ള ഇൻപുട്ട് ഒരു NAND-CIRC പ്രോഗ്രാമിനെ (അല്ലെങ്കിൽ തത്തുല്യമായി, NAND ഗേറ്റുകളുള്ള ഒരു സർക്യൂട്ട്) പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന Q എന്ന സ്ട്രിംഗ് ആണ്.


The output of NANDSAT on input Q is 1 if and only if there exists a string w ∈ {0,1} n (where n is the number of inputs to Q) such that Q(w) = 1.

Q എന്ന ഇൻപുട്ടിലെ NANDSAT-ന്റെ ഔട്ട്‌പുട്ട് 1 ആകുന്നത്, w ∈ {0,1} n എന്ന ഒരു സ്ട്രിംഗ് (ഇവിടെ n എന്നത് Q-യിലേക്കുള്ള ഇൻപുട്ടുകളുടെ എണ്ണമാണ്) Q(w) = 1 ആകുമ്പോൾ മാത്രമാണ്.


We have seen that the circuit (or straightline program) evaluation problem can be computed in polynomial time.

സർക്യൂട്ട് (അല്ലെങ്കിൽ നേർരേഖാ പ്രോഗ്രാം) മൂല്യനിർണ്ണയ പ്രശ്നം ബഹുപദ സമയത്തിനുള്ളിൽ കണക്കാക്കാമെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടു.


Specifically, given a NAND-CIRC program Q of s lines and n inputs, and w ∈ {0,1} n, we can evaluate Q on the input w in time which is polynomial in s and hence verify whether or not Q(w) = 1.

പ്രത്യേകിച്ചും, s വരികളും n ഇൻപുട്ടുകളും ഉള്ള ഒരു NAND-CIRC പ്രോഗ്രാം Q, കൂടാതെ w ∈ {0,1} n എന്നിവ നൽകിയാൽ, s-ൽ ബഹുപദമായ സമയത്തിനുള്ളിൽ ഇൻപുട്ട് w-ൽ Q വിലയിരുത്താൻ കഴിയും, അതുവഴി Q(w) = 1 ആണോ അല്ലയോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും.


ഇപ്പോൾ NANDSAT NP-ഹാർഡ് ആണെന്ന് നമ്മൾ തെളിയിക്കുന്നു.


The chapter provides an overview of probability theory.

സംഭവ്യത സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു വിവരണം ഈ അധ്യായത്തിൽ നൽകുന്നു.


We will review some basic notions in probability theory.

സംഭവ്യത സിദ്ധാന്തത്തിലെ ചില അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ നമ്മൾ അവലോകനം ചെയ്യും.


This is not meant to replace a course on probability theory.

സംഭവ്യത സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു കോഴ്സിന് പകരമായി ഇത് ഉദ്ദേശിച്ചിട്ടുള്ളതല്ല.


The sample space almost always consists of the set of all possible outcomes.

സാമ്പിൾ സ്പേസ് എപ്പോഴും സാധ്യമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും കൂട്ടമായിരിക്കും.


An event is simply a subset of the sample space.

ഒരു സംഭവം എന്നത് സാമ്പിൾ സ്പേസിന്റെ ഒരു ഉപഗണമാണ്.


A random variable assigns a number or statistic to an outcome.

ഒരു ക്രമരഹിത വേരിയബിൾ ഒരു ഫലത്തിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയോ സ്ഥിതിയോ നൽകുന്നു.


Independence and correlation are important concepts.

സ്വതന്ത്രതയും പരസ്പരബന്ധവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങളാണ്.


The human brain has not evolved to do probabilistic reasoning very well.

സംഭവ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ന്യായവാദം നന്നായി ചെയ്യാൻ മനുഷ്യ മസ്തിഷ്കം പരിണമിച്ചിട്ടില്ല.


We will be mostly interested in the setting of tossing n random coins.

n ക്രമരഹിത നാണയങ്ങൾ എറിയുന്നതിലാണ് നമുക്ക് പ്രധാനമായും താൽപ്പര്യമുണ്ടാകുക.


Each particular outcome is obtained with probability 2^-n.

ഓരോ പ്രത്യേക ഫലവും 2^-n എന്ന സാധ്യതയോടെയാണ് ലഭിക്കുന്നത്.


The probability of A, denoted by Pr[A], is the probability that an x chosen uniformly at random will be contained in A.

Pr[A] എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന A യുടെ സാധ്യത, ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത x, A-യിൽ ഉൾപ്പെടുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയാണ്.


For example, the probability that x has an even number of ones is Pr[A].

ഉദാഹരണത്തിന്, x-ന് ഇരട്ട സംഖ്യയിലുള്ള ഒന്നുകൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത Pr[A] ആണ്.


We can also use the intersection and union operators.

നമുക്ക് ഇന്റർസെക്ഷൻ, യൂണിയൻ ഓപ്പറേറ്റർമാരെയും ഉപയോഗിക്കാം.


If A is an event, then A corresponds to the event that A does not happen.

A ഒരു സംഭവമാണെങ്കിൽ, A സംഭവിക്കാത്ത സംഭവവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.


The human mind seems not to have evolved for probabilistic reasoning.

സംഭവ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ന്യായവാദത്തിനായി മനുഷ്യ മനസ്സ് പരിണമിച്ചതായി തോന്നുന്നില്ല.


Do I understand what is the sample space that this probability is taken over?

ഈ സാധ്യത എന്തിനെക്കുറിച്ചാണോ എടുക്കുന്നത്, ആ സാമ്പിൾ സ്പേസിനെക്കുറിച്ച് എനിക്ക് അറിയാമോ?


A random variable is a function that maps every outcome to a real number.

ഒരു ക്രമരഹിത വേരിയബിൾ എന്നത് എല്ലാ ഫലങ്ങളെയും ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിലേക്ക് മാപ്പ് ചെയ്യുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്.


The expectation of a random variable is the average value.

ഒരു ക്രമരഹിത വേരിയബിളിന്റെ പ്രതീക്ഷ എന്നത് ശരാശരി മൂല്യമാണ്.


One basic and very useful property of the expectation is that it is linear.

പ്രതീക്ഷയുടെ അടിസ്ഥാനപരവും വളരെ ഉപയോഗപ്രദവുമായ ഒരു സ്വത്താണ് ഇത് രേഖീയമാണ് എന്നത്.


If A and B are events, and A happens with non-zero probability then we define the probability that B happens conditioned on A to be Pr[B|A].

A, B എന്നിവ സംഭവങ്ങളാണെങ്കിൽ, A പൂജ്യമല്ലാത്ത സാധ്യതയോടെ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, A-യെ ആശ്രയിച്ച് B സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ Pr[B|A] എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു.


NAND-CIRC programs are equivalent to Boolean circuits.

NAND-CIRC പ്രോഗ്രാമുകൾ ബൂളിയൻ സർക്യൂട്ടുകൾക്ക് തുല്യമാണ്.


You can skip ahead to Section 16.4.1 to see a particularly compelling application of this.

ഇതിൻ്റെ പ്രത്യേകിച്ചുമുള്ള ഒരു ആപ്ലിക്കേഷൻ കാണുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് 16.4.1-ാം വകുപ്പിലേക്ക് കടന്നുപോകാാം.


Another example of a statement involving levels of quantifiers would be to check, given a chess position.

ക്വാണ്ടിഫയറുകളുടെ ലെവലുകൾ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രസ്താവനയുടെ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം ഒരു ചെസ്സ് സ്ഥാനത്ത് നൽകിയിരിക്കുന്നത് പരിശോധിക്കുക എന്നതാണ്.


For example is a = 3 we would want to check if given the board position, there exists a move for White.

ഉദാഹരണത്തിന് a = 3 ആകുമ്പോൾ, ബോർഡ് സ്ഥാനത്ത് വൈറ്റിന് നീങ്ങാൻ കഴിയുമോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.


It turns out that if P=NP then we can solve these kinds of problems as well.

P=NP ആണെങ്കിൽ, ഇതുപോലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് വ്യക്തമാക്കുന്നു.


If P=NP then for every a ∈ ℕ, polynomial p ∶ ℕ → ℕ and polynomial-time algorithm V, there is a polynomial-time algorithm SOLVE V,a.

P=NP ആണെങ്കിൽ, എല്ലാ a ∈ ℕ നും, p ∶ ℕ → ℕ എന്ന പോളിനോമിയലും, V എന്ന പോളിനോമിയൽ സമയ അൽഗോരിതവും ഉണ്ടാകും, അവിടെ SOLVE V,a എന്ന പോളിനോമിയൽ സമയ അൽഗോരിതം ഉണ്ട്.


For the ease of notation, we assume that all the strings we quantify over have the same length.

സൂചകങ്ങളുടെ എളുപ്പത്തിനായി, നമ്മൾ അളക്കുന്ന എല്ലാ സ്ട്രിംഗുകളും ഒരേ നീളമുള്ളതാണെന്ന് കരുതുക.


To understand the idea behind the proof, consider the special case where we want to decide.

പ്രൂഫിന് പിന്നിലെ ആശയം മനസ്സിലാക്കാൻ, നമ്മൾ തീരുമാനിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന പ്രത്യേക കേസ് പരിഗണിക്കുക.


Consider the function F such that F(xy) = 1 if there exists z ∈ {0,1}n such that V(xyz) = 1.

V(xyz) = 1 ആകുന്ന z ∈ {0,1}n നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ F(xy) = 1 ആകുന്ന F എന്ന ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക.


Since V runs in polynomial-time F ∈ NP and hence if P=NP, then there is an algorithm V′.

V പോളിനോമിയൽ സമയത്ത് പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനാൽ F ∈ NP ആണ്, അതിനാൽ P=NP ആണെങ്കിൽ, ഒരു V′ അൽഗോരിതം ഉണ്ട്.


Now we can see that the original statement we consider is true if and only if for every y ∈ {0,1}n, V′(xy) = 1.

നമ്മൾ പരിഗണിക്കുന്ന യഥാർത്ഥ പ്രസ്താവന, എല്ലാ y ∈ {0,1}n നും, V′(xy) = 1 ആണെങ്കിൽ മാത്രം ശരിയാണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും.


ഇൻഡക്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നു.


We assume that there is a polynomial-time algorithm SOLVE V,a−1 that can solve the problem.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു പോളിനോമിയൽ സമയ അൽഗോരിതം SOLVE V,a−1 ഉണ്ടെന്ന് നമ്മൾ കരുതുന്നു.


For a = 1, SOLVE V,a−1(x) = 1 iff V(x) = 1 which is a polynomial-time computation since V runs in polynomial time.

a = 1 ആകുമ്പോൾ, V പോളിനോമിയൽ സമയത്ത് പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനാൽ SOLVE V,a−1(x) = 1 iff V(x) = 1 എന്നത് ഒരു പോളിനോമിയൽ സമയ കമ്പ്യൂട്ടേഷനാണ്.


For every x, y0, define the statement φ x,y0 to be the following.

എല്ലാ x, y0 എന്നിവയ്‌ക്കും, φ x,y0 എന്ന പ്രസ്താവന താഴെ പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിക്കുക.


By the definition of SOLVE V,a, for every x ∈ {0,1}n, our goal is that SOLVE V,a(x) = 1 if and only if there exists y0 ∈ {0,1}m such that φ x,y0 is true.

SOLVE V,a യുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, എല്ലാ x ∈ {0,1}n നും, φ x,y0 ശരിയാണെങ്കിൽ മാത്രം SOLVE V,a(x) = 1 ആവണം എന്നതാണ് നമ്മുടെ ലക്ഷ്യം.


The negation of φ x,y0 is the statement.

φ x,y0 യുടെ നെഗേഷൻ എന്നത് ഈ പ്രസ്താവനയാണ്.


The crucial observation is that φ x,y0 is exactly a statement of the form we consider with a − 1 quantifiers instead of a.

a ക്ക് പകരം a − 1 ക്വാണ്ടിഫയറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ പരിഗണിക്കുന്ന രൂപത്തിലുള്ള ഒരു പ്രസ്താവനയാണ് φ x,y0 എന്നത്.


If we let S be the algorithm that on input x, y0 outputs 1 − S(xy0) then we see that S outputs 1 if and only if φ x,y0 is true.

x, y0 എന്നിവ ഇൻപുട്ടായി സ്വീകരിച്ച് 1 − S(xy0) ഔട്ട്‌പുട്ട് ചെയ്യുന്ന ഒരു അൽഗോരിതമാണ് S എങ്കിൽ, S 1 ഔട്ട്‌പുട്ട് ചെയ്യുന്നത് φ x,y0 ശരിയാണെങ്കിൽ മാത്രമാണെന്ന് നമുക്ക് കാണാം.


Hence we can rephrase the original statement as follows.

അതുകൊണ്ട്, യഥാർത്ഥ പ്രസ്താവനയെ നമുക്ക് ഇങ്ങനെ പുനർനിർവചിക്കാം.


At the end of the day, the results of the experiment were inconclusive.

അവസാനം, പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലങ്ങൾ വ്യക്തമല്ലാത്തതായിരുന്നു.


The lemma explains the independence of random variables.

ഈ ലഘു സിദ്ധാന്തം, ക്രമരഹിതമായ ചരങ്ങളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തെക്കുറിച്ച് വിശദീകരിക്കുന്നു.


The proof uses string concatenation to simplify the equation.

സമവാക്യം ലളിതമാക്കാൻ, പ്രൂഫ് സ്ട്രിംഗ് കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


If X and Y are independent, then the expectation of XY is the product of their expectations.

X, Y എന്നിവ സ്വതന്ത്രമാണെങ്കിൽ, XY-യുടെ പ്രതീക്ഷ അവരുടെ പ്രതീക്ഷകളുടെ ഗുണനഫലമാണ്.


The first equality follows from the independence of X and Y.

ആദ്യ സമത്വം X, Y എന്നിവയുടെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.


Another useful fact is that if X and Y are independent random variables, then so are F(X) and G(Y).

X, Y എന്നിവ സ്വതന്ത്ര ക്രമരഹിത ചരങ്ങളാണെങ്കിൽ, F(X), G(Y) എന്നിവയും സ്വതന്ത്രമായിരിക്കും എന്നത് മറ്റൊരു പ്രധാന വസ്തുതയാണ്.


We can extend the notions of independence to more than two random variables.

രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ക്രമരഹിത ചരങ്ങളിലേക്ക്, സ്വാതന്ത്ര്യത്തിന്റെ ആശയങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.


The random variables are mutually independent.

ക്രമരഹിത ചരങ്ങൾ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമാണ്.


If the average grade in an exam is 87 points, at least one student got a grade 87 or more.

ഒരു പരീക്ഷയിൽ ശരാശരി മാർക്ക് 87 ആണെങ്കിൽ, കുറഞ്ഞത് ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയെങ്കിലും 87 അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ കൂടുതൽ മാർക്ക് നേടിയിരിക്കും.


Markov's inequality is a very natural statement.

മാർക്കോവിന്റെ സമത്വം വളരെ സ്വാഭാവികമായ ഒരു പ്രസ്താവനയാണ്.


The averaging principle is surprisingly useful.

ശരാശരി തത്വം അതിശയിപ്പിക്കുന്നവിധം ഉപകാരപ്രദമാണ്.


Chebyshev’s inequality can be thought of as saying that X is concentrated if it has a small standard deviation.

ചെബിഷേവിന്റെ സമത്വം അനുസരിച്ച്, X-ന് ചെറിയ സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനമുണ്ടെങ്കിൽ അത് കേന്ദ്രീകൃതമാണെന്ന് പറയാം.


We define the variance of X as Var[X] = E[(X − μ)2].

X-ന്റെ വ്യതിയാനം Var[X] = E[(X − μ)2] എന്ന് നിർവചിക്കാം.


Using Chebyshev’s inequality, we can control the probability that a random variable is too many standard deviations away from its expectation.

ചെബിഷേവിന്റെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ക്രമരഹിത ചരം അതിന്റെ പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് വളരെ അധികം സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനത്തിൽ അകന്നുപോകുമ്പോൾ ഉണ്ടാകാൻ സാധ്യതയുള്ളത് നിയന്ത്രിക്കാൻ കഴിയും.


The Chernoff bound shows a connection between independence and concentration.

ചെർനോഫ് ബന്ധനം, സ്വാതന്ത്ര്യവും കേന്ദ്രീകരണവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കാണിക്കുന്നു.


The distribution would be roughly the normal or Gaussian distribution.

വിതരണം ഏകദേശം സാധാരണ അല്ലെങ്കിൽ ഗാഷ്യൻ വിതരണമായിരിക്കും.


This distribution has the property of being very concentrated.

ഈ വിതരണത്തിന് വളരെ കേന്ദ്രീകൃതമായിരിക്കുക എന്ന പ്രത്യേകതയുണ്ട്.


ചെർനോഫ് ബന്ധനം വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്.


Consider the task of supervised learning.

മേൽനോട്ടത്തിലുള്ള പഠനത്തിന്റെ ചുമതല പരിഗണിക്കുക.


The goal is to find a classifier that will minimize the test error.

പരിശോധനാ പിശക് കുറയ്ക്കുന്ന ഒരു വർഗ്ഗീകരണിയെ കണ്ടെത്തുകയാണ് ലക്ഷ്യം.


ഇന്ന് കാലാവസ്ഥ സുഖകരമാണ്.


I am going to the market to buy some vegetables.

ഞാൻ കുറച്ച് പച്ചക്കറികൾ വാങ്ങാൻ മാർക്കറ്റിൽ പോകുന്നു.


അല്പം ഉപ്പ് തരുമോ?


The company announced a new product launch.

കമ്പനി ഒരു പുതിയ ഉൽപ്പന്നം പുറത്തിറക്കുന്നതായി പ്രഖ്യാപിച്ചു.


The research team is working on a new algorithm.

ഗവേഷണ സംഘം ഒരു പുതിയ അൽഗോരിതത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.


അദ്ദേഹം വളരെ കഴിവുള്ള ഒരു സംഗീതജ്ഞനാണ്.


അടുത്ത ആഴ്ച യോഗം നടക്കും.


She enjoys reading novels in her free time.

അവൾ ഒഴിവുസമയങ്ങളിൽ നോവലുകൾ വായിക്കാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു.


The government is implementing new policies.

സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കുകയാണ്.


The data analysis revealed some interesting insights.

ഡാറ്റാ വിശകലനം ചില രസകരമായ ഉൾക്കാഴ്ചകൾ വെളിപ്പെടുത്തി.


The complex equation was difficult to solve.

സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടായിരുന്നു.


വെല്ലുവിളികൾ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അവർ വിജയിച്ചു.


The economic forecast predicts a recession.

സാമ്പത്തിക പ്രവചനം ഒരു മാന്ദ്യം പ്രവചിക്കുന്നു.


The algorithm's efficiency was significantly improved.

അൽഗോരിതത്തിന്റെ കാര്യക്ഷമത ഗണ്യമായി മെച്ചപ്പെടുത്തി.


The philosophical debate was quite stimulating.

തത്വചിന്താപരമായ സംവാദം വളരെ പ്രചോദനാത്മകമായിരുന്നു.


The implications of the discovery are far-reaching.

കണ്ടുപിടുത്തത്തിന്റെ സൂചനകൾ വളരെ ദൂരവ്യാപകമാണ്.


The company's strategic plan is under review.

കമ്പനിയുടെ തന്ത്രപരമായ പദ്ധതി പുനഃപരിശോധനയിലാണ്.


The intricate details of the design were impressive.

രൂപകൽപ്പനയുടെ സങ്കീർണ്ണമായ വിശദാംശങ്ങൾ ശ്രദ്ധേയമായിരുന്നു.


The political landscape is constantly evolving.

രാഷ്ട്രീയ രംഗം തുടർച്ചയായി മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നു.


The scientific community is excited about the new findings.

പുതിയ കണ്ടെത്തലുകളെക്കുറിച്ച് ശാസ്ത്ര ലോകം ആവേശത്തിലാണ്.


The algorithm is designed to solve complex problems efficiently.

സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ കാര്യക്ഷമമായി പരിഹരിക്കാൻ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തതാണ് ഈ അൽഗോരിതം.


Randomized algorithms often provide elegant solutions.

ക്രമരഹിതമായ അൽഗോരിതങ്ങൾ പലപ്പോഴും മികച്ച പരിഹാരങ്ങൾ നൽകുന്നു.


In early computer systems, randomness was seen as a hindrance.

ആദ്യകാല കമ്പ്യൂട്ടർ സംവിധാനങ്ങളിൽ, ക്രമമില്ലായ്മ ഒരു തടസ്സമായി കണക്കാക്കപ്പെട്ടിരുന്നു.


John von Neumann was a pioneer in computer science.

കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലെ ഒരു പ്രധാന വ്യക്തിത്വമായിരുന്നു ജോൺ വോൺ ന്യൂമാൻ.


The Monte Carlo method uses random sampling to obtain numerical results.

സംഖ്യാപരമായ ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന് മോൺടെ കാർലോ രീതി ക്രമരഹിതമായ സാമ്പിളിംഗ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.


We will see examples of randomized algorithms in this chapter.

ഈ അധ്യായത്തിൽ ക്രമരഹിതമായ അൽഗോരിതങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണാം.


പരമാവധി കട്ട് പ്രശ്നം NP-ഹാർഡ് ആണ്.


The algorithm outputs a cut that cuts at least half of the edges.

അൽഗോരിതം കുറഞ്ഞത് പകുതി എഡ്‌ജുകളെങ്കിലും മുറിക്കുന്ന ഒരു കട്ട് നൽകുന്നു.


ഓരോ എഡ്‌ജും 1/2 സാധ്യതയിൽ മുറിക്കപ്പെടുന്നു.


The expected number of cut edges is m/2.

മുറിച്ച എഡ്‌ജുകളുടെ എണ്ണം m/2 ആയിരിക്കും.


Randomized algorithms work in the worst case.

ഏറ്റവും മോശം സാഹചര്യത്തിലും ക്രമരഹിതമായ അൽഗോരിതങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കും.


The algorithm is guaranteed to cut half of the edges in expectation.

പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന രീതിയിൽ, അൽഗോരിതം പകുതി എഡ്‌ജുകൾ മുറിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പുനൽകുന്നു.


We can amplify the success of randomized algorithms.

ക്രമരഹിതമായ അൽഗോരിതങ്ങളുടെ വിജയം വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.


Repeating the process several times can improve the results.

പ്രക്രിയ പലതവണ ആവർത്തിക്കുന്നത് ഫലങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തും.


The probability of success can be amplified.

വിജയസാധ്യത വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.


The algorithm succeeds at least some of the time.

അൽഗോരിതം കുറഞ്ഞത് ചില സമയത്തെങ്കിലും വിജയിക്കുന്നു.


We'd like to succeed almost all of the time.

ഏതാണ്ട് എല്ലാ സമയത്തും വിജയിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.


The approach is to repeat the algorithm many times.

അനേകം തവണ അൽഗോരിതം ആവർത്തിക്കുക എന്നതാണ് സമീപനം.


The bipartite matching problem is a canonical optimization problem.

ബൈപാർട്ടൈറ്റ് മാച്ചിംഗ് പ്രശ്നം ഒരു സാധാരണ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നമാണ്.


The goal is to determine whether there is a perfect matching.

ഒരു മികച്ച പൊരുത്തമുണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക എന്നതാണ് ലക്ഷ്യം.


The algorithm's efficiency is a key factor in its widespread use.

അൽഗോരിതത്തിന്റെ കാര്യക്ഷമത അതിന്റെ വ്യാപകമായ ഉപയോഗത്തിന്റെ പ്രധാന ഘടകമാണ്.


She enjoys reading novels and watching movies in her free time.

അവൾ ഒഴിവുസമയങ്ങളിൽ നോവലുകൾ വായിക്കാനും സിനിമകൾ കാണാനും ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു.


The company announced a new product launch next month.

അടുത്ത മാസം പുതിയ ഉൽപ്പന്നം പുറത്തിറക്കുമെന്ന് കമ്പനി അറിയിച്ചു.


Despite the challenges, they persevered and achieved their goals.

പ്രതിസന്ധികൾ ഉണ്ടായിട്ടും, അവർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തിച്ചേർന്നു.


The research paper explores the impact of climate change on coastal regions.

കാലാവസ്ഥാ വ്യതിയാനം തീരദേശ മേഖലകളിൽ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നു എന്ന് ഈ ഗവേഷണ പ്രബന്ധം പരിശോധിക്കുന്നു.


Could you please pass me the salt and pepper?

അല്പം ഉപ്പും, കുരുമുളകും എനിക്ക് തരുമോ?


The economic forecast predicts a rise in inflation.

സാമ്പത്തിക പ്രവചനം പണപ്പെരുപ്പം ഉയരുമെന്ന് പ്രവചിക്കുന്നു.


He is a highly skilled software engineer with years of experience.

അദ്ദേഹം വർഷങ്ങളുടെ പരിചയമുള്ള, വളരെ കഴിവുള്ള ഒരു സോഫ്റ്റ്‌വെയർ എഞ്ചിനീയറാണ്.


The museum houses a vast collection of ancient artifacts.

പുരാതന വസ്തുക്കളുടെ വലിയ ശേഖരം ഈ മ്യൂസിയത്തിലുണ്ട്.


The government implemented new policies to boost the economy.

സമ്പദ്‌വ്യവസ്ഥയെ ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനായി സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കി.


The complex calculations required advanced mathematical knowledge.

സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അറിവ് ആവശ്യമാണ്.


She is fluent in several languages, including French and Spanish.

അവൾക്ക് ഫ്രഞ്ച്, സ്പാനിഷ് ഉൾപ്പെടെ നിരവധി ഭാഷകളിൽ പ്രാവീണ്യമുണ്ട്.


The project's success depended on effective teamwork and communication.

പദ്ധതിയുടെ വിജയം, മികച്ച ടീം വർക്കും ആശയവിനിമയവും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.


The scientist conducted experiments to test the hypothesis.

ശാസ്ത്രജ്ഞൻ സിദ്ധാന്തം പരീക്ഷിക്കുന്നതിനായി പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തി.


The artist's paintings are known for their vibrant colors and unique style.

ചിത്രകാരന്റെ ചിത്രങ്ങൾ, വർണ്ണാഭമായ നിറങ്ങൾ കൊണ്ടും, അതുല്യമായ ശൈലി കൊണ്ടും പ്രസിദ്ധമാണ്.


The company is committed to sustainable practices and environmental protection.

സ്ഥിരതയുള്ള രീതികളും, പരിസ്ഥിതി സംരക്ഷണവും ഉറപ്പുവരുത്തുന്നതിൽ കമ്പനി പ്രതിജ്ഞാബദ്ധമാണ്.


The negotiations between the two countries are ongoing.

രണ്ട് രാജ്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ചർച്ചകൾ ഇപ്പോഴും നടക്കുകയാണ്.


The ancient civilization left behind a rich cultural heritage.

പുരാതന നാഗരികത, സമ്പന്നമായ ഒരു സാംസ്കാരിക പൈതൃകം അവശേഷിപ്പിച്ചു.


The new technology has the potential to revolutionize the industry.

പുതിയ സാങ്കേതികവിദ്യക്ക് വ്യവസായത്തിൽ വിപ്ലവം സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും.


Despite the challenges, the team remained optimistic and determined to succeed.

പ്രതിസന്ധികൾക്കിടയിലും, ടീം ശുഭാപ്തിവിശ്വാസം നിലനിർത്തുകയും വിജയം നേടാൻ ദൃഢനിശ്ചയം എടുക്കുകയും ചെയ്തു.


It's not hard to see that if F is in BPP then it can be computed in exponential time.

F BPP-യിൽ ആണെങ്കിൽ, അത് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമയത്തിനുള്ളിൽ കണക്കാക്കാമെന്ന് കാണുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.


The proof readily follows by enumerating over all the (exponentially many) choices for the random coins.

റാൻഡം നാണയങ്ങൾക്കായുള്ള എല്ലാ (എക്സ്പോണൻഷ്യൽ) ചോയിസുകളും എണ്ണുന്നതിലൂടെ ഈ തെളിവ് എളുപ്പത്തിൽ പിന്തുടരുന്നു.


We omit the formal proof, as doing it by yourself is an excellent way to get comfortable with Definition 20.1.

നിങ്ങൾ സ്വയം ചെയ്യുന്നത്, നിർവചനം 20.1-ൽ സുഖകരമാകുന്നതിനുള്ള മികച്ച മാർഗ്ഗമായതിനാൽ, ഔപചാരികമായ തെളിവ് ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.


A priori it is not at all clear that the same holds for a function in BPP, but this does turn out to be the case.

BPP-യിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇത് സാധുവാണോ എന്ന് മുൻകൂട്ടി വ്യക്തമല്ല, എന്നാൽ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു.


In the tables above, the columns correspond to different inputs and the rows to different choices of the random tape.

മുകളിലുള്ള പട്ടികകളിൽ, കോളങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത ഇൻപുട്ടുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ വരികൾ random ടേപ്പിൻ്റെ വ്യത്യസ്ത ചോയിസുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.


The standard BPP guarantee corresponds to the middle figure, where for every input x, at least two thirds of the choices r for a random tape will result in A computing the correct value.

ഒരു സാധാരണ BPP ഗ്യാരണ്ടി, മധ്യഭാഗത്തുള്ള രൂപവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അവിടെ ഓരോ ഇൻപുട്ട് x-നും, ഒരു random ടേപ്പിനായുള്ള r-ൻ്റെ കുറഞ്ഞത് മൂന്നിൽ രണ്ട് ചോയിസുകളെങ്കിലും A ശരിയായ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിന് കാരണമാകും.


That is, every column is colored green in at least two thirds of its coordinates.

അതായത്, ഓരോ കോളവും അതിൻ്റെ കുറഞ്ഞത് മൂന്നിൽ രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകളെങ്കിലും പച്ച നിറത്തിലാണ്.


In the left figure we have an “average case” guarantee where the algorithm is only guaranteed to output the correct answer with probability two thirds over a random input.

ഇടതുവശത്തുള്ള ചിത്രത്തിൽ, ഒരു random ഇൻപുട്ടിൽ ശരിയായ ഉത്തരം നൽകുമെന്ന് അൽഗോരിതം ഉറപ്പുനൽകുന്നത് രണ്ട്-മൂന്നിൽ സാധ്യതയിലാണ്.


The right figure corresponds to the “offline BPP” case, with probability at least two thirds over the random choice r, r will be good for every input.

വലതുവശത്തുള്ള ചിത്രം “ഓഫ്‌ലൈൻ BPP” കേസിനോട് യോജിക്കുന്നു, random ചോയിസ് r-ൽ കുറഞ്ഞത് മൂന്നിൽ രണ്ട് സാധ്യതയോടെ, r എല്ലാ ഇൻപുട്ടുകൾക്കും നല്ലതായിരിക്കും.


That is, at least two thirds of the rows are all green.

അതായത്, വരികളിൽ മൂന്നിൽ രണ്ടും പച്ച നിറത്തിലാണ്.


Theorem 20.8 (BPP ⊆ P / poly) is proven by amplifying the success of a BPP algorithm until we have the “offline BPP” guarantee, and then hardwiring the choice of the randomness r to obtain a non-uniform deterministic algorithm.

തിയറം 20.8 (BPP ⊆ P / poly) ഒരു BPP അൽഗോരിതത്തിന്റെ വിജയം വർദ്ധിപ്പിച്ച് “ഓഫ്‌ലൈൻ BPP” ഗ്യാരണ്ടി ലഭിക്കുന്നതുവരെയും, തുടർന്ന് നോൺ-യൂണിഫോം ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് അൽഗോരിതം ലഭിക്കുന്നതിന് random r-ൻ്റെ ചോയിസ് ഹാർഡ്‌വയർ ചെയ്യുന്നതിലൂടെയും തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.


That is, for every F ∈ BPP, there exist some a, b ∈ ℕ such that for every n > 0, F ↾ n ∈ SIZE(a n b) where F ↾ n is the restriction of F to inputs in {0,1} n.

അതായത്, എല്ലാ F ∈ BPP-ക്കും, ചില a, b ∈ ℕ എന്നിവ നിലവിലുണ്ട്, അതുപോലെ എല്ലാ n > 0-നും, F ↾ n ∈ SIZE(a n b) അവിടെ F ↾ n എന്നത് {0,1} n-ലെ ഇൻപുട്ടുകളിലേക്കുള്ള F-ൻ്റെ നിയന്ത്രണമാണ്.


The idea behind the proof is that we can first amplify by repetition the probability of success from 2/3 to 1 − 0.1 ⋅ 2 − n.

തെളിയിക്കുന്നതിന് പിന്നിലെ ആശയം, നമുക്ക് ആദ്യം വിജയസാധ്യത 2/3-ൽ നിന്ന് 1 − 0.1 ⋅ 2 − n ആയി ആവർത്തിച്ച് വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും എന്നതാണ്.


This will allow us to show that for every n ∈ ℕ there exists a single fixed choice of “favorable coins” which is a string r of length polynomial in n such that if r is used for the randomness then we output the right answer on all of the possible 2 n inputs.

എല്ലാ n ∈ ℕ-നും “അനുകൂലമായ നാണയങ്ങൾ” എന്ന ഒരൊറ്റ നിശ്ചിത ചോയിസ് നിലവിലുണ്ടെന്ന് ഇത് നമ്മെ കാണിക്കും, ഇത് n-ൽ ഒരു ബഹുപദമായി വരുന്ന r എന്ന സ്ട്രിംഗാണ്, അതിനാൽ r random-നുപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സാധ്യമായ എല്ലാ 2 n ഇൻപുട്ടുകളിലും ശരിയായ ഉത്തരം നൽകും.


We can then use the standard “unravelling the loop” technique to transform an RNAND-TM program to an RNAND-CIRC program, and “hardwire” the favorable choice of random coins to transform the RNAND-CIRC program into a plain old deterministic NAND-CIRC program.

തുടർന്ന്, RNAND-TM പ്രോഗ്രാമിനെ RNAND-CIRC പ്രോഗ്രാമാക്കി മാറ്റാൻ നമുക്ക് സാധാരണ “ലൂപ്പ് അൺറാവെലിംഗ്” ടെക്നിക് ഉപയോഗിക്കാം, കൂടാതെ RNAND-CIRC പ്രോഗ്രാമിനെ ഒരു സാധാരണ ഡിറ്റർമിനിസ്റ്റിക് NAND-CIRC പ്രോഗ്രാമാക്കി മാറ്റാൻ random നാണയങ്ങളുടെ അനുകൂല ചോയിസ് “ഹാർഡ്‌വയർ” ചെയ്യാം.


F ∈ BPP എന്ന് കരുതുക.


Let P be a polynomial-time RNAND-TM program that computes F as per Definition 20.1.

നിർവചനം 20.1 അനുസരിച്ച് F കണക്കാക്കുന്ന ഒരു പോളിനോമിയൽ-ടൈം RNAND-TM പ്രോഗ്രാമാണ് P.


Using Theorem 20.5, we can amplify the success probability of P to obtain an RNAND-TM program P' that is at most a factor of O(n) slower (and hence still polynomial time) such that for every x ∈ {0,1} n Pr r∼{0,1} m [P' (x; r) = F(x)] ≥ 1 − 0.1 ⋅ 2 − n, where m is the number of coin tosses that P' uses on inputs of length n.

തിയറം 20.5 ഉപയോഗിച്ച്, P-യുടെ വിജയസാധ്യത വർദ്ധിപ്പിച്ച് RNAND-TM പ്രോഗ്രാം P' നേടാനാകും, ഇത് O(n) ഘടകം വരെ കുറഞ്ഞ വേഗതയുള്ളതും (അതുകൊണ്ട് ഇപ്പോഴും പോളിനോമിയൽ സമയം) x ∈ {0,1} n Pr r∼{0,1} m [P' (x; r) = F(x)] ≥ 1 − 0.1 ⋅ 2 − n, m എന്നത് n എന്ന നീളമുള്ള ഇൻപുട്ടുകളിൽ P' ഉപയോഗിക്കുന്ന നാണയങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്.


We use the notation P' (x; r) to denote the execution of P' on input x and when the result of the coin tosses corresponds to the string r.

P' (x; r) എന്ന notatition ഉപയോഗിച്ച് ഇൻപുട്ട് x-ൽ P'-ൻ്റെ എക്സിക്യൂഷനും, കോയിൻ ടോസുകളുടെ ഫലം സ്ട്രിംഗ് r-നുമായി പൊരുത്തപ്പെടുമ്പോഴും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.


For every x ∈ {0,1} n, define the “bad” event B x to hold if P' (x) ≠ F(x), where the sample space for this event consists of the coins of P'.

എല്ലാ x ∈ {0,1} n-നും, P' (x) ≠ F(x) ആണെങ്കിൽ “മോശം” ഇവന്റ് B x നിലനിർത്തുക, ഈ ഇവന്റിനായുള്ള സാമ്പിൾ സ്പേസ് P'-ൻ്റെ നാണയങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


The algorithm is used to encrypt sensitive data.

സെൻസിറ്റീവ് ഡാറ്റ എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്യാൻ ഈ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.


Alice and Bob need to establish a secure communication channel.

ആലീസിനും ബോബിനും സുരക്ഷിതമായ ഒരു ആശയവിനിമയ ചാനൽ സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്.


Computational hardness is a necessary condition for cryptographic applications.

ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫിക് ആപ്ലിക്കേഷനുകൾക്ക് കംപ്യൂട്ടേഷണൽ കാഠിന്യം അത്യാവശ്യമാണ്.


The key is almost exponentially smaller than the plaintext.

കീ, പ്ലെയിൻ ടെക്സ്റ്റിനേക്കാൾ ഏകദേശം എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ആയി ചെറുതാണ്.


Stream ciphers are widely used in practice.

സ്ട്രീം സൈഫറുകൾ പ്രായോഗികമായി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു.


The optimal PRG conjecture implies the existence of pseudorandom generators.

ഓപ്റ്റിമൽ PRG അനുമാനം, സൂഡോറാൻഡം ജനറേറ്ററുകളുടെ നിലനിൽപ്പ് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.


The crypto PRG conjecture is weaker than the optimal PRG conjecture.

ക്രിപ്റ്റോ PRG അനുമാനം, ഒപ്റ്റിമൽ PRG അനുമാനത്തേക്കാൾ ദുർബലമാണ്.


Suppose that the crypto PRG conjecture is true.

ക്രിപ്റ്റോ PRG അനുമാനം ശരിയാണെന്ന് കരുതുക.


പ്രൂഫ് ചിത്രം 21.12-ൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.


We simply take the one-time pad on L bit plaintexts.

L ബിറ്റ് പ്ലെയിൻ ടെക്സ്റ്റുകളിൽ ഞങ്ങൾ ഒറ്റത്തവണ പാഡ് എടുക്കുന്നു.


An adversary that breaks the derandomized one-time pad can be used to distinguish.

ഡിറാൻഡമൈസ്ഡ് വൺ-ടൈം പാഡ് തകർക്കുന്ന ഒരു എതിരാളിക്ക് വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും.


The distribution r ⊕ x and r ⊕ x' are identical.

വിതരണം r ⊕ x, r ⊕ x' എന്നിവ സമാനമാണ്.


The triangle inequality is used in the proof.

ത്രികോണ നിയമം ഈ തെളിവില് ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നു.


Stream ciphers and block ciphers are widely used.

സ്ട്രീം സൈഫറുകളും ബ്ലോക്ക് സൈഫറുകളും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു.


If P=NP then there is no computationally secret encryption scheme.

P=NP ആണെങ്കിൽ, കംപ്യൂട്ടേഷണൽ രഹസ്യ എൻക്രിപ്ഷൻ സ്കീം ഉണ്ടാകില്ല.


The plaintext is even a little bit larger than the key.

പ്ലെയിൻ ടെക്സ്റ്റ് കീയെക്കാൾ അൽപ്പം വലുതാണ്.


We focus on showing only the "furthermore" part.

കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ നൽകുന്ന ഭാഗത്ത് മാത്രമാണ് നമ്മൾ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നത്.


For every x ∈ {0,1}L(n) we define S_x to be the set of all valid encryptions of x.

എല്ലാ x ∈ {0,1}L(n)-നും, S_x എന്നത് x-ൻ്റെ സാധുവായ എല്ലാ എൻക്രിപ്ഷനുകളുടെയും കൂട്ടമായി ഞങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്നു.


The averaging principle is a useful fact.

ശരാശരി തത്വം വളരെ ഉപകാരപ്രദമായ ഒരു വസ്തുതയാണ്.


Public key encryption consists of a triple of algorithms.

പബ്ലിക് കീ എൻക്രിപ്ഷൻ, അൽഗോരിതങ്ങളുടെ ഒരു ത്രയത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.


The map 푦 ↦ 퐷 푘 (푦) inverts the map 푥 ↦ 퐸 푘 (푥).

മാപ്പ് 푦 ↦ 퐷 푘 (푦), മാപ്പ് 푥 ↦ 퐸 푘 (푥) നെ വിപരീതമാക്കുന്നു.


Defining security is not a trivial matter.

സുരക്ഷ നിർവചിക്കുന്നത് ലളിതമായ കാര്യമല്ല.


The system must not require secrecy and can be stolen by the enemy without causing trouble.

രഹസ്യസ്വഭാവം ആവശ്യമില്ലാത്തതും ശത്രുവിന് പ്രശ്നങ്ങളില്ലാതെ മോഷ്ടിക്കാൻ കഴിയുന്നതുമായിരിക്കണം ഈ സംവിധാനം.


A cryptosystem should be secure even if everything about the system, except the key, is public knowledge.

കീ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ വിവരങ്ങളും പരസ്യമാണെങ്കിൽ പോലും ഒരു ക്രിപ്റ്റോസിസ്റ്റം സുരക്ഷിതമായിരിക്കണം.


ക്രമമില്ലാതെ രഹസ്യസ്വഭാവം ഉണ്ടാകില്ല.


At the heart of every cryptographic scheme there is a secret key, and the secret key is always chosen at random.

എല്ലാ ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫിക് സ്കീമിന്റെയും കാതൽ ഒരു രഹസ്യ കീ ആണ്, രഹസ്യ കീ എപ്പോഴും ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.


Choosing the secrets for cryptography requires generating randomness.

ക്രിപ്റ്റോഗ്രഫിക്കായി രഹസ്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന് ക്രമമില്ലായ്മ ഉണ്ടാക്കേണ്ടതുണ്ട്.


Randomness generators often turn out to be the Achilles heel of secure systems.

സുരക്ഷിതത്വമുള്ള സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ബലഹീനതയായി ക്രമമില്ലായ്മ ഉണ്ടാക്കുന്ന ജനറേറ്ററുകൾ മാറാറുണ്ട്.


Since randomness is so crucial to security, breaking the procedure to generate randomness can lead to a complete break of the system.

സുരക്ഷയ്ക്ക് ക്രമമില്ലായ്മ വളരെ നിർണായകമായതിനാൽ, ക്രമമില്ലായ്മ ഉണ്ടാക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം തകർത്താൽ സിസ്റ്റം പൂർണ്ണമായും തകരാറിലാകാൻ സാധ്യതയുണ്ട്.


An encryption scheme is secure if it is not possible to recover the key 푘 from 퐸 푘 (푥).

ഒരു എൻക്രിപ്ഷൻ സ്കീം സുരക്ഷിതമാണ്, 퐸 푘 (푥) ൽ നിന്ന് കീ 푘 വീണ്ടെടുക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ.


The condition of perfect secrecy simply corresponds to requiring that every two plaintexts 푥 and 푥 ′ have exactly the same set of neighbors.

തികഞ്ഞ രഹസ്യസ്വഭാവത്തിന്റെ അവസ്ഥ, എല്ലാ രണ്ട് പ്ലെയിൻ ടെക്സ്റ്റുകൾക്കും 푥, 푥 ′ എന്നിവയ്ക്ക് ഒരേ അയൽക്കാരുടെ കൂട്ടം ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് ആവശ്യപ്പെടുന്നതിന് തുല്യമാണ്.


An encryption reveals absolutely nothing about the message.

ഒരു എൻക്രിപ്ഷൻ സന്ദേശത്തെക്കുറിച്ച് ഒരറിവും വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.


This definition might take more than one reading to parse.

ഈ നിർവചനം മനസ്സിലാക്കാൻ ഒന്നിലധികം വായനകൾ ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം.


Let us put ourselves in the shoes of Eve, the eavesdropping adversary.

ചാരപ്പണി നടത്തുന്ന എതിരാളിയായ ഈവിന്റെ സ്ഥാനത്ത് നമ്മൾ സ്വയം സങ്കൽപ്പിക്കുക.


This means that observing the ciphertext 푦 did not help us at all!

അതായത്, സൈഫർ ടെക്സ്റ്റ് 푦 നിരീക്ഷിക്കുന്നത് നമ്മെ ഒട്ടും സഹായിച്ചില്ല!


Perfect secrecy is an extremely strong condition.

തികഞ്ഞ രഹസ്യസ്വഭാവം എന്നത് വളരെ ശക്തമായ ഒരവസ്ഥയാണ്.


Such a scheme for two-bit messages is illustrated in Fig. 21.8.

രണ്ട്-ബിറ്റ് സന്ദേശങ്ങൾക്കായുള്ള അത്തരം ഒരു സ്കീം ചിത്രം 21.8-ൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.


എൻക്രിപ്ഷൻ വളരെ ലളിതമാണ്.


ഇത് അത്ര രസകരമായി തോന്നുന്നില്ല.


For every perfectly secret encryption scheme the length function 퐿 satisfies 퐿(푛) ≤ 푛.

എല്ലാ തികഞ്ഞ രഹസ്യ എൻക്രിപ്ഷൻ സ്കീമിനും ലെങ്ത് ഫംഗ്ഷൻ 퐿, 퐿(푛) ≤ 푛 എന്നതിനെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.


The algorithm chooses random numbers and runs a primality testing algorithm on them.

അൽഗൊരിതം ക്രമരഹിതമായ സംഖ്യകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും അവയിൽ പ്രൈം പരിശോധന നടത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.


Bob sends a message to Alice by choosing b at random.

ബോബ്, b ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത്, ആലീസിന് ഒരു സന്ദേശം അയയ്ക്കുന്നു.


The security relies on the computational assumption that computing this map is hard.

ഈ മാപ്പ് കമ്പ്യൂട്ട് ചെയ്യുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ് എന്ന കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ അനുമാനത്തെ ആശ്രയിച്ചാണ് സുരക്ഷ നിലകൊള്ളുന്നത്.


The Diffie-Hellman key exchange protocol can be thought of as a public key encryption.

ഡിഫി-ഹെൽമാൻ കീ എക്സ്ചേഞ്ച് പ്രോട്ടോക്കോളിനെ ഒരു പബ്ലിക് കീ എൻക്രിപ്ഷനായി കണക്കാക്കാം.


Integrity is often more fundamental than secrecy.

രഹസ്യസ്വഭാവത്തേക്കാൾ ഉപരിയായി, സമഗ്രത പലപ്പോഴും അടിസ്ഥാനപരമാണ്.


Digital signature schemes are the analog of public key encryption for authentication.

ആധികാരികതയ്ക്കായി പബ്ലിക് കീ എൻക്രിപ്ഷന്റെ അനലോഗ് ആണ് ഡിജിറ്റൽ സിഗ്നേച്ചർ സ്കീമുകൾ.


Cryptographic hash functions are another widely used tool.

ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫിക് ഹാഷ് ഫംഗ്ഷനുകൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന മറ്റൊരു ഉപകരണമാണ്.


We want a proof for a statement X where we can rigorously show that the proofs reveals absolutely no additional information about X.

പ്രസ്താവന X-നു വേണ്ടി, തെളിവുകൾ X നെക്കുറിച്ച് ഒരു അധിക വിവരവും വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ലെന്ന് നമുക്ക് കർശനമായി കാണിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു തെളിവാണ് നമുക്ക് വേണ്ടത്.


After all, if we can compute NAND then we can use this to run any algorithm P on the encrypted data.

എല്ലാത്തിനുമുപരിയായി, നമുക്ക് NAND കണക്കാക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്ത ഡാറ്റയിൽ ഏതെങ്കിലും P അൽഗോരിതം പ്രവർത്തിപ്പിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കാം.


The idea in secure multiparty computation is that n parties interact together to compute some function F.

സുരക്ഷിതമായ മൾട്ടിപാർട്ടി കമ്പ്യൂട്ടേഷനിലെ ആശയം, n കക്ഷികൾ ഒരുമിച്ച് പ്രവർത്തിച്ച് F എന്ന ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കുന്നു എന്നതാണ്.


We can formally define the notion of security of an encryption scheme.

ഒരു എൻക്രിപ്ഷൻ സ്കീമിന്റെ സുരക്ഷയെക്കുറിച്ച് ഔപചാരികമായി നിർവചിക്കാൻ കഴിയും.


Perfect secrecy ensures that an adversary does not learn anything about the plaintext.

തികഞ്ഞ രഹസ്യസ്വഭാവം, ഒരു എതിരാളിക്ക് പ്ലെയിൻ ടെക്സ്റ്റിനെക്കുറിച്ച് ഒന്നും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കുന്നു.


Computational secrecy can be as good as perfect secrecy.

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ രഹസ്യസ്വഭാവം തികഞ്ഞ രഹസ്യസ്വഭാവം പോലെ നല്ലതാകാം.


There are many cryptographic tools that go well beyond private key encryption.

പ്രൈവറ്റ് കീ എൻക്രിപ്ഷനുമപ്പുറം പോകുന്ന നിരവധി ക്രിപ്റ്റോഗ്രാഫിക് ടൂളുകൾ ഉണ്ട്.


Quantum mechanics differs from local deterministic theories.

ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് പ്രാദേശിക നിർണ്ണായക സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.


The double slit experiment is a famous experiment.

ഇരട്ട സ്ലിറ്റ് പരീക്ഷണം ഒരു പ്രസിദ്ധമായ പരീക്ഷണമാണ്.


If we shoot baseballs at the plastic wall, then some of the baseballs would bounce off the metal barrier.

പ്ലാസ്റ്റിക് ഭിത്തിയിലേക്ക് ബേസ്ബോൾ എറിഞ്ഞാൽ, ചില ബേസ്ബോളുകൾ മെറ്റൽ തടസ്സത്തിൽ തട്ടി തെറിക്കും.


If we shoot with a photon gun at a wall equipped with photon detectors.

ഫോട്ടോൺ ഡിറ്റക്ടറുകൾ ഘടിപ്പിച്ച ഭിത്തിയിലേക്ക് ഒരു ഫോട്ടോൺ തോക്ക് ഉപയോഗിച്ച് വെടിവെക്കുകയാണെങ്കിൽ.


Quantum mechanics associates a number known as an amplitude with each probabilistic experiment.

ഓരോ സാധ്യതയുള്ള പരീക്ഷണത്തിനും ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് ഒരു ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് എന്ന സംഖ്യയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു.


In classical probability, we model this by a probability distribution.

പരമ്പരാഗത സാധ്യതയിൽ, നമ്മൾ ഇത് ഒരു സാധ്യത വിതരണം ഉപയോഗിച്ച് മാതൃകയാക്കുന്നു.


The qubit's state can be represented as a superposition of 0 and 1.

ഒരു ക്യുബിറ്റിന്റെ അവസ്ഥ 0, 1 എന്നിവയുടെ സൂപ്പർപോസിഷനായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയും.


Quantum computers utilize qubits to perform calculations.

ക്വാണ്ടം കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ ക്യുബിറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


Alice and Bob's agreement probability is cos^2(π/8).

ആലീസിന്റെയും ബോബിന്റെയും സമ്മത സാധ്യത cos^2(π/8) ആണ്.


The system collapses to |11⟩ after Alice gets 1.

ആലീസ് 1 ലഭിച്ച ശേഷം സിസ്റ്റം |11⟩ ആയി മാറുന്നു.


The analysis for Case 3 is analogous to Case 2.

കേസ് 3-ന്റെ വിശകലനം കേസ് 2-ന് സമാനമാണ്.


Alice and Bob will agree with probability cos^2(π/8) in this case as well.

ഈ സാഹചര്യത്തിലും ആലീസും ബോബും cos^2(π/8) സാധ്യതയോടെ യോജിക്കും.


The overall probability of winning the game is at least 0.8.

കളി ജയിക്കാനുള്ള മൊത്തത്തിലുള്ള സാധ്യത 0.8-ൽ കൂടുതലാണ്.


Quantum mechanics enabled this gain in Bell’s Inequality.

ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് ബെൽസ് അസമത്വത്തിൽ ഈ നേട്ടം സാധ്യമാക്കി.


Consider the following analogous probabilistic strategy for Alice and Bob.

ആലീസിനും ബോബിനുമുള്ള താഴെ പറയുന്ന സാധ്യതപരമായ തന്ത്രം പരിഗണിക്കുക.


The quantum strategy can be thought of as a variant of the probabilistic strategy.

ക്വാണ്ടം തന്ത്രം സാധ്യതപരമായ തന്ത്രത്തിന്റെ ഒരു വകഭേദമായി കണക്കാക്കാം.


In the quantum world, we can use negative probabilities.

ക്വാണ്ടം ലോകത്ത്, നമുക്ക് നെഗറ്റീവ് സാധ്യതകൾ ഉപയോഗിക്കാം.


Quantum computation is modeled by a sequence of basic operations.

ക്വാണ്ടം കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ച് മാതൃകയാക്കുന്നു.


We define the class P to consist of all infinite functions.

എല്ലാ അനന്തമായ ഫംഗ്ഷനുകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്നതാണ് P എന്ന ക്ലാസ് എന്ന് നമ്മൾ നിർവചിക്കുന്നു.


Quantum circuits are analogous to Boolean circuits.

ക്വാണ്ടം സർക്യൂട്ടുകൾ ബൂളിയൻ സർക്യൂട്ടുകളോട് സാമ്യമുള്ളവയാണ്.


The output degree of every vertex in a quantum circuit is at most one.

ഒരു ക്വാണ്ടം സർക്യൂട്ടിലെ എല്ലാ ശീർഷകങ്ങളുടെയും ഔട്ട്‌പുട്ട് ഡിഗ്രി ഒന്നിൽ കൂടരുത്.


We cannot reuse quantum states without measuring them.

അളക്കാതെ നമുക്ക് ക്വാണ്ടം അവസ്ഥകൾ വീണ്ടും ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല.


We will need to make sure all our gates are reversible.

നമ്മുടെ എല്ലാ ഗേറ്റുകളും വിപരീതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കേണ്ടതുണ്ട്.


The NAND operation corresponds to an 8 x 8 unitary matrix.

NAND പ്രവർത്തനം 8 x 8 ഏകക മാട്രിക്സിനു തുല്യമാണ്.


A quantum circuit is obtained by applying a sequence of gates.

ഗേറ്റുകളുടെ ഒരു ശ്രേണി പ്രയോഗിക്കുന്നതിലൂടെ ഒരു ക്വാണ്ടം സർക്യൂട്ട് ലഭിക്കും.


We define HAD to be the 2^n x 2^n unitary matrix.

HAD എന്നത് 2^n x 2^n ഏകക മാട്രിക്സായി നമ്മൾ നിർവചിക്കുന്നു.


Introduction to theoretical computer science.

സിദ്ധാന്തപരമായ കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലേക്ക് ഒരു ആമുഖം.


Essential Discrete Mathematics for Computer Science.

കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിനായുള്ള അത്യാവശ്യ ഡിസ്ക്രീറ്റ് ഗണിതം.


Combinatorial lower bound arguments for deterministic and nondeterministic Turing machines.

നിർണ്ണായകവും, നിർണ്ണായകമല്ലാത്തതുമായ ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകൾക്കായുള്ള കോമ്പിനേറ്റോറിയൽ താഴ്ന്ന പരിധിയിലുള്ള വാദങ്ങൾ.


കമ്പ്യൂട്ടേഷന്റെ സ്വഭാവം.


A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity.

നാഡീ പ്രവർത്തനത്തിൽ അന്തർലീനമായ ആശയങ്ങളുടെ ഒരു ലോജിക്കൽ കാൽക്കുലസ്.


റാൻഡമൈസ്ഡ് അൽഗോരിതങ്ങൾ.


Probability and computing: randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis.

പ്രോബബിലിറ്റിയും കമ്പ്യൂട്ടിംഗും: അൽഗോരിതങ്ങളിലും ഡാറ്റാ വിശകലനത്തിലും ക്രമരഹിതത്വവും സാധ്യതയുള്ള സാങ്കേതിക വിദ്യകളും.


EDVAC-യെക്കുറിച്ചുള്ള റിപ്പോർട്ടിന്റെ ആദ്യ черновик.


The elements of computing systems: building a modern computer from first principles.

കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഘടകങ്ങൾ: ആദ്യ തത്വങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു ആധുനിക കമ്പ്യൂട്ടർ നിർമ്മിക്കുന്നു.


The PageRank citation ranking: Bringing order to the web.

പേജ് റാങ്ക് സൈറ്റേഷൻ റാങ്കിംഗ്: വെബിലേക്ക് ഒരു ക്രമം കൊണ്ടുവരുന്നു.


ടൈപ്പുകളും പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളും.


Classes of recursively enumerable sets and their decision problems.

പുനരാവർത്തിച്ച് എണ്ണാൻ കഴിയുന്ന സെറ്റുകളുടെ ക്ലാസുകളും അവയുടെ തീരുമാന പ്രശ്നങ്ങളും.


ചെറിയ സാർവത്രിക ട്യൂറിംഗ് മെഷീനുകൾ.


Discrete mathematics and its applications.

ഡിസ്ക്രീറ്റ് ഗണിതവും അതിന്റെ പ്രയോഗങ്ങളും.


Finite automata and their decision problems.

പരിമിതമായ ഓട്ടോമാറ്റയും അവയുടെ തീരുമാന പ്രശ്നങ്ങളും.


കമ്പ്യൂട്ടേഷന്റെ മാതൃകകൾ.


On the history of combinatorial optimization (till 1960).

കോമ്പിനേറ്റോറിയൽ ഒപ്റ്റിമൈസേഷന്റെ ചരിത്രത്തെക്കുറിച്ച് (1960 വരെ).


A symbolic analysis of relay and switching circuits.

റിലേയുടെയും സ്വിച്ചിംഗ് സർക്യൂട്ടുകളുടെയും പ്രതീകാത്മക വിശകലനം.


Factoring numbers in O(logn) arithmetic steps.

O(logn) ഗണിത ഘട്ടങ്ങളിൽ സംഖ്യകൾ ഘടകങ്ങളായി തിരിക്കുന്നു.


യുക്തിപരമായ സ്വപ്നങ്ങൾ.


If you are confused by quantum mechanics, you are not alone.

ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഒറ്റക്കല്ല.


Quantum mechanics won: it turns out that it is in fact possible to use measurements to create correlations between the states of objects far removed from one another that cannot be explained by any prior theory.

ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് വിജയിച്ചു: അളവുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിനും വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയാത്ത രീതിയിൽ, വളരെ ദൂരെ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന വസ്തുക്കളുടെ അവസ്ഥകൾ തമ്മിൽ ബന്ധങ്ങളുണ്ടാക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് തെളിയിക്കുന്നു.


Alice and Bob will be in separate closed rooms.

ആലീസും ബോബും പ്രത്യേകം അടച്ച മുറികളിൽ ആയിരിക്കും.


We say that Alice and Bob win this experiment if a ⊕ b = x ∧ y.

a ⊕ b = x ∧ y ആയാൽ ആലീസും ബോബും ഈ പരീക്ഷണം ജയിച്ചതായി ഞങ്ങൾ പറയും.


It’s not hard for Alice and Bob to succeed with probability 3/4: just always output the same bit.

3/4 സാധ്യതയോടെ വിജയിക്കാൻ ആലീസിനും ബോബിനും പ്രയാസമില്ല: ഒരേ ബിറ്റ് എപ്പോഴും ഔട്ട്പുട്ട് ചെയ്യുക.


For every two functions f,g ∶ {0,1} → {0,1}, Pr x,y∈{0,1} [f(x)⊕g(y) = x∧y] ≤ 3/4.

എല്ലാ രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകൾക്കും f,g ∶ {0,1} → {0,1}, Pr x,y∈{0,1} [f(x)⊕g(y) = x∧y] ≤ 3/4.


An amazing experimentally verified fact is that quantum mechanics allows for “telepathy”.

ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് “ടെലിപ്പതി” സാധ്യമാക്കുന്നു എന്നത് പരീക്ഷണത്തിലൂടെ തെളിയിക്കപ്പെട്ട ഒരു അത്ഭുതകരമായ വസ്തുതയാണ്.


Some of the counterintuitive properties that arise from quantum mechanics include: Interference.

ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സിൽ നിന്ന് ഉണ്ടാകുന്ന ചില വിചിത്രമായ സ്വഭാവങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഇന്റർഫറൻസ് ആണ്.


The notion that two parts of the system could be connected in this weird way where measuring one will affect the other is known as quantum entanglement.

ഒരു ഭാഗം അളക്കുമ്പോൾ മറ്റൊന്നിനെ ബാധിക്കുന്ന ഈ വിചിത്രമായ രീതിയിൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങൾ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്ന ആശയം ക്വാണ്ടം എൻ്റാംഗിൾമെൻ്റ് എന്നറിയപ്പെടുന്നു.


In the 1981, physicist Richard Feynman proposed to “turn this lemon to lemonade” by making the following almost tautological observation:

1981-ൽ, ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനായ റിച്ചാർഡ് ഫെയ്ൻമാൻ, താഴെ പറയുന്ന കാര്യങ്ങൾ നിരീക്ഷിച്ചുകൊണ്ട് “ഈ നാരങ്ങയെ നാരങ്ങാവെള്ളമാക്കി മാറ്റാൻ” നിർദ്ദേശിച്ചു:


Quantum chemistry is important (and in particular understanding it can be a bottleneck for designing new materials, drugs, and more), but it is still a rather niche area within the broader context of computing.

ക്വാണ്ടം കെമിസ്ട്രി പ്രധാനമാണ് (പ്രത്യേകിച്ച് ഇത് മനസ്സിലാക്കുന്നത് പുതിയ മെറ്റീരിയലുകൾ, മരുന്നുകൾ എന്നിവ രൂപകൽപ്പന ചെയ്യുന്നതിൽ ഒരു തടസ്സമാകാം), എന്നാൽ ഇത് കമ്പ്യൂട്ടിംഗിന്റെ വിശാലമായ പശ്ചാത്തലത്തിൽ ഇപ്പോഴും ഒരു പ്രത്യേക മേഖലയാണ്.


In 1994 Peter Shor showed that quantum computers can solve the integer factoring and discrete logarithm problems in polynomial time.

1994-ൽ പീറ്റർ ഷോർ, ക്വാണ്ടം കമ്പ്യൂട്ടറുകൾക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യ ഘടകീയമാക്കലും, ഡിസ്ക്രീറ്റ് ലോഗരിതം പ്രശ്നങ്ങളും ബഹുപദ സമയത്തിനുള്ളിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് കാണിച്ചു.


This result has captured the imagination of a great many people, and completely energized research into quantum computing.

ഈ ഫലം ധാരാളം ആളുകളുടെ ഭാവനയെ ആകർഷിക്കുകയും, ക്വാണ്ടം കമ്പ്യൂട്ടിംഗിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഗവേഷണങ്ങൾക്ക് പൂർണ്ണമായ ഊർജ്ജം നൽകുകയും ചെയ്തു.


Despite popular accounts of quantum computers as having variables that can take “zero and one at the same time” and therefore can “explore an exponential number of possibilities simultaneously”, their true power is much more subtle and nuanced.

ക്വാണ്ടം കമ്പ്യൂട്ടറുകൾക്ക് “ഒരേ സമയം പൂജ്യവും ഒന്നും” എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ “ഒരുപാട് സാധ്യതകൾ ഒരേസമയം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാൻ” കഴിയും എന്ന സാധാരണ ധാരണയുണ്ടെങ്കിലും, അവയുടെ യഥാർത്ഥ ശക്തി വളരെ സൂക്ഷ്മവും വ്യത്യസ്തവുമാണ്.


We model a logical bit that can equal 0 or a 1 by some physical system that can be in one of two states.

0 അല്ലെങ്കിൽ 1 ന് തുല്യമായ ഒരു ലോജിക്കൽ ബിറ്റ്, രണ്ട് അവസ്ഥകളിൽ ഒന്നിൽ ആയിരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ചില ഭൗതിക സംവിധാനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ മാതൃകയാക്കുന്നു.


For example, it might be a wire with high or low voltage, charged or uncharged capacitor, or even (as we saw) a pipe with or without a flow of water, or the presence or absence of a soldier crab.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഉയർന്നതോ താഴ്ന്നതോ ആയ വോൾട്ടേജുള്ള ഒരു വയർ, ചാർജ് ചെയ്തതോ ചാർജ് ചെയ്യാത്തതോ ആയ കപ്പാസിറ്റർ, അല്ലെങ്കിൽ (നമ്മൾ കണ്ടതുപോലെ) വെള്ളത്തിന്റെ ഒഴുക്കുള്ളതോ ഇല്ലാത്തതോ ആയ ഒരു പൈപ്പ്, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സോൾജിയർ ഞണ്ടിന്റെ സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം എന്നിവ ഇതിന് ഉദാഹരണമാണ്.


In the quantum setting, the state of an individual bit (or “qubit”, to use quantum parlance) is modeled by a pair of numbers (훼,훽) such that |훼|2 + |훽|2 = 1.

ക്വാണ്ടം ക്രമീകരണത്തിൽ, ഒരു വ്യക്തിഗത ബിറ്റിന്റെ (അല്ലെങ്കിൽ “ക്യൂബിറ്റ്”, ക്വാണ്ടം പദാവലി ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ) അവസ്ഥ |훼|2 + |훽|2 = 1 ആകുമ്പോൾ (훼,훽)എന്ന സംഖ്യാ ജോഡി ഉപയോഗിച്ച് മാതൃകയാക്കുന്നു.


As we did before, we can model the NOT operation by the map N ∶ ℝ2 → ℝ2 where N(훼,훽) = (훽,훼).

മുമ്പത്തെപ്പോലെ, N(훼,훽) = (훽,훼) ആകുമ്പോൾ N ∶ ℝ2 → ℝ2 എന്ന മാപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് NOT പ്രവർത്തനം മാതൃകയാക്കാം.


In the quantum case, as in the probabilistic case, NOT corresponds to the matrix N = ( 0 1 1 0 ).

പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് കേസിൽ എന്നപോലെ, ക്വാണ്ടം കേസിലും, NOT എന്നത് N = ( 0 1 1 0 )എന്ന മാട്രിക്സിനോട് യോജിക്കുന്നു.


When we measure an n-qubit system in a state ψ = ∑ x∈{0,1}n ψx |x⟩, then we observe the value x ∈ {0,1}n with probability |ψx|2.

നമ്മൾ ഒരു n-ക്യൂബിറ്റ് സിസ്റ്റം ψ = ∑ x∈{0,1}n ψx |x⟩എന്ന അവസ്ഥയിൽ അളക്കുമ്പോൾ, |ψx|2 സാധ്യതയോടെ x ∈ {0,1}n എന്ന മൂല്യം നമ്മൾ നിരീക്ഷിക്കുന്നു.


The algorithm's steps are complex, involving quantum Fourier transforms.

ക്വാണ്ടം ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്ഫോമുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നതിനാൽ, ഈ അൽഗോരിതത്തിന്റെ ഘട്ടങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമാണ്.


Shor's algorithm is used for factoring large numbers.

വലിയ സംഖ്യകളെ ഘടകങ്ങളായി തിരിക്കാൻ ഷോർസ് അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.


The quantum Fourier transform is a key component of Shor's algorithm.

ഷോർസ് അൽഗോരിതത്തിന്റെ പ്രധാന ഘടകമാണ് ക്വാണ്ടം ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്ഫോം.


Understanding the Quantum Fourier Transform requires knowledge of group theory.

ക്വാണ്ടം ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്ഫോം മനസ്സിലാക്കാൻ ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ച് അറിഞ്ഞിരിക്കണം.


The algorithm uses qubits to perform calculations.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ ഈ അൽഗോരിതം ക്യുബിറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


The text discusses the application of quantum computing.

ഈ ലേഖനത്തിൽ ക്വാണ്ടം കമ്പ്യൂട്ടിംഗിന്റെ പ്രയോഗത്തെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു.


The algorithm's efficiency is a subject of ongoing research.

അൽഗോരിതത്തിന്റെ കാര്യക്ഷമത ഇപ്പോഴും ഗവേഷണ വിഷയമാണ്.


The text explains the steps involved in Shor's algorithm.

ഷോർസ് അൽഗോരിതത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ ഈ ലേഖനത്തിൽ വിശദീകരിക്കുന്നു.


The concept of Fourier expansion is crucial.

ഫ്യൂറിയർ വികാസം എന്ന ആശയം വളരെ പ്രധാനമാണ്.


The algorithm can factorize numbers in polynomial time.

ബഹുപദ സമയത്തിനുള്ളിൽ സംഖ്യകളെ ഘടകങ്ങളായി തിരിക്കാൻ ഈ അൽഗോരിതത്തിന് കഴിയും.


The text delves into the intricacies of quantum mechanics.

ഈ ലേഖനം ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സിന്റെ സങ്കീർണ്ണതകളെക്കുറിച്ച് വിശദീകരിക്കുന്നു.


The Hadamard operation is used in the algorithm.

ഈ അൽഗോരിതത്തിൽ ഹഡാമർഡ് ഓപ്പറേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


The algorithm is based on quantum principles.

ഈ അൽഗോരിതം ക്വാണ്ടം തത്വങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.


The text provides a detailed explanation of the Quantum Fourier Transform.

ക്വാണ്ടം ഫ്യൂറിയർ ട്രാൻസ്ഫോമിനെക്കുറിച്ച് ഈ ലേഖനത്തിൽ വിശദമായി പ്രതിപാദിക്കുന്നു.


The algorithm's complexity is polynomial in log M.

അൽഗോരിതത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണത log M ൽ ബഹുപദമാണ്.


The text discusses the application of the algorithm in cryptography.

ക്രിപ്റ്റോഗ്രഫിയിൽ ഈ അൽഗോരിതത്തിന്റെ പ്രയോഗത്തെക്കുറിച്ച് ഈ ലേഖനത്തിൽ പറയുന്നു.


The algorithm uses the concept of period finding.

ഈ അൽഗോരിതം കാലയളവ് കണ്ടെത്തുക എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നു.


The text is intended for advanced students.

ഈ ലേഖനം ഉയർന്ന നിലവാരത്തിലുള്ള വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി തയ്യാറാക്കിയതാണ്.


The algorithm's steps involve repeated calculations.

ഈ അൽഗോരിതത്തിന്റെ ഘട്ടങ്ങളിൽ തുടർച്ചയായുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു.


The text explores the theoretical foundations of quantum computing.

ക്വാണ്ടം കമ്പ്യൂട്ടിംഗിന്റെ സൈദ്ധാന്തിക അടിസ്ഥാനങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഈ ലേഖനത്തിൽ പറയുന്നു.