The book is about type theory and functional programming.

ഈ പുസ്തകം ടൈപ്പ് തിയറിയെയും ഫങ്ഷണൽ പ്രോഗ്രാമിംഗിനെയും കുറിച്ചുള്ളതാണ്.


Type theory brings together logic and programming languages.

ടൈപ്പ് തിയറി, ലോജിക്കും പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളും ഒരുമിപ്പിക്കുന്നു.


The book is suitable for final-year undergraduates.

അവസാന വർഷ ബിരുദ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഈ പുസ്തകം ഉപകാരപ്രദമാണ്.


We begin with introductory material on logic.

നമ്മൾ ലോജിക്കിനെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രാഥമിക വിവരങ്ങൾ നൽകി തുടങ്ങുന്നു.


ടൈപ്പ് തിയറിയുടെ സിസ്റ്റം സങ്കീർണ്ണമാണ്.


Chapter six covers a variety of examples.

ആറാം അധ്യായത്തിൽ വിവിധ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


We choose to stress the differences between the system and more traditional languages.

സിസ്റ്റവും പരമ്പരാഗത ഭാഷകളും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾക്കാണ് നമ്മൾ പ്രാധാന്യം നൽകുന്നത്.


Programs can be extracted from constructive proofs.

നിർമ്മാണാത്മക തെളിവുകളിൽ നിന്ന് പ്രോഗ്രാമുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയും.


സിസ്റ്റം വളരെ വ്യക്തമാണ്.


ഏഴാം അധ്യായത്തിൽ നാം ഇവയെക്കുറിച്ച് ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.


The book is a self-contained introduction.

ഈ പുസ്തകം സ്വയം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ആമുഖമാണ്.


Readers familiar with natural deduction logic could begin with chapter three.

നാച്ചുറൽ ഡിഡക്ഷൻ ലോജിക്കുമായി പരിചയമുള്ള വായനക്കാർക്ക് മൂന്നാം അധ്യായത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം.


Chapter four is the introduction to type theory.

നാലാം അധ്യായം ടൈപ്പ് തിയറിയെക്കുറിച്ചുള്ള ആമുഖമാണ്.


Chapter six contains examples and larger case studies.

ആറാം അധ്യായത്തിൽ ഉദാഹരണങ്ങളും വലിയ കേസ് സ്റ്റഡികളും ഉണ്ട്.


Chapter eight explores topics of a foundational nature.

എട്ടാം അധ്യായം അടിസ്ഥാനപരമായ വിഷയങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


ഓരോ അധ്യായത്തിലും അഭ്യാസങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.


The world is full of potential applications.

ലോകം സാധ്യതയുള്ള ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ നിറഞ്ഞതാണ്.


Thanks are due to colleagues from both institutions.

രണ്ട് സ്ഥാപനങ്ങളിലെയും സഹപ്രവർത്തകരോട് നന്ദിയുണ്ട്.


The text was prepared using the LaTeX document preparation system.

LaTeX ഡോക്യുമെന്റ് പ്രിപ്പറേഷൻ സിസ്റ്റം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഈ പാഠം തയ്യാറാക്കിയത്.


The editorial and production staff have been most helpful.

എഡിറ്റോറിയൽ, പ്രൊഡക്ഷൻ സ്റ്റാഫ് വളരെ സഹായകരമായിരുന്നു.


The program development section discusses the Polish National Flag problem.

പ്രോഗ്രാം വികസന ഭാഗം പോളിഷ് നാഷണൽ ഫ്ലാഗ് പ്രശ്നം ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.


6.4.2-ാം വകുപ്പിൽ വെക്റ്ററുകളെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു.


Proof extraction and top-down proof methods are explained.

പ്രൂഫ് എക്സ്ട്രാക്ഷനും ടോപ്-ഡൗൺ പ്രൂഫ് രീതികളും വിശദീകരിക്കുന്നു.


The text covers propositional and predicate logic.

ഈ ഭാഗത്ത് പ്രൊപ്പോസിഷണൽ, പ്രെഡിക്കേറ്റ് ലോജിക് എന്നിവയെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു.


Examples in the literature are provided in section 6.9.

സാഹിത്യത്തിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ 6.9-ാം വകുപ്പിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.


The Curry-Howard isomorphism is a central theme.

കറി-ഹോവാർഡ് ഐസോമോർഫിസം ഒരു പ്രധാന വിഷയമാണ്.


We will design a language in which correctness is guaranteed.

ശരിയായ പ്രവർത്തനം ഉറപ്പാക്കുന്ന ഒരു ഭാഷ നമ്മൾ രൂപകൽപ്പന ചെയ്യും.


The book examines the background in both logic and computing.

പുസ്തകം ലോജിക്കിന്റെയും കമ്പ്യൂട്ടിംഗിന്റെയും പശ്ചാത്തലം പരിശോധിക്കുന്നു.


Testing cannot ensure the absence of errors.

പരിശോധനയ്ക്ക് തെറ്റുകൾ ഇല്ലാതാക്കാൻ കഴിയില്ല.


A formal proof of correctness can guarantee that a program meets its specification.

ഒരു പ്രോഗ്രാം അതിന്റെ സ്പെസിഫിക്കേഷൻ പാലിക്കുന്നു എന്ന് ഔദ്യോഗികമായി തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.


The type system will have to be more powerful.

ടൈപ്പ് സിസ്റ്റം കൂടുതൽ ശക്തമായിരിക്കണം.


We are looking for a functional programming language with this property.

ഈ സ്വഭാവമുള്ള ഒരു ഫങ്ഷണൽ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷയാണ് ഞങ്ങൾ തിരയുന്നത്.


Constructive logic is discussed in detail.

നിർമ്മാണപരമായ യുക്തി വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.


The law of the excluded middle will not be valid.

ഒഴിവാക്കപ്പെട്ട മധ്യ നിയമം സാധുവാകില്ല.


The Curry Howard isomorphism is a central theme of this book.

ഈ പുസ്തകത്തിന്റെ പ്രധാന ആശയം കറി-ഹോവാർഡ് ഐസോമോർഫിസം ആണ്.


Propositions and types are seen as the same.

പ്രൊപ്പോസിഷനുകളും ടൈപ്പുകളും ഒന്നായി കണക്കാക്കുന്നു.


A, B എന്നിവയുടെ തെളിവുകൾ ജോഡികളാണ് (a, b).


The system enriches both aspects of logic and programming.

ഈ സിസ്റ്റം ലോജിക്കും പ്രോഗ്രാമിംഗും മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നു.


Dependent function and sum types are gained.

ആശ്രിത ഫംഗ്ഷനും സം ടൈപ്പുകളും ലഭിക്കുന്നു.


The system integrates program development and proof.

സിസ്റ്റം പ്രോഗ്രാം വികസനവും തെളിവും സമന്വയിപ്പിക്കുന്നു.


The concept of η-reduction is fundamental in lambda calculus.

ലാംഡ കാൽക്കുലസിൽ η-റിഡക്ഷൻ എന്ന ആശയം അടിസ്ഥാനപരമാണ്.


If x is not free in e, then λx.(ex) reduces to e.

x, e-യിൽ സ്വതന്ത്രമല്ലാത്തപ്പോൾ, λx.(ex) എന്നത് e-യിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു.


This rule identifies functions with the same behavior but different representations.

ഈ നിയമം ഒരേ സ്വഭാവവും വ്യത്യസ്ത പ്രാതിനിധ്യവുമുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളെ തിരിച്ചറിയുന്നു.


We generally consider η-reduction as an adjunct to β-reduction.

β-റിഡക്ഷന്റെ അനുബന്ധമായിട്ടാണ് നമ്മൾ സാധാരണയായി η-റിഡക്ഷനെ കണക്കാക്കുന്നത്.


The Church-Rosser theorem can be proven for this relation.

ഈ ബന്ധത്തിനായി ചർച്ച്-റോസ്സർ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.


We look at this idea in the next section.

അടുത്ത ഭാഗത്ത് ഈ ആശയം നമുക്ക് നോക്കാം.


Show that if we write I for λx.x then λx.x(II) is a head normal form.

λx.x-നു വേണ്ടി I എന്ന് എഴുതിയാൽ λx.x(II) ഒരു ഹെഡ് നോർമൽ ഫോം ആണെന്ന് കാണിക്കുക.


തിയറം 2.10-ൽ നിന്ന് തിയറം 2.12 തെളിയിക്കുക.


We can also ask the more general question of which expressions have the same computational behavior.

ഏത് എക്സ്പ്രഷനുകൾക്കാണ് ഒരേ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ സ്വഭാവം ഉള്ളതെന്ന് പൊതുവായി ചോദിക്കാവുന്നതാണ്.


The relations ‘→ β ’ and ‘→ η ’ are asymmetrical.

ബന്ധങ്ങൾ ‘→ β ’ , ‘→ η ’ എന്നിവ συμμεയില്ലാത്തവയാണ്.


‘↔↔’ is the smallest equivalence relation extending ‘→→’

‘↔↔’ എന്നത് ‘→→’ വികസിപ്പിക്കുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ തുല്യതാ ബന്ധമാണ്.


A similar relation based on β and η reduction together is called βη-convertibility.

β, η റിഡക്ഷൻ എന്നിവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സമാനമായ ബന്ധത്തെ βη-convertibility എന്ന് വിളിക്കുന്നു.


Two functions with normal forms are convertible if and only if they have the same normal form.

നോർമൽ ഫോമുകളുള്ള രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകൾക്ക് ഒരേ നോർമൽ ഫോം ഉണ്ടെങ്കിൽ അവ കൺവെർട്ടിബിൾ ആണ്.


It is for this reason that βη-convertibility is defined.

ഈ കാരണത്താലാണ് βη-convertibility നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്.


The untyped λ-calculus is a simple theory of pure functions.

ടൈപ്പ് ചെയ്യാത്ത λ- കാൽക്കുലസ് ശുദ്ധമായ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ലളിതമായ സിദ്ധാന്തമാണ്.


It is Turing-complete, exhibiting an equivalence with Turing computability.

ഇത് ട്യൂറിംഗ് പൂർണ്ണമാണ്, ട്യൂറിംഗ് കമ്പ്യൂട്ടബിലിറ്റിയുമായി തുല്യത കാണിക്കുന്നു.


One representation of the natural numbers is as the iterators.

പ്രകൃതിദത്ത സംഖ്യകളുടെ ഒരു പ്രാതിനിധ്യം ആവർത്തനരീതിയാണ്.


We need to be able to solve equations of the form f ≡ R f.

f ≡ R f എന്ന രൂപത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നമുക്ക് കഴിയണം.


Each of these expressions has a head normal form, but neither has a normal form.

ഈ ഓരോ എക്സ്പ്രഷനുകൾക്കും ഒരു ഹെഡ് നോർമൽ ഫോം ഉണ്ട്, പക്ഷേ ഒന്നിനും നോർമൽ ഫോം ഇല്ല.


The simply typed λ-calculus could not be simpler.

ലളിതമായി ടൈപ്പ് ചെയ്ത λ- കാൽക്കുലസ് ഇതിലും ലളിതമാകാൻ തരമില്ല.


The rule of conjunction introduction combines derivations of two halves of a conjunction.

കൂട്ടുവാക്യത്തിന്റെ ആമുഖ നിയമം ഒരു സംയോജനത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളുടെയും വ്യുൽപ്പന്നങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നു.


From proofs of A and B, we can infer A∧B by the rule of conjunction introduction.

A, B എന്നിവയുടെ തെളിവുകളിൽ നിന്ന്, സംയോജന ആമുഖ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് A∧B എന്ന നിഗമനത്തിലെത്താം.


The assumptions upon which the proof of A∧B depends are those of the proofs of A and B combined.

A∧B യുടെ തെളിവുകൾ എന്തിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുവോ, അത് A, B എന്നിവയുടെ തെളിവുകളുടെ സംയോജനമാണ്.


A simple proof can be built from the two rules we have seen so far.

നമ്മൾ ഇതുവരെ കണ്ട രണ്ട് നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ലളിതമായ ഒരു തെളിവ് ഉണ്ടാക്കാം.


Applying the introduction rule for conjunction three times, we have inferred the conjunction from its constituent parts.

കൂട്ടുവാക്യത്തിനായുള്ള ആമുഖ നിയമം മൂന്ന് തവണ പ്രയോഗിക്കുന്നതിലൂടെ, അതിന്റെ ഘടക ഭാഗങ്ങളിൽ നിന്ന് സംയോജനം നമ്മൾ അനുമാനിച്ചു.


The rule above was called the ∧-introduction rule, since it shows how a formula whose top-level connective is a conjunction can be introduced.

മുകളിലുള്ള നിയമത്തെ ∧-ആമുഖ നിയമം എന്ന് വിളിച്ചു, കാരണം ഒരു സംയോജനമായിട്ടുള്ള ഒരു സൂത്രവാക്യം എങ്ങനെ അവതരിപ്പിക്കാമെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു.


The rule states that we can introduce a conjunction when we have proofs of its two component halves.

ഒരു സംയോജനത്തിന്റെ രണ്ട് ഘടക ഭാഗങ്ങളുടെയും തെളിവുകൾ നമ്മുടെ പക്കലുണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു സംയോജനം അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഈ നിയമം പറയുന്നു.


Conversely, we have a rule which states what we can infer on the basis of a conjunction; in other words it tells us when we can eliminate a conjunction.

നേരെമറിച്ച്, ഒരു സംയോജനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് എന്ത് അനുമാനിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് പറയുന്ന ഒരു നിയമം നമുക്കുണ്ട്; മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, എപ്പോഴാണ് ഒരു സംയോജനം ഒഴിവാക്കാൻ കഴിയുക എന്ന് ഇത് നമ്മോട് പറയുന്നു.


From a proof of A∧B we can infer both A and B by the rules of conjunction elimination.

A∧B യുടെ തെളിവുകളിൽ നിന്ന്, സംയോജന ഒഴിവാക്കൽ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് A, B എന്നിവ രണ്ടും നമുക്ക് അനുമാനിക്കാൻ കഴിയും.


We have another example which combines the use of the rules of introduction and elimination.

ആമുഖത്തിന്റെയും ഒഴിവാക്കലിന്റെയും നിയമങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്ന മറ്റൊരു ഉദാഹരണം ഇതാ.


This proof exhibits the associativity of the conjunction operation, a fact with which we are familiar.

ഈ തെളിവ് സംയോജന പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സഹബന്ധം കാണിക്കുന്നു, ഇത് നമുക്ക് പരിചിതമായ ഒരു വസ്തുതയാണ്.


Note that the single assumption upon which the proof depends is the formula (A∧B)∧C, with the assumption appearing at three different points in the proof.

തെളിയിക്കലിന്റെ ഏക അനുമാനം (A∧B)∧C എന്ന സൂത്രവാക്യമാണ്, തെളിയിക്കലിൽ മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത സ്ഥലങ്ങളിൽ ഈ അനുമാനം കാണപ്പെടുന്നു.


There is another way in which we can read the elimination rules.

ഒഴിവാക്കൽ നിയമങ്ങൾ വായിക്കാൻ മറ്റൊരു വഴിയുണ്ട്.


The introduction rule states that we can infer A∧B from A and B.

A, B എന്നിവയിൽ നിന്ന് A∧B എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ആമുഖ നിയമം പറയുന്നു.


The elimination rules state that if we can prove A∧B then we can prove each of the component formulae.

A∧B എന്ന് തെളിയിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഓരോ ഘടക സൂത്രവാക്യങ്ങളും നമുക്ക് തെളിയിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഒഴിവാക്കൽ നിയമങ്ങൾ പറയുന്നു.


In giving the rules for implication, ⇒, we first take an informal look at what the connective is meant to mean.

ഇംപ്ലിക്കേഷനായുള്ള നിയമങ്ങൾ നൽകുമ്പോൾ, ⇒, ഈ കണക്ഷൻ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നതെന്ന് നമ്മൾ ആദ്യം അനൗപചാരികമായി നോക്കുന്നു.


We think of A⇒B as expressing A implies B or that we can deduce B from A.

A⇒B എന്നത് A, B നെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ A-യിൽ നിന്ന് B-യിലേക്ക് എത്തിച്ചേരാം എന്ന് നമ്മൾ കരുതുന്നു.


In other words we would like to conclude A⇒B when we have a deduction of B assuming A.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, A എന്ന് അനുമാനിച്ചുകൊണ്ട് B-യുടെ ഒരു നിഗമനത്തിൽ എത്തിച്ചേരുമ്പോൾ A⇒B എന്ന് നമ്മൾ നിഗമനം ചെയ്യാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.


What are the assumptions upon which this new proof of A⇒B depends?

A⇒B എന്നതിൻ്റെ ഈ പുതിയ തെളിവ് എന്തിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു?


All those on which the proof of B depends, except the assumption A itself.

B-യുടെ തെളിവുകൾ എന്തിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുവോ അതെല്ലാം, A എന്ന അനുമാനം ഒഴികെ.


In other words, we need a proof for arbitrary x, which is exactly what the rule states.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഏതെങ്കിലും x-നു വേണ്ടി നമുക്ക് ഒരു തെളിവ് ആവശ്യമാണ്, ഇത് നിയമം പറയുന്നത് കൃത്യമായിരിക്കുന്നു.


The rule for elimination of ∨ suggests the following for existential elimination: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B

∨ ഒഴിവാക്കാനുള്ള നിയമം, അസ്തിത്വപരമായ ഒഴിവാക്കലിനായി ഇത് നിർദ്ദേശിക്കുന്നു: ∃x. A(x) [A(a)] . . . B [A(b)] . . . B. . . B


We obtain our rule by replacing all the individual proofs of B from A(a), A(b) and so forth by a proof from A(x) for an arbitrary x.

A(a), A(b) എന്നിവയിൽ നിന്നുള്ള B-യുടെ എല്ലാ വ്യക്തിഗത തെളിവുകളും ഒരുപോലെ മാറ്റി, ഏതെങ്കിലും x-ൽ നിന്നുള്ള തെളിവ് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ നിയമം ലഭിക്കും.


For the first example we assume θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) and try to prove that ∃x. Q(x)

ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിനായി, θ≡ df ∀x.(P(x)⇒Q(x)) ∃x. P(x) എന്ന് നമ്മൾ അനുമാനിക്കുകയും ∃x. Q(x) എന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.


Informally the inference is clear, but what do we do in our system?

സാധാരണയായി ഈ അനുമാനം വ്യക്തമാണ്, എന്നാൽ നമ്മുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ നമ്മൾ എന്തുചെയ്യും?


We have a universal assumption, θ, and the rule of universal elimination tells us that we can use any instance P(x)⇒P(x) of θ in our proof.

നമ്മുടെ പക്കൽ ഒരു സാർവത്രിക അനുമാനമുണ്ട്, θ, സാർവത്രിക ഒഴിവാക്കലിന്റെ നിയമം നമ്മളോട് പറയുന്നത്, നമ്മുടെ തെളിവുകളിൽ θ-യുടെ ഏതെങ്കിലും ഉദാഹരണം P(x)⇒P(x) ഉപയോഗിക്കാമെന്നാണ്.


If we adopt a backwards reading of the rule of existential elimination, then we see how to use an existential assumption.

അസ്തിത്വപരമായ ഒഴിവാക്കലിന്റെ നിയമത്തിന്റെ പിന്നോട്ടുള്ള വായന സ്വീകരിച്ചാൽ, ഒരു അസ്തിത്വപരമായ അനുമാനം എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് കാണാം.


To use an existential assumption ∃x. P(x) , use the instance P(x) and finally discharge this using the rule (∃E).

ഒരു അസ്തിത്വപരമായ അനുമാനം ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് ∃x. P(x) , P(x) എന്ന ഉദാഹരണം ഉപയോഗിക്കുക, തുടർന്ന് (∃E) നിയമം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ഒഴിവാക്കുക.


Proceeding thus we have P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) From this we can infer ∃x. Q(x) (even though x is free in one of the assumptions — there are no restrictions on the rule (∃I)), and finally by existential elimination we have:

ഇപ്രകാരം തുടരുമ്പോൾ നമുക്ക് P(x) ∀x.(P(x)⇒Q(x)) (P(x)⇒Q(x)) (∀E) Q(x) (⇒E) ലഭിക്കുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ∃x. Q(x) എന്ന് അനുമാനിക്കാം (അനുമാനങ്ങളിലൊന്നിൽ x സ്വതന്ത്രമാണെങ്കിലും - (∃I) നിയമത്തിൽ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ല), ഒടുവിൽ അസ്തിത്വപരമായ ഒഴിവാക്കലിലൂടെ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:


For our second example, suppose we make the assumption that every object is either an apple or a banana: ∀x.(A(x)∨B(x)) and that both apples and bananas are tasty: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))

നമ്മുടെ രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിനായി, എല്ലാ വസ്തുക്കളും ഒന്നുകിൽ ആപ്പിളോ അല്ലെങ്കിൽ പഴമോ ആണെന്ന് കരുതുക: ∀x.(A(x)∨B(x)) അതുപോലെ ആപ്പിളും പഴവും രുചികരമാണ്: ∀x.(A(x)⇒T(x)) ∀x.(B(x)⇒T(x))


We will show that everything is tasty, ∀x. T(x).

എല്ലാം രുചികരമാണെന്ന് നമ്മൾ കാണിക്കും, ∀x. T(x).


Applying the universal elimination rule three times we have (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y))

സാർവത്രിക ഒഴിവാക്കൽ നിയമം മൂന്ന് തവണ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് (A(y)∨B(y)) (A(y)⇒T(y)) (B(y)⇒T(y))


and then we can infer T(y) on the basis of the second of these and the assumption A(y), using (⇒E).

തുടർന്ന് ഇവയിൽ രണ്ടാമത്തേതിന്റെയും A(y) എന്ന അനുമാനത്തിന്റെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് T(y) എന്ന് അനുമാനിക്കാം, (⇒E) ഉപയോഗിച്ച്.


We can similarly infer T(y) from B(y) and the universal statement, and are then in a position to apply (∨E).

B(y), സാർവത്രിക പ്രസ്താവന എന്നിവയിൽ നിന്ന് സമാനമായി T(y) എന്ന് അനുമാനിക്കാൻ കഴിയും, തുടർന്ന് (∨E) പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും.


In the diagram which follows the hypotheses of the central proof are listed vertically.

തുടർന്ന് വരുന്ന ചിത്രീകരണത്തിൽ, കേന്ദ്ര തെളിവിന്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ലംബമായി പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.


introduction is then applied, giving . . . ∀x. T(x) (∀I)

മുഖവുര നൽകുന്നു, നൽകുന്നത് . . . ∀x. T(x) (∀I)


Our final example concerns the proof of ∃y.∀x. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y)

നമ്മുടെ അവസാന ഉദാഹരണം ∃y.∀x. A(x, y)⇒∀x.∃y. A(x, y) എന്നതിന്റെ തെളിവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്.


The reader might like to refer back to the discussion on page 18 above.

വായനക്കാർക്ക് മുകളിലുള്ള 18-ാം പേജിലെ ചർച്ചയിലേക്ക് മടങ്ങിവരാവുന്നതാണ്.


Remembering the rule of implication introduction, it is sufficient to prove ∀x.∃y. A(x, y) on the assumption of ∃y.∀x. A(x, y)

ആമുഖ നിയമം ഓർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ∃y.∀x. A(x, y) എന്ന അനുമാനത്തിൽ ∀x.∃y. A(x, y) എന്ന് തെളിയിക്കുന്നത് മതി.


We have an existential assumption, so stripping off the quantifier we can by the rule (∃E) use instead the assumption ∀x. A(x, y)

നമ്മുടെ പക്കൽ ഒരു അസ്തിത്വപരമായ അനുമാനമുണ്ട്, അതിനാൽ അളവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഒഴിവാക്കുകയാണെങ്കിൽ (∃E) നിയമപ്രകാരം ∀x. A(x, y) എന്ന അനുമാനം ഉപയോഗിക്കാം.


We need to add a collection of constants for each product type.

ഓരോ ഉൽപ്പന്ന തരത്തിനും സ്ഥിരമായ ചില മൂല്യങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്.


Common practice is to omit the type subscripts from these constants.

ഈ സ്ഥിരമായ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ടൈപ്പ് സബ്‌സ്‌ക്രിപ്റ്റുകൾ ഒഴിവാക്കുക എന്നതാണ് സാധാരണ രീതി.


This is the idea of polymorphism which we mentioned in our introduction.

പോളിമോർഫിസത്തിന്റെ ആശയമാണിത്, ഇത് നമ്മുടെ ആമുഖത്തിൽ പരാമർശിച്ചു.


We need to strengthen the type system to allow polymorphic types.

പോളിമോർഫിക് തരങ്ങൾ അനുവദിക്കുന്നതിന് ടൈപ്പ് സിസ്റ്റം ശക്തിപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്.


The literature on polymorphism is extensive.

പോളിമോർഫിസത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സാഹിത്യം വളരെ വലുതാണ്.


We have a similar distinction between computation rules and equivalence rules.

കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ നിയമങ്ങളും തുല്യതാ നിയമങ്ങളും തമ്മിൽ സമാനമായ വ്യത്യാസമുണ്ട്.


Computation rules relate objects of arbitrary type.

കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ നിയമങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള വസ്തുക്കളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു.


Equivalence rules relate elements of restricted type.

തുല്യതാ നിയമങ്ങൾ നിയന്ത്രിത തരത്തിലുള്ള ഘടകങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു.


Computations are usually performed over concrete types.

കമ്പ്യൂട്ടേഷനുകൾ സാധാരണയായി കോൺക്രീറ്റ് തരങ്ങളിൽ നടത്തപ്പെടുന്നു.


We add the type N to our set of base types.

ഞങ്ങൾ N എന്ന ടൈപ്പ് അടിസ്ഥാന തരങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു.


We add two clauses Numbers 0 is of type N, and if n:N then succ n:N.

നമ്മൾ രണ്ട് ക്ലോസുകൾ ചേർക്കുന്നു: സംഖ്യകൾ 0 എന്നത് N എന്ന തരത്തിലുള്ളതാണ്, കൂടാതെ n:N ആണെങ്കിൽ succ n:N.


Primitive Recursion For all types τ, if e0 : τ f : (N ⇒ τ ⇒ τ) then P rec e0 f : N ⇒ τ.

പ്രാഥമിക റിക്ര്ഷൻ എല്ലാ തരങ്ങൾക്കും τ, e0 : τ f : (N ⇒ τ ⇒ τ) ആണെങ്കിൽ P rec e0 f : N ⇒ τ.


P rec-നെ പ്രാഥമിക റിക്ര്സർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.


We can also define equivalence rules for P rec.

P rec-നു വേണ്ടി തുല്യതാ നിയമങ്ങൾ നിർവചിക്കാൻ കഴിയും.


We can extend the strong normalisation result.

ശക്തമായ സാധാരണവൽക്കരണ ഫലം നമുക്ക് വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.


A further step is to add an operator R for general recursion.

പൊതുവായ റിക്ര്ഷനു വേണ്ടി R എന്ന ഓപ്പറേറ്റർ ചേർക്കുക എന്നതാണ് അടുത്ത ഘട്ടം.


This is a much stronger notion than primitive recursion.

പ്രാഥമിക റിക്ര്ഷനേക്കാൾ വളരെ ശക്തമായ ഒരു ആശയമാണിത്.


The semantic explanation of general recursion has led to the development of denotational semantics.

പൊതുവായ റിക്ര്ഷന്റെ അർത്ഥപരമായ വിശദീകരണം ഡെനോട്ടേഷണൽ സിമാൻ്റിക്സിന്റെ വികാസത്തിലേക്ക് നയിച്ചു.


We can ask for the system to evaluate expressions of any type.

ഏത് തരത്തിലുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളും വിലയിരുത്തുന്നതിന് സിസ്റ്റത്തോട് ആവശ്യപ്പെടാം.


The results will thus be closed (β-) normal forms of zeroth-order type.

അതിനാൽ, ഫലങ്ങൾ പൂജ്യ-ക്രമത്തിലുള്ള (β-) സാധാരണ രൂപങ്ങൾ ആയിരിക്കും.


ഇന്ന് സൂര്യൻ ശോഭയോടെ പ്രകാശിക്കുന്നു.


ഉപ്പ് എനിക്ക് തരാമോ?


ഒരു വലിയ ഭൂകമ്പത്തെക്കുറിച്ച് വാർത്തയിൽ റിപ്പോർട്ട് ചെയ്തു.


അവൾ ഡോക്ടറാകാൻ പഠിക്കുന്നു.


The company announced its quarterly earnings.

കമ്പനി അതിന്റെ ത്രൈമാസ വരുമാനം പ്രഖ്യാപിച്ചു.


Please submit your application by Friday.

വെള്ളിയാഴ്ചക്കകം നിങ്ങളുടെ അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുക.


The algorithm efficiently sorts the data.

അൽഗോരിതം ഡാറ്റയെ കാര്യക്ഷമമായി അടുക്കുന്നു.


അദ്ദേഹം വളരെ കഴിവുള്ള ഒരു സംഗീതജ്ഞനാണ്.


The government implemented new policies.

സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കി.


The research paper was published in a prestigious journal.

ഗവേഷണ പ്രബന്ധം ഒരു പ്രശസ്ത ജേർണലിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു.


പ്രതിസന്ധികൾ ഉണ്ടായിട്ടും, അവർ വിജയിച്ചു.


സോഫ്റ്റ്‌വെയറിന് പതിവായ അപ്‌ഡേറ്റുകൾ ആവശ്യമാണ്.


അടുത്ത ആഴ്ച യോഗം നടക്കും.


The complex equation was difficult to solve.

സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടായിരുന്നു.


കലാകാരന്റെ കൃതികൾക്ക് വലിയ പ്രശംസ ലഭിച്ചു.


സാമ്പത്തിക പ്രവചനം വളർച്ച പ്രവചിക്കുന്നു.


The ancient civilization left behind many artifacts.

പുരാതന നാഗരികത നിരവധി പുരാവസ്തുക്കൾ അവശേഷിപ്പിച്ചു.


The patient's condition improved significantly.

രോഗിയുടെ അവസ്ഥ ഗണ്യമായി മെച്ചപ്പെട്ടു.


The company is undergoing restructuring.

കമ്പനി പുനഃസംഘടനക്ക് വിധേയമാകുന്നു.


The philosophical debate was quite engaging.

തത്വചിന്താപരമായ സംവാദം വളരെ ആകർഷകമായിരുന്നു.


The system we define is different from those of the first chapter.

നമ്മൾ നിർവചിക്കുന്ന ഈ സിസ്റ്റം ആദ്യ അധ്യായത്തിലെ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.


Central to type theory is the duality between propositions and types.

പ്രമേയങ്ങളും തരങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ദ്വൈതമാണ് ടൈപ്പ് തിയറിയുടെ കാതൽ.


A proof of a proposition can be seen as a member of the type.

ഒരു പ്രമേയത്തിന്റെ തെളിവ് ആ തരത്തിലുള്ള ഒരംഗമായി കണക്കാക്കാം.


We first present type theory as a logical system.

ആദ്യം, ടൈപ്പ് തിയറിയെ ഒരു ലോജിക്കൽ സിസ്റ്റമായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു.


The chapter begins with an informal examination of what it means for something to be a proof.

ഒരു തെളിവായിരിക്കുന്നതിന്റെ അർത്ഥമെന്തെന്ന് ഈ അധ്യായത്തിൽ അനൗപചാരികമായി പരിശോധിക്കുന്നു.


We look at the general form that the rules will take.

നിയമങ്ങൾ എങ്ങനെയായിരിക്കുമെന്നും ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു.


With each connective we associate four kinds of rule.

ഓരോ കണക്ടീവിനും, നാല് തരം നിയമങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു.


From the programming point of view they assert the existence of certain objects.

പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ, അവ ചില വസ്തുക്കളുടെ നിലനിൽപ്പ് ഉറപ്പുവരുത്തുന്നു.


The computation rules explain how to evaluate or run programs.

കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ നിയമങ്ങൾ പ്രോഗ്രാമുകൾ എങ്ങനെ വിലയിരുത്താമെന്ന് വിശദീകരിക്കുന്നു.


We also give a formation rule which embodies the syntax of the connective.

കണക്ടീവിന്റെ ശൈലി ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു രൂപീകരണ നിയമവും ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു.


The formal presentation of the logical rules is followed by examples.

ലോജിക്കൽ നിയമങ്ങളുടെ ഔപചാരികമായ അവതരണത്തിന് ശേഷം, ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നു.


We introduce the logical notions of universal and existential quantifiers.

സാർവത്രികവും, അസ്തിത്വപരവുമായ അളവുകളുടെ ലോജിക്കൽ ആശയങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.


Programming is dependent on the presence of data types.

പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഡാറ്റാ ടൈപ്പുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.


Infinite data types are characterised by principles of definition by recursion.

അനന്തമായ ഡാറ്റാ ടൈപ്പുകൾ, പുനരാവർത്തനത്തിലൂടെയുള്ള നിർവചന തത്വങ്ങളാൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.


ഈ രണ്ട് രീതികളും ഒരുമിച്ചുപോകുന്നു.


This recursive characterisation carries over to other types.

ഈ പുനരാവർത്തന സ്വഭാവം മറ്റ് തരങ്ങളിലേക്കും വ്യാപിക്കുന്നു.


The assertion of the identity of two values forms a fundamental atomic proposition.

രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുടെ ഐഡന്റിറ്റിയുടെ പ്രസ്താവന ഒരു അടിസ്ഥാന ആറ്റോമിക് പ്രൊപ്പോസിഷൻ ഉണ്ടാക്കുന്നു.


There is another relation linking items, generated by '→'.

'→' ഉപയോഗിച്ച് ഉണ്ടാകുന്ന, ഇനങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന മറ്റൊരു ബന്ധമുണ്ട്.


This means that our system gives an integrated treatment of programming and verification.

പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെയും, പരിശോധനയുടെയും സംയോജിത ചികിത്സയാണ് ഈ സിസ്റ്റം നൽകുന്നത്.


Our first view of the material is an informal account of what it is to have a proof.

മെറ്റീരിയലിനെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ ആദ്യത്തെ വീക്ഷണം, ഒരു തെളിവ് ഉണ്ടാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള അനൗപചാരികമായ വിവരണം ആണ്.


The system we are building here is one in which propositions, or formulas, are identified with types, and vice versa.

നമ്മൾ ഇവിടെ നിർമ്മിക്കുന്ന സിസ്റ്റം, പ്രൊപ്പോസിഷനുകളും, അല്ലെങ്കിൽ ഫോർമുലകളും, ടൈപ്പുകളുമായി തിരിച്ചറിയപ്പെടുന്ന ഒന്നാണ്, തിരിച്ചും.


Consider the case in which we want to return one of two results conditional on some property.

ചില പ്രോപ്പർട്ടിയെ ആശ്രയിച്ച് രണ്ട് ഫലങ്ങളിൽ ഒന്ന് തിരികെ നൽകാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന കേസ് പരിഗണിക്കുക.


We call this the type bool of boolean values and for the sake of tradition call the two values True and False.

ഇതിനെ ബൂളിയൻ മൂല്യങ്ങളുടെ bool എന്ന ടൈപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, പാരമ്പര്യത്തിന്റെ പേരിൽ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളെയും True, False എന്ന് വിളിക്കുന്നു.


The type bool is simply a finite type containing two values.

bool എന്ന ടൈപ്പ് രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു പരിമിതമായ ടൈപ്പാണ്.


The role of the type is computational: we can build the expression if ... then ... else ... in our language, allowing case switches in computations.

ടൈപ്പിന്റെ പങ്ക് കമ്പ്യൂട്ടേഷണലാണ്: നമ്മുടെ ഭാഷയിൽ if ... then ... else ... എന്ന എക്സ്പ്രഷൻ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് കമ്പ്യൂട്ടേഷനുകളിൽ കേസ് സ്വിച്ചുകൾ അനുവദിക്കുന്നു.


To recap, True and False are values of the type bool, whilst ⊥ and > are the false and true propositions.

വീണ്ടും പറയുകയാണെങ്കിൽ, True, False എന്നിവ bool എന്ന ടൈപ്പിന്റെ മൂല്യങ്ങളാണ്, അതേസമയം ⊥, > എന്നിവ തെറ്റായതും ശരിയായതുമായ പ്രൊപ്പോസിഷനുകളാണ്.


Languages such as Pascal contain a boolean type — if we reason about these programs we use an external logical language to construct statements about the language.

പാസ്കൽ പോലുള്ള ഭാഷകളിൽ ഒരു ബൂളിയൻ ടൈപ്പ് ഉണ്ട് - ഈ പ്രോഗ്രാമുകളെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ ന്യായവാദം നടത്തിയാൽ, ഭാഷയെക്കുറിച്ച് പ്രസ്താവനകൾ നിർമ്മിക്കാൻ ഒരു ബാഹ്യ ലോജിക്കൽ ഭാഷ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


We should also note that these definitions form a template for the definition of any type with a finite set of members.

പരിമിതമായ അംഗങ്ങളുള്ള ഏതൊരു ടൈപ്പിന്റെയും നിർവചനത്തിനായുള്ള ഒരു ടെംപ്ലേറ്റാണ് ഈ നിർവചനങ്ങൾ എന്നും ശ്രദ്ധിക്കണം.


The two rules above require no explanation.

മുകളിലുള്ള രണ്ട് നിയമങ്ങൾ വിശദീകരണം ആവശ്യമില്ല.


We eliminate a boolean value by a two-way case switch, conventionally called a conditional expression.

ഒരു ബൂളിയൻ മൂല്യത്തെ രണ്ട്-വഴി കേസ് സ്വിച്ച് ഉപയോഗിച്ച് ഒഴിവാക്കുന്നു, ഇതിനെ സാധാരണയായി ഒരു വ്യവസ്ഥാപിത പദപ്രയോഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.


This is stronger than the conventional case switch, as the type of the result can depend upon the value of the boolean.

പരമ്പരാഗത കേസ് സ്വിച്ചിനേക്കാൾ ശക്തമാണ് ഇത്, കാരണം ഫലത്തിന്റെ ടൈപ്പ് ബൂളിയന്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.


We embody the case switching mechanism in the following rules.

ഇനി പറയുന്ന നിയമങ്ങളിൽ കേസ് സ്വിച്ചിംഗ് സംവിധാനം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


The ‘then’ or ‘else’ case is selected, according to the value of the boolean.

ബൂളിയൻ മൂല്യത്തിനനുസരിച്ച് ‘then’ അല്ലെങ്കിൽ ‘else’ കേസ് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.


Consider the example if tr then False else True.

ഉദാഹരണത്തിന് if tr then False else True പരിഗണിക്കുക.


This has the type bool if we assume that tr:bool.

tr:bool എന്ന് നമ്മൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഇതിന് bool എന്ന ടൈപ്പ് ഉണ്ട്.


Again, we should note the distinction between these functions over the boolean type, which represent the classical boolean operations, and the connectives ∧, ∨, etc. which form propositions from other propositions, or alternatively, which are type constructors forming types from other types.

വീണ്ടും, ക്ലാസിക്കൽ ബൂളിയൻ പ്രവർത്തനങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ബൂളിയൻ ടൈപ്പിലുള്ള ഈ ഫംഗ്ഷനുകളും, മറ്റ് പ്രൊപ്പോസിഷനുകളിൽ നിന്ന് പ്രൊപ്പോസിഷനുകൾ രൂപീകരിക്കുന്ന അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് ടൈപ്പുകളിൽ നിന്ന് ടൈപ്പുകൾ രൂപീകരിക്കുന്ന ടൈപ്പ് കൺസ്ട്രക്റ്ററുകളായ കണക്ടീവുകളായ ∧, ∨, തുടങ്ങിയവയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം നമ്മൾ ശ്രദ്ധിക്കണം.


For n a natural number, the type Nn has n elements, 1n, 2n, . . . , nn the subscript showing the type from which the element comes.

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയായ n-ന്, Nn എന്ന ടൈപ്പിന് n ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ട്, 1n, 2n, . . . , nn, സബ്‌സ്‌ക്രിപ്റ്റ് ഘടകം വരുന്ന ടൈപ്പ് കാണിക്കുന്നു.


We have already seen a two element type, where we identify 12 with True and 22 with False.

12 നെ True എന്നും 22 നെ False എന്നും തിരിച്ചറിയുന്ന രണ്ട് ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു ടൈപ്പ് നമ്മൾ ഇതിനകം കണ്ടു കഴിഞ്ഞു.


We eliminate an element of an n element type by an n-way case switch.

ഒരു n-വഴി കേസ് സ്വിച്ച് ഉപയോഗിച്ച് n ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു ടൈപ്പിന്റെ ഒരു ഘടകം നമ്മൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.


If we have a one element type, the rules may be specialised.

ഒരൊറ്റ മൂലക ടൈപ്പ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിയമങ്ങൾ പ്രത്യേകമാക്കിയേക്കാം.


The rules generating the formulas are mixed up with the rules for derivations.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്ന നിയമങ്ങൾ, നിഗമന നിയമങ്ങളുമായി കൂട്ടിക്കുഴച്ചിരിക്കുന്നു.


This means that the rules generating the formulas are inextricably mixed up with the rules for derivations.

അതായത്, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്ന നിയമങ്ങൾ, നിഗമന നിയമങ്ങളുമായി വേർതിരിക്കാനാവാത്തവിധം കൂട്ടിക്കലർത്തിയിരിക്കുന്നു.


വസ്തു അതേപോലെ തന്നെ തുല്യമാണ്.


We can derive rules which look stronger than this.

ഇതിനേക്കാൾ ശക്തമായ നിയമങ്ങൾ നമുക്ക് ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയും.


The essence of equality is that equals can be substituted for equals.

തുല്യതയുടെ കാതൽ, തുല്യമായവയ്ക്ക് തുല്യമായവയെ പ്രതിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും എന്നതാണ്.


Suppose that we have some proof p of a proposition P involving a.

a ഉൾപ്പെടുന്ന P എന്ന ഒരു പ്രസ്താവനയുടെ p എന്ന തെളിവ് നമ്മുടെ പക്കലുണ്ടെന്ന് കരുതുക.


We should be able to infer the proposition P' resulting from us replacing some of the occurrences of a in P by b.

P-യിലെ a-യുടെ ചില സ്ഥാനങ്ങളിൽ b ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി P' എന്ന പ്രസ്താവന നമുക്ക് അനുമാനിക്കാൻ കഴിയണം.


We can of course replace all the occurrences of a by making sure that x is not free in C.

തീർച്ചയായും, C-യിൽ x സ്വതന്ത്രമല്ലാത്ത രീതിയിൽ a-യുടെ എല്ലാ സ്ഥാനത്തും മാറ്റം വരുത്താനാകും.


There is one extra refinement in our rule.

നമ്മുടെ നിയമത്തിൽ ഒരല്പംകൂടി മെച്ചപ്പെടുത്താനുണ്ട്.


Leibnitz-ൻ്റെ നിയമം രൂപീകരിക്കാവുന്നതാണ്.


തുല്യത συμμεട്രിക് ആണ്.


Finally we show that it is transitive, making it an equivalence relation.

അവസാനമായി, ഇത് സംക്രമണീയമാണെന്നും, ഇത് ഒരു തുല്യതാ ബന്ധം ഉണ്ടാക്കുന്നു എന്നും നമുക്ക് കാണിക്കാം.


When we first talked about the different sorts of rule, we observed that it was the elimination rules which specified that all the elements of a type had the form introduced by the introduction rules.

വിവിധതരം നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് ആദ്യമായി സംസാരിച്ചപ്പോൾ, ഒരു തരത്തിലുള്ള എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും ആമുഖ നിയമങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ച രൂപം ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഒഴിവാക്കൽ നിയമങ്ങളാണ് എന്ന് നമ്മൾ നിരീക്ഷിച്ചു.


In order to make the system non-trivial we can add an axiom.

വ്യവസ്ഥയെ നിസ്സാരമല്ലാത്ത രീതിയിൽ ആക്കാൻ ഒരു സിദ്ധാന്തം ചേർക്കാം.


A simple example is a family of types over a boolean variable x which is N when that variable is True and bool when the variable is False.

ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം, x എന്ന ബൂളിയൻ വേരിയബിളിന്മേലുള്ള ടൈപ്പുകളുടെ ഒരു കുടുംബമാണ്, ഈ വേരിയബിൾ ശരിയാണെങ്കിൽ N ആയും, തെറ്റാണെങ്കിൽ bool ആയും വരും.


From programming, an interesting example is the predecessor function over the natural numbers.

പ്രോഗ്രാമിംഗിൽ നിന്ന്, പ്രകൃതിദത്ത സംഖ്യകളിലെ മുൻഗാമിയുടെ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു രസകരമായ ഉദാഹരണമാണ്.


In traditional programming languages, we usually give the predecessor an arbitrary value, like 0, at 0.

പരമ്പരാഗത പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളിൽ, നമ്മൾ സാധാരണയായി മുൻഗാമിയ്ക്ക് 0 പോലുള്ള ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ മൂല്യം 0-ൽ നൽകാറുണ്ട്.


അതിൻ്റെ തരം നമുക്ക് ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം.


In the induction step, we have to define the predecessor of the element (n+1) from the predecessor of n and n itself.

ഇൻഡക്ഷൻ ഘട്ടത്തിൽ, n-ൻ്റെ മുൻഗാമിയും n-ഉം ഉപയോഗിച്ച് (n+1) എന്ന അംഗത്തിൻ്റെ മുൻഗാമിയെ നിർവചിക്കേണ്ടതുണ്ട്.


What is the general form of elements of an I-type?

ഒരു I-ടൈപ്പിൻ്റെ അംഗങ്ങളുടെ പൊതുവായ രൂപം എന്താണ്?


The system uses four different notions of equality.

ഈ സിസ്റ്റം നാല് വ്യത്യസ്ത ആശയപരമായ തുല്യതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


Definitional equality is as close as we get to literal identity.

നിർവചനപരമായ തുല്യത, അക്ഷരാർത്ഥത്തിലുള്ള ഐഡൻ്റിറ്റിക്ക് നമ്മൾ എത്രത്തോളം അടുത്ത് എത്തുന്നുവോ അത്രത്തോളമാണ്.


Convertibility is external to the system.

പരിവർത്തനം എന്നത് സിസ്റ്റത്തിന് പുറത്തുള്ള ഒന്നാണ്.


Equality functions return values in the type bool.

തുല്യതാ ഫംഗ്ഷനുകൾ ബൂൾ ടൈപ്പിൽ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നു.


We compare these different relations in sections 5.7 and 5.8.

വിവിധ ബന്ധങ്ങൾ 5.7, 5.8 ഭാഗങ്ങളിൽ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു.


A truly extensional equality can be added to the system.

യഥാർത്ഥമായ ഒരു എക്സ്റ്റൻഷണൽ തുല്യത സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് ചേർക്കാൻ കഴിയും.


The system can be augmented in a number of ways.

സിസ്റ്റം നിരവധി വഴികളിൽ വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.


We look at two means of strengthening it in sections 5.9 and 5.10.

5.9, 5.10 ഭാഗങ്ങളിൽ ഇത് ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള രണ്ട് മാർഗ്ഗങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു.


The notion of a type of types is inconsistent.

ടൈപ്പുകളുടെ ഒരു ടൈപ്പ് എന്ന ആശയം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്.


We show how a sequence of ‘universes’ of types can be added.

ടൈപ്പുകളുടെ 'യൂണിവേഴ്സുകളുടെ' ഒരു ശ്രേണി എങ്ങനെ ചേർക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു.


We give the general mechanism by which well-founded types are defined.

കൃത്യമായ ടൈപ്പുകൾ നിർവചിക്കാനുള്ള പൊതുവായ സംവിധാനം ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു.


We conclude the chapter with a second look at the Curry Howard isomorphism.

കറി ഹോവാർഡ് ഐസോമോർഫിസത്തെക്കുറിച്ച് രണ്ടാമതൊന്ന് നോക്കുന്നതിലൂടെ ഈ അധ്യായം ഞങ്ങൾ ഉപസംഹരിക്കുന്നു.


Derivations depend on collections of assumptions.

നിഗമനങ്ങൾ, അനുമാനങ്ങളുടെ ശേഖരങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.


We look at the precise form that these collections take.

ഈ ശേഖരങ്ങൾ എടുക്കുന്ന കൃത്യമായ രൂപം ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു.


A useful exercise is to make an implementation of it.

ഇതൊരു നടപ്പിലാക്കൽ ഉണ്ടാക്കുക എന്നത് വളരെ പ്രയോജനകരമായ ഒരു കാര്യമാണ്.


Mathematical notation is a powerful tool.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ചിഹ്നങ്ങൾ വളരെ ശക്തമായ ഒരു ഉപകരണമാണ്.


Assumptions do not appear at the leaves of a derivation.

നിഗമനങ്ങൾ ഒരു നിഗമനത്തിന്റെ ഇലകളിൽ കാണുന്നില്ല.


There is an ordering of dependency between assumptions.

അനുമാനങ്ങൾ തമ്മിൽ ആശ്രയത്വത്തിന്റെ ഒരു ക്രമമുണ്ട്.


We may only discharge an assumption if the variable does not appear free.

ചരങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമായി ദൃശ്യമാകാത്തപ്പോൾ മാത്രമേ ഒരു അനുമാനം നീക്കം ചെയ്യാൻ കഴിയൂ.


We discharge every occurrence of that assumption.

ആ അനുമാനത്തിന്റെ എല്ലാ സംഭവങ്ങളും ഞങ്ങൾ നീക്കംചെയ്യുന്നു.


The system's rules are modified to ensure type safety.

ടൈപ്പ് സുരക്ഷ ഉറപ്പാക്കാൻ സിസ്റ്റത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ പരിഷ്കരിച്ചിരിക്കുന്നു.


a:A-യിൽ നിന്ന് A ഒരു ടൈപ്പാണെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകും.


The proof proceeds by induction over the derivation of a:A.

a:A-യുടെ ഉത്ഭവത്തെ ആശ്രയിച്ച് ഇൻഡക്ഷൻ വഴിയാണ് തെളിവ് മുന്നോട്ട് പോകുന്നത്.


In a practical system, we would separate these concerns.

പ്രായോഗികമായ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ, ഈ കാര്യങ്ങൾ നമ്മൾ വേർതിരിക്കും.


Once a type had been derived, we could construct elements of that type.

ഒരിക്കൽ ഒരു ടൈപ്പ് രൂപപ്പെട്ടാൽ, ആ ടൈപ്പിന്റെ ഘടകങ്ങൾ നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും.


പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ അതുല്യമാണ്.


The duplication of function space and product types is a problem.

ഫംഗ്ഷൻ സ്പേസിന്റെയും ഉൽപ്പന്ന തരങ്ങളുടെയും ഡ്യൂപ്ലിക്കേഷൻ ഒരു പ്രശ്നമാണ്.


We remedy this by labeling the injection operators.

ഇഞ്ചക്ഷൻ ഓപ്പറേറ്റർമാരെ ലേബൽ ചെയ്തുകൊണ്ട് നമ്മൾ ഇത് പരിഹരിക്കുന്നു.


a→b ആണെങ്കിൽ, N−HA ω-യിൽ a ∗ →b ∗ ആകും.


The Church Rosser property fails for it.

അതിനായി ചർച്ച് റോസർ പ്രോപ്പർട്ടി പരാജയപ്പെടുന്നു.


We modify the system giving an entirely different account of functional abstraction.

ഫങ്ഷണൽ ആബ്സ്ട്രാക്ഷനെക്കുറിച്ച് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു വിവരണം നൽകി ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം പരിഷ്കരിക്കുന്നു.


An alternative is to make a function or combinator definition.

ഒരു ഫംഗ്ഷനോ കോമ്പിനേറ്ററോ നിർവചിക്കുക എന്നതാണ് മറ്റൊരു മാർഗ്ഗം.


നമ്മുടെ നിർവചനം f x→(x+y) എന്ന് പറയും.


To make a proper definition of a function we need to include the variable y.

ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ശരിയായ നിർവചനം ഉണ്ടാക്കാൻ, y എന്ന വേരിയബിൾ ഉൾപ്പെടുത്തണം.


These variables can be called the parameters of the definition.

ഈ വേരിയബിളുകളെ നിർവചനത്തിന്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ എന്ന് വിളിക്കാം.


The abstraction over x is given by the term (f y).

x-നു മുകളിലുള്ള ആബ്സ്ട്രാക്ഷൻ (f y) എന്ന പദം നൽകുന്നു.


നമുക്ക് ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ സ്ഥിരമായ f രൂപീകരിക്കാം.


The computation rule for the term f is given by f x1 . . . xk x→e.

f എന്ന പദത്തിന്റെ കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ നിയമം f x1 . . . xk x→e നൽകുന്നു.


ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കാം.


This is now represented by the term (g(II)).

ഇപ്പോൾ ഇത് (g(II)) എന്ന പദം ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.


The research paper explores the concept of supercombinator abstraction.

സൂപ്പർകോമ്പിനേറ്റർ ആബ്ട്രാക്ഷൻ എന്ന ആശയം ഈ ഗവേഷണ പ്രബന്ധത്തിൽ വിശദീകരിക്കുന്നു.


In type theory, normal forms are crucial for ensuring the consistency of the system.

ടൈപ്പ് തിയറിയിൽ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്ഥിരത ഉറപ്പാക്കാൻ സാധാരണ രൂപങ്ങൾ (നോർമൽ ഫോം) അത്യാവശ്യമാണ്.


The theorem proves that every term in the type theory has a normal form.

ടൈപ്പ് തിയറിയിലെ എല്ലാ പദങ്ങൾക്കും ഒരു സാധാരണ രൂപമുണ്ടെന്ന് ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നു.


We will investigate the properties of T T c 0 in the following section.

അടുത്ത ഭാഗത്ത് നമ്മൾ T T c 0-യുടെ പ്രത്യേകതകൾ പഠിക്കും.


The normalisation result is important in itself, showing that all expressions have a value.

എല്ലാ പദങ്ങൾക്കും ഒരു മൂല്യമുണ്ടെന്ന് കാണിക്കുന്ന ഈ സാധാരണവൽക്കരണ ഫലം വളരെ പ്രധാനമാണ്.


The proof uses induction over the length of derivations of judgements.

ന്യായീകരണങ്ങളുടെ (judgements) ഉത്ഭവത്തിന്റെ (derivations) നീളത്തെ ആശ്രയിച്ചുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ രീതിയാണ് ഈ തെളിവ് നൽകുന്നത്.


We define x' to be the (informal) variable x'.

x' നെ (ഔപചാരികമല്ലാത്ത) x' എന്ന ചരമായി നമ്മൾ നിർവചിക്കുന്നു.


The stable terms of this type contain all those closed normal terms.

ഈ ടൈപ്പിന്റെ സ്ഥിരമായ പദങ്ങളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നത് എല്ലാ അടഞ്ഞ സാധാരണ പദങ്ങളാണ്.


The elimination rules introduce the projection operators.

നിർമാർജ്ജന നിയമങ്ങൾ പ്രൊജക്ഷൻ ഓപ്പറേറ്റർമാരെ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.


(inl a)' നെ inl a' എന്ന് നമ്മൾ നിർവചിക്കുന്നു.


The computation rule for ∀ states that f a → e[a/x].

∀-നുള്ള കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ നിയമം പറയുന്നത് f a → e[a/x] എന്നാണ്.


The normal form of the expression is given by the clause for ∀ elimination.

ഈ പദത്തിന്റെ സാധാരണ രൂപം ∀ നിർമാർജ്ജനത്തിനായുള്ള വ്യവസ്ഥ നൽകുന്നു.


സിസ്റ്റം ഏകരൂപമാണ്.


Two expressions are convertible if the computation steps bring them together.

കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ ഘട്ടങ്ങൾ രണ്ട് പദങ്ങളെയും ഒരുമിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ അവ പരിവർത്തനം ചെയ്യാവുന്നവയാണ്.


The normal forms in T T c 0 take specific forms.

T T c 0-ലെ സാധാരണ രൂപങ്ങൾ ചില പ്രത്യേക രൂപങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്നു.


The convertibility relation is decidable.

പരിവർത്തന ബന്ധം നിർണ്ണയിക്കാവുന്നതാണ്.


T T c 0-ൽ നിന്നുള്ളത് ഉരുത്തിരിച്ചെടുക്കാൻ സാധിക്കും.


We treat interconvertible expressions as denoting the same object.

പരസ്പരം മാറ്റിയെഴുതാൻ കഴിയുന്ന പദങ്ങളെ ഒരേ വസ്തുവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നവയായി ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു.


The proof of the theorem is based on Martin-Löf’s proof.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവ് മാർട്ടിൻ-ലോഫിന്റെ തെളിയിക്കലിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.


ഈ സിസ്റ്റം അത്ര ഔപചാരികമല്ല.


The concept of convertibility is central to this discussion.

പരിവർത്തനക്ഷമത എന്ന ആശയം ഈ ചർച്ചയുടെ കാതലാണ്.


Two terms are convertible if they have the same normal form.

രണ്ട് പദങ്ങൾക്ക് ഒരേ സാധാരണ രൂപമുണ്ടെങ്കിൽ അവ പരിവർത്തനീയമാണ്.


The relation of convertibility is decidable.

പരിവർത്തനക്ഷമതയുടെ ബന്ധം നിർണ്ണയിക്കാവുന്നതാണ്.


This means that the two expressions denote the same object.

അതായത് രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളും ഒരേ വസ്തുവിനെയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.


We can identify this object as the normal form of the expression.

ഈ വസ്തുവിനെ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ സാധാരണ രൂപമായി നമുക്ക് തിരിച്ചറിയാം.


Judgements are intended to be about the objects denoted by the expressions.

വിധികൾ പദപ്രയോഗങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്ന വസ്തുക്കളെക്കുറിച്ചുള്ളതാണ്.


Because ‘a↔↔b’ is not a proposition of the system, we are unable to build more complex assertions on the basis of it.

'a↔↔b' എന്നത് വ്യവസ്ഥയുടെ ഒരു പ്രമേയമല്ലാത്തതിനാൽ, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ കാര്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാൻ നമുക്ക് കഴിയില്ല.


We turn to our third relation, the identity predicate.

നമ്മൾ നമ്മുടെ മൂന്നാമത്തെ ബന്ധത്തിലേക്ക്, അതായത് ഐഡൻ്റിറ്റി പ്രെഡിക്കേറ്റിലേക്ക് തിരിയുന്നു.


A is a type a:A b:A I(A, a, b) is a type (IF)

A ഒരു ടൈപ്പാണ് a:A b:A I(A, a, b) ഒരു ടൈപ്പാണ് (IF)


The type is also written a=A b or even a=b when no confusion can result.

ടൈപ്പ് a=A b അല്ലെങ്കിൽ ആശയക്കുഴപ്പമില്ലെങ്കിൽ a=b എന്നും എഴുതാം.


I(A, a, b) is provable, by the object r(a), when a↔↔b.

a↔↔b ആകുമ്പോൾ, r(a) എന്ന ഒബ്ജക്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് I(A, a, b) തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.


We can see the type as an internalisation of convertibility.

പരിവർത്തനക്ഷമതയുടെ ഒരു ആന്തരികവൽക്കരണമായി നമുക്ക് ഈ ടൈപ്പിനെ കാണാം.


On top of the Itype we can build more complex assertions.

Itype-ന്റെ മുകളിൽ, നമുക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ കാര്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാം.


The expression x=A y denotes a proposition or type of the system.

x=A y എന്ന പദപ്രയോഗം വ്യവസ്ഥയുടെ ഒരു പ്രമേയത്തെയോ ടൈപ്പിനെയോ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.


In order to test for identity in a computation we require a function.

ഒരു കമ്പ്യൂട്ടേഷനിൽ ഐഡൻ്റിറ്റി പരിശോധിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ആവശ്യമാണ്.


An equality function is a boolean valued function.

ഒരു തുല്യതാ ഫംഗ്ഷൻ എന്നത് ഒരു boolean മൂല്യമുള്ള ഫംഗ്ഷനാണ്.


An equality function can be used in a computation to test for the equality of two objects.

രണ്ട് വസ്തുക്കളുടെ തുല്യത പരിശോധിക്കാൻ ഒരു തുല്യതാ ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കാം.


Note that one consequence of the definition is that for closed a,b if a↔↔b then equal A a b↔↔T rue.

നിർവചനത്തിന്റെ ഒരു പരിണതഫലം ശ്രദ്ധിക്കുക, അടഞ്ഞ a,b എന്നിവയ്ക്ക് a↔↔b ആണെങ്കിൽ equal A a b↔↔T rue.


A predicate is representable if and only if it is formally decidable.

ഒരു പ്രെഡിക്കേറ്റ് പ്രാതിനിധ്യപരമാകുന്നത് അത് ഔപചാരികമായി നിർണ്ണയിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ മാത്രമാണ്.


We can prove by induction over the construction of ground types that equality is decidable for them.

ഗ്രൗണ്ട് ടൈപ്പുകളുടെ ഘടനയെക്കുറിച്ച് ഇൻഡക്ഷൻ വഴി, അവയുടെ തുല്യത നിർണ്ണയിക്കാവുന്നതാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.


If the object does not represent a proof, it is not a proof.

വസ്തു ഒരു തെളിവായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, അത് ഒരു തെളിവല്ല.


The cases of ConjE and ImpE are difficult to understand.

ConjE, ImpE എന്നിവയുടെ കേസുകൾ മനസ്സിലാക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.


We can use the dependent type mechanism to make proof construction secure.

തെളിവ് നിർമ്മാണം സുരക്ഷിതമാക്കാൻ നമുക്ക് ആശ്രിത ടൈപ്പ് മെക്കാനിസം ഉപയോഗിക്കാം.


First, we define a function proves:proof⇒(f mla+dummy).

ആദ്യം, പ്രൂവ്സ് എന്ന ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കാം: പ്രൂഫ്⇒(f mla+dummy).


Then we define the subtypes prf f≡ df (∃p:proof).(proves p=f).

തുടർന്ന് നമ്മൾ സബ്‌ടൈപ്പുകൾ നിർവചിക്കുന്നു prf f≡ df (∃p:proof).(proves p=f).


Using these, we can give types to the functions which eliminate conjunctions.

ഇവ ഉപയോഗിച്ച്, സംയോജനങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനുകൾക്ക് ടൈപ്പുകൾ നൽകാൻ കഴിയും.


The essential effect of the functions conjE and impE is to apply the corresponding constructor.

conjE, impE എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പ്രധാന ഫലം, അനുബന്ധ കൺസ്ട്രക്റ്റർ പ്രയോഗിക്കുക എന്നതാണ്.


We can define functions tr, conjI and impI corresponding to the action of the constructors.

കൺസ്ട്രക്റ്ററുകളുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് അനുസൃതമായി tr, conjI, impI എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകൾ നിർവചിക്കാൻ കഴിയും.


The types secproof will only contain legitimate proofs.

secproof എന്ന ടൈപ്പിൽ സാധുവായ തെളിവുകൾ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.


Give definitions of the functions proves, conjE 1 and impE introduced above.

മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ച പ്രൂവ്സ്, conjE 1, impE എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ നിർവചനങ്ങൾ നൽകുക.


Give types for and then define the functions tr, conjI and impI.

ടൈപ്പുകൾ നൽകുക, തുടർന്ന് tr, conjI, impI എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകൾ നിർവചിക്കുക.


Prove that the type secproof contains only legitimate proofs.

secproof എന്ന ടൈപ്പ് സാധുവായ തെളിവുകൾ മാത്രമേ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുള്ളൂ എന്ന് തെളിയിക്കുക.


Quantification over the universes allows us to assert the existence of types.

യൂണിവേഴ്സുകളിലെ ക്വാണ്ടിഫിക്കേഷൻ, ചില തരത്തിലുള്ള ടൈപ്പുകളുടെ നിലനിൽപ്പ് ഉറപ്പുവരുത്താൻ നമ്മെ സഹായിക്കുന്നു.


We have already seen how the quicksort function qsort can be defined.

ക്വിക്ക്സോർട്ട് ഫംഗ്ഷൻ qsort എങ്ങനെ നിർവചിക്കാമെന്ന് നമ്മൾ ഇതിനകം കണ്ടു കഴിഞ്ഞു.


This parametrization is possible in a language like Miranda.

മിരാൻഡ പോലുള്ള ഒരു ഭാഷയിൽ ഈ പരാമീറ്ററൈസേഷൻ സാധ്യമാണ്.


The subtype of sorted elements of [A] is given by Slist(A).

[A]-യുടെ അടുക്കിയ ഘടകങ്ങളുടെ സബ്‌ടൈപ്പ് Slist(A) നൽകുന്നു.


Milner polymorphic types contain free type variables.

മിൽനർ പോളിമോർഫിക് ടൈപ്പുകളിൽ സ്വതന്ത്ര ടൈപ്പ് വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.


In the system T we can express different types.

T എന്ന സിസ്റ്റത്തിൽ, വ്യത്യസ്ത തരം ടൈപ്പുകൾ നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.


Quantifiers over a universe can be used to define weak versions of various familiar type constructors.

ഒരു യൂണിവേഴ്സിലെ ക്വാണ്ടിഫയറുകൾ, വിവിധ തരത്തിലുള്ള ടൈപ്പ് കൺസ്ട്രക്റ്ററുകളുടെ ദുർബലമായ പതിപ്പുകൾ നിർവചിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാം.


Given elements a:A and b:B we can define F a,b :P rod A B.

ഘടകങ്ങൾ a:A, b:B എന്നിവ നൽകിയിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നമുക്ക് F a,b :P rod A B നിർവചിക്കാം.


The system does not permit full general recursion to be used, as in an unrestricted form this can lead to non-termination.

നിയന്ത്രിക്കപ്പെടാത്ത രൂപത്തിൽ ഇത് അവസാനം കാണാത്ത അവസ്ഥയിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം എന്നതിനാൽ, പൂർണ്ണമായ പൊതു പുനരാവർത്തനം ഉപയോഗിക്കാൻ ഈ സിസ്റ്റം അനുവദിക്കുന്നില്ല.


We are already familiar with type theory as a constructive logic, and have seen a number of examples of proofs being built in.

നിർമ്മാണാത്മക യുക്തിവാദമായി ടൈപ്പ് തിയറിയെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാം, കൂടാതെ തെളിവുകളുടെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതിൽ നിർമ്മിക്കുന്നത് കണ്ടിട്ടുണ്ട്.


Every expression has a defined value; every program terminates.

ഓരോ എക്സ്പ്രഷനും നിർവചിക്കപ്പെട്ട മൂല്യമുണ്ട്; എല്ലാ പ്രോഗ്രാമുകളും അവസാനിപ്പിക്കുന്നു.


We can use the logical system to reason about the properties of programs.

പ്രോഗ്രാമുകളുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ച് ന്യായവാദം ചെയ്യാൻ നമുക്ക് ലോജിക്കൽ സിസ്റ്റം ഉപയോഗിക്കാം.


We begin our discussion by looking at T as a functional language.

ഒരു ഫങ്ഷണൽ ഭാഷയായി T-യെ നോക്കിക്കൊണ്ട് നമ്മുടെ ചർച്ച ആരംഭിക്കാം.


Because the language is terminating, a number of familiar functions, like the function taking the head of a list, need to be defined in novel ways.

ഭാഷ അവസാനിപ്പിക്കുന്ന ഒന്നായതുകൊണ്ട്, ഒരു ലിസ്റ്റിന്റെ തലയെടുക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ പോലുള്ള ചില പരിചിതമായ ഫംഗ്ഷനുകൾ പുതിയ രീതിയിൽ നിർവചിക്കേണ്ടതുണ്ട്.


We are able thus to express more precisely the true types of functions, using for instance the existential quantifier to build a subset type.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഉപവിഭാഗം ടൈപ്പ് നിർമ്മിക്കാൻ, എക്സിസ്റ്റൻഷ്യൽ ക്വാണ്ടിഫയർ ഉപയോഗിച്ച്, ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ശരിയായ തരങ്ങൾ കൂടുതൽ കൃത്യമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ നമുക്ക് കഴിയും.


This intermingling of verification and computation is characteristic of type theory.

പരിശോധനയുടെയും കമ്പ്യൂട്ടേഷന്റെയും ഈ കൂടിച്ചേരൽ ടൈപ്പ് തിയറിയുടെ പ്രത്യേകതയാണ്.


We concentrate on examples over the natural numbers and lists in this section.

ഈ ഭാഗത്ത്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെയും ലിസ്റ്റുകളെയും കുറിച്ചുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു.


Theorem 5.45 shows that anything provably total in PA can be programmed in T.

തിയറം 5.45 PA-യിൽ തെളിയിക്കാവുന്ന എന്തും T-യിൽ പ്രോഗ്രാം ചെയ്യാമെന്ന് കാണിക്കുന്നു.


Primitive recursion defines a value at (n+1) from the value at the immediate predecessor n.

പ്രിമിറ്റീവ് റിക്കർഷൻ (n+1)-ൽ ഒരു മൂല്യം, n-ലെ തൽക്ഷണ മുൻഗാമിയുടെ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് നിർവചിക്കുന്നു.


In some cases, the definition of the function itself depends upon an inductive proof that it terminates.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനം തന്നെ, അത് അവസാനിപ്പിക്കുമെന്ന ഇൻഡക്റ്റീവ് പ്രൂഫിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.


We can supply an extra parameter to the function, which is to be returned in the case that the list argument is the empty list.

ലിസ്റ്റ് ആർഗ്യുമെന്റ് ശൂന്യമായ ലിസ്റ്റാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് ഒരു അധിക പാരാമീറ്റർ നൽകാം, അത് തിരികെ നൽകും.


Two standard functions which we can define without difficulty are the function returning the length of a list, usually written #, and the function which joins two lists together, ++.

ഒരു ലിസ്റ്റിന്റെ നീളം നൽകുന്ന ഫംഗ്ഷൻ, സാധാരണയായി # എന്നും, രണ്ട് ലിസ്റ്റുകൾ ഒരുമിപ്പിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ ++ എന്നിവയും പ്രയാസമില്ലാതെ നിർവചിക്കാൻ കഴിയുന്ന രണ്ട് സാധാരണ ഫംഗ്ഷനുകളാണ്.


What do we do when m is out of the range 0, . . . , n−1?

m, 0, . . . , n−1 എന്ന ശ്രേണിക്ക് പുറത്താണെങ്കിൽ, നമ്മൾ എന്ത് ചെയ്യും?


The crucial reduction to ensure ‘directness of proof’ is that embodied in our computation rules.

തെളിവിന്റെ ‘നേരിട്ടുള്ള സ്വഭാവം’ ഉറപ്പാക്കുന്നതിനുള്ള നിർണായകമായ ചുരുക്കമാണ് നമ്മുടെ കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ നിയമങ്ങളിൽ ഉൾക്കൊള്ളുന്നത്.


The alternative rule, which we call (⇒I) alt would discharge all assumptions of A.

(⇒I) alt എന്ന് നമ്മൾ വിളിക്കുന്ന, ഈ ബദൽ നിയമം A-യുടെ എല്ലാ അനുമാനങ്ങളും ഒഴിവാക്കും.


The identification of propositions and types, proofs and objects has been fundamental to our investigation so far.

പ്രൊപ്പോസിഷനുകളും തരങ്ങളും, തെളിവുകളും വസ്തുക്കളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം, ഇന്നുവരെ നമ്മുടെ അന്വേഷണത്തിന് അടിസ്ഥാനപരമായിരുന്നു.


This is not the most natural way to proceed; in the next chapter we look at the ways in which functions are most naturally implemented in the language.

ഇത് മുന്നോട്ട് പോകാനുള്ള ഏറ്റവും സ്വാഭാവികമായ വഴിയല്ല; അടുത്ത അധ്യായത്തിൽ, ഫംഗ്ഷനുകൾ ഭാഷയിൽ ഏറ്റവും സ്വാഭാവികമായി നടപ്പിലാക്കുന്ന വഴികൾ നമ്മൾ പരിശോധിക്കും.


We follow this with a more detailed survey of the uses of dependent types, especially in the presence of universes.

യൂണിവേഴ്സുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തിൽ, ഡിപെൻഡന്റ് ടൈപ്പുകളുടെ ഉപയോഗങ്ങളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ വിശദമായ സർവേ തുടർന്ന് നടത്താം.


സൂചിക ‘പരിധിക്ക് പുറത്താണ്’ എങ്കിൽ.


Recall the definition of<in section 6.1.2.

6.1.2-ാം വകുപ്പിൽ നൽകിയിട്ടുള്ള നിർവചനം ഓർക്കുക.


We define the function index to have the type (∀l:[A]).(∀n:N).((n <#l)⇒A)

index എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ (∀l:[A]).(∀n:N).((n <#l)⇒A) എന്ന ടൈപ്പ് ആയി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.


Given a list l, a natural number n, and a proof that n is smaller than the length of l we return the nth element of l.

ഒരു ലിസ്റ്റ് l, ഒരു നാച്ചുറൽ നമ്പർ n, കൂടാതെ n, l-ൻ്റെ നീളത്തേക്കാൾ ചെറുതാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്ന ഒരു പ്രൂഫ് എന്നിവ നൽകിയിരിക്കുന്നു. l-ൻ്റെ n-ആം ഘടകം ഞങ്ങൾ തിരികെ നൽകുന്നു.


index എങ്ങനെയാണ് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്?


രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഭാഗങ്ങൾ വ്യക്തമാണ്.


What is happening in the first? p is a proof that (n <#[ ]) that is (n <0), which is ⊥— we can define an element of A from p using abort A .

ഒന്നാമത്തേതിൽ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നത്? p എന്നത് (n <#[ ]) അതായത് (n <0) എന്നതിൻ്റെ തെളിവാണ്, ഇത് ⊥ ആണ്—abort A ഉപയോഗിച്ച് A-യുടെ ഒരു ഘടകം p-യിൽ നിന്ന് നിർവചിക്കാൻ കഴിയും.


It is interesting to see that the definition of index can be made either by induction over N with a subsidiary induction over [A], or vice versa— the two arguments are independent of each other.

index-ൻ്റെ നിർവചനം N-ൽ ഇൻഡക്ഷൻ വഴിയോ അല്ലെങ്കിൽ [A]-യിൽ സഹായകമായ ഇൻഡക്ഷൻ വഴിയോ ഉണ്ടാക്കാമെന്നത് രസകരമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും- രണ്ട് ആർഗ്യുമെൻ്റുകളും പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമാണ്.


Now we can return to the example of course-of-values recursion, as we have defined all the auxiliary functions that are needed.

ആവശ്യമായ എല്ലാ സഹായക ഫംഗ്‌ഷനുകളും ഇപ്പോൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, കോഴ്സ്-ഓഫ്-വാല്യൂസ് റിക്രൂഷൻ്റെ ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് തിരികെ വരാം.


Taking a special case of the power function, we have pow0≡ df 1

പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് എടുക്കുമ്പോൾ, pow0≡ df 1


which can be rewritten thus, where h is a primitive recursive function, pow0≡ df 1

ഇവ വീണ്ടും എഴുതാം, ഇവിടെ h ഒരു പ്രാകൃത റിക്രസീവ് ഫംഗ്‌ഷനാണ്, pow0≡ df 1


Transforming this into a list definition, we have g0≡ df [1]

ഇതൊരു ലിസ്റ്റ് നിർവചനത്തിലേക്ക് മാറ്റുമ്പോൾ, g0≡ df [1]


The subexpression g! (n+1div2) is informal; index takes a third argument which is a proof object, legitimising the application.

സബ്‌എക്‌സ്‌പ്രഷൻ g! (n+1div2) അനൗപചാരികമാണ്; index ഒരു മൂന്നാമത്തെ ആർഗ്യുമെൻ്റ് എടുക്കുന്നു, അതൊരു പ്രൂഫ് ഒബ്ജക്റ്റാണ്, ഇത് ആപ്ലിക്കേഷനെ നിയമവിധേയമാക്കുന്നു.


The application will be legitimate if we can show that (n+1div2)<#(g n)

(n+1div2)<#(g n) എന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ആപ്ലിക്കേഷൻ നിയമപരമാകും.


This will follow from proofs of (0< m)⇒(m div2< m) which is standard, and #(g n) = (n+ 1)(6.1) which we have to establish by induction, simultaneously with the definition itself.

(0< m)⇒(m div2< m) എന്നതിൻ്റെ തെളിവുകളിൽ നിന്നും ഇത് പിന്തുടരും, ഇത് സാധാരണമാണ്, കൂടാതെ #(g n) = (n+ 1)(6.1) ഇത് ഇൻഡക്ഷൻ വഴി സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്, നിർവചനത്തോടൊപ്പം തന്നെ.


Transforming again, we define a function which returns a pair (g n , p n ) where p n proves the assertion (6.1).

വീണ്ടും രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, (g n , p n ) എന്ന ജോഡി നൽകുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ നമ്മൾ നിർവചിക്കുന്നു, അവിടെ p n പ്രസ്താവന (6.1) തെളിയിക്കുന്നു.


To extract the result (f n) from the value (g n) we apply the head function.

(g n) എന്ന മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് ഫലം (f n) വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ, നമ്മൾ head ഫംഗ്‌ഷൻ പ്രയോഗിക്കുന്നു.


Remember that to do this we need a proof that the list is non-empty.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ലിസ്റ്റ് ശൂന്യമല്ലാത്തതാണെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് ഓർക്കുക.


We can use (6.1) again here to show this, as it states that all the values (g n) have positive length, and so none of them can be empty.

ഇത് കാണിക്കാൻ നമുക്ക് ഇവിടെ (6.1) വീണ്ടും ഉപയോഗിക്കാം, കാരണം എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും (g n) പോസിറ്റീവ് ലെങ്ത് ഉണ്ട്, അതിനാൽ അവയിലൊന്നും ശൂന്യമായിരിക്കാൻ കഴിയില്ല.


We can see from the derivation of the function above that the system is quite different from a traditional functional programming system, in that the definition of a function cannot be separated from a proof that it terminates.

മുകളിലുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനം അത് അവസാനിപ്പിക്കുമെന്ന പ്രൂഫിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, ഈ സിസ്റ്റം പരമ്പരാഗത ഫംഗ്‌ഷണൽ പ്രോഗ്രാമിംഗ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും.


Consider a type like (∃A:U 0 ). P(A) What do objects of this type look like?

(∃A:U 0 ). P(A) എന്നതുപോലെയുള്ള ഒരു തരം പരിഗണിക്കുക. ഈ തരത്തിലുള്ള വസ്തുക്കൾ എങ്ങനെയിരിക്കും?


They are pairs (A, p) of objects, A:U 0 andp:P(A) 178CHAPTER 5. EXPLORING TYPE THEORY Ais a (small) type, andpis a proof that it has the propertyP(A).

അവ ജോഡി (A, p) വസ്തുക്കളാണ്, A:U 0, p:P(A) 178 അധ്യായം 5. ടൈപ്പ് തിയറിയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം A ഒരു (ചെറിയ) തരമാണ്, കൂടാതെ p എന്നത് P(A) എന്ന പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ടെന്നതിന്റെ തെളിവാണ്.


Suppose we have definedP(A) to be (A⇒A)∧(A⇒A) then an object of the existential type will be a typeAtogether with p: (A⇒A)∧(A⇒A) that is a pair of functions fromAto itself.

P(A)-യെ (A⇒A)∧(A⇒A) എന്ന് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് കരുതുക, അസ്തിത്വപരമായ ടൈപ്പിന്റെ ഒരു ഒബ്ജക്റ്റ് A എന്ന ടൈപ്പിനൊപ്പം p: (A⇒A)∧(A⇒A) ആയിരിക്കും, അതായത് A-യിൽ നിന്നുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ജോഡിയായിരിക്കും അത്.


An object of this type is equiv- alent to an implementation of an abstract type, with signature (written in Miranda notation) abstype A with f1 :: A -> A f2 :: A -> A wheref1andf2are the first and second projections ofp, of course.

ഈ തരത്തിലുള്ള ഒരു വസ്തു, സിഗ്നേച്ചർ (മിരാൻഡ നൊട്ടേഷനിൽ എഴുതിയത്) abstype A with f1 :: A -> A f2 :: A -> A എന്നിവയുള്ള ഒരു അമൂർത്ത ടൈപ്പിന്റെ നടപ്പിലാക്കലിന് തുല്യമാണ്, അവിടെ f1, f2 എന്നിവ p-യുടെ ആദ്യത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും പ്രൊജക്ഷനുകളാണ്.


We shall have more to say about quantified types in the following chap- ter, where we look at a series of examples.

അടുത്ത അധ്യായത്തിൽ അളവ് നിർണ്ണയിക്കുന്ന തരങ്ങളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ പറയാനുണ്ട്, അവിടെ നമ്മൾ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിക്കും.


The usual way that we characterise the members of a type is by a pair of rules: the introduction rule explains what objects are permitted to be ele- ments of the type, and the elimination rule (together with the computation rule) characterises these elements as theonlyelements of the type.

ഒരു ടൈപ്പിലെ അംഗങ്ങളെ നമ്മൾ സാധാരണയായി രണ്ട് നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത്: ഇൻട്രൊഡക്ഷൻ നിയമം, ടൈപ്പിന്റെ ഘടകങ്ങളായി ഏതൊക്കെ വസ്തുക്കളെ അനുവദിക്കുമെന്നും, എലിമിനേഷൻ നിയമം (കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ നിയമത്തോടൊപ്പം) ഈ ഘടകങ്ങളെ ടൈപ്പിന്റെ ഒരേയൊരു ഘടകമായി ചിത്രീകരിക്കുന്നു.


We could call the latter rules theclosureaxioms for the type.

പിന്നീടുള്ള നിയമങ്ങളെ ടൈപ്പിനായുള്ള ക്ലോഷർ ആക്സിയോംസ് എന്ന് വിളിക്കാം.


It is the closure axioms for a typeAwhich allow us to prove properties for all elements of A, and to define functions by recursion overA.

A എന്ന ടൈപ്പിനായുള്ള ക്ലോഷർ ആക്സിയോംസാണ് A-യിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും പ്രോപ്പർട്ടികൾ തെളിയിക്കാനും A-യിൽ ആവർത്തനത്തിലൂടെ ഫംഗ്ഷനുകൾ നിർവചിക്കാനും നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നത്.


The rules we have given for universes correspond to introduction rules; if we wish to define functions by recursion over the universe we need a closure axiom to that effect.

യൂണിവേഴ്സുകൾക്കായി നമ്മൾ നൽകിയിട്ടുള്ള നിയമങ്ങൾ ഇൻട്രൊഡക്ഷൻ നിയമങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു; യൂണിവേഴ്സിനുമേൽ ആവർത്തനത്തിലൂടെ ഫംഗ്ഷനുകൾ നിർവചിക്കാൻ നമ്മൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അതിനായി ഒരു ക്ലോഷർ ആക്സിയോം ആവശ്യമാണ്.


In Martin-L ̈of’s treatment of the system, these axioms have been omitted deliberately; for philosophical reasons he has chosen to make the universes open-ended, so that other type forming operations can be added to the system without violating the closure axioms.

സിസ്റ്റത്തെക്കുറിച്ചുള്ള മാർട്ടിൻ-ലോഫിന്റെ പഠനത്തിൽ, ഈ ആക്സിയോംസ് മനഃപൂർവ്വം ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു; തത്ത്വചിന്താപരമായ കാരണങ്ങളാൽ, യൂണിവേഴ്സുകളെ തുറന്നുവിടാൻ അദ്ദേഹം തിരഞ്ഞെടുത്തു, അതുവഴി ക്ലോഷർ ആക്സിയോംസിനെ ലംഘിക്കാതെ തന്നെ മറ്റ് ടൈപ്പ് രൂപീകരണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് ചേർക്കാൻ കഴിയും.


The closure axioms permit us to define polymorphic functions which fail to be parametric ([Str67]).

ക്ലോഷർ ആക്സിയോംസ്, പാരാമെട്രിക് അല്ലാത്ത പോളിമോർഫിക് ഫംഗ്ഷനുകൾ നിർവചിക്കാൻ നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു ([Str67]).


We could, for instance, define a function which was the identity function on all types butN, and which was the successor functionλn .(succ n) onN.

ഉദാഹരണത്തിന്, N ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ ടൈപ്പുകളിലും ഐഡന്റിറ്റി ഫംഗ്ഷനും, N-ൽ സക്സസ്സർ ഫംഗ്ഷൻ λn .(succ n) ആയും പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കാൻ കഴിയും.


This would have the type (∀A:U 0 ).(A⇒A) just as did the polymorphic identity function, which had a parametric def- inition — we did not perform any analysis on the type variableAin the definition of the identity function, it was simply aparameter.

പോളിമോർഫിക് ഐഡന്റിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ ചെയ്തതുപോലെ, ഇതിന് (∀A:U 0 ).(A⇒A) എന്ന ടൈപ്പ് ഉണ്ടാകും, അതിന് ഒരു പാരാമെട്രിക് നിർവചനം ഉണ്ടായിരുന്നു - ഐഡന്റിറ്റി ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിൽ ടൈപ്പ് വേരിയബിൾ A-യിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു വിശകലനവും നടത്തിയില്ല, അത് ഒരു പാരാമീറ്റർ മാത്രമായിരുന്നു.


Why do we stop with a chain of universesU 0 , U 1 , . . ., when there are natural functions which cannot be defined in the system?

സിസ്റ്റത്തിൽ നിർവചിക്കാൻ കഴിയാത്ത സ്വാഭാവിക ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ടാകുമ്പോൾ, U 0 , U 1 , . . .എന്നീ യൂണിവേഴ്സുകളുടെ ശൃംഖലയിൽ നമ്മൾ എന്തുകൊണ്ട് നിർത്തുന്നു?


The obvious one which springs to mind is (λn:N). U n which clearly inhabits none of theU n .

മനസ്സിലേക്ക് വരുന്ന വ്യക്തമായ ഒന്ന് (λn:N). U n ആണ്, ഇത് വ്യക്തമായും U n-ൽ ഒന്നുപോലുമില്ല.


To give this a type we need to add the firsttransfiniteuniverseU ω , which is itself a member ofU ω+1 , and so we can iterate through the constructive ordinals.

ഇതൊരു ടൈപ്പ് നൽകുന്നതിന്, നമ്മൾ ആദ്യത്തെ ട്രാൻസ്ഫൈനൈറ്റ് യൂണിവേഴ്സ് U ω ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഇത് U ω+1-ന്റെ ഒരു അംഗമാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് കൺസ്ട്രക്ടീവ് ഓർഡിനലുകളിലൂടെ കടന്നുപോകാമ.


Whether this extension is interesting, either proof theoretically or from the point of view of programming, is open to question, but the interested reader may wish to consult [And65] for a similar transfinite theory.

ഈ വിപുലീകരണം, പ്രൂഫ് തിയററ്റിക്കലി ആയാലും പ്രോഗ്രാമിംഗിന്റെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ ആയാലും, രസകരമാണോ എന്നത് ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടുന്നു, എന്നാൽ താൽപ്പര്യമുള്ള വായനക്കാർക്ക് സമാനമായ ട്രാൻസ്ഫൈനൈറ്റ് സിദ്ധാന്തത്തിനായി [And65] പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്.


Another possible direction is to distinguish between the types which are sets, such asNandtree, and the propositions, and to try to extend the type theory with a type of propositions.

N, ട്രീ തുടങ്ങിയ സെറ്റുകളായ ടൈപ്പുകളും, പ്രൊപ്പോസിഷനുകളും തമ്മിൽ വേർതിരിക്കുകയും, പ്രൊപ്പോസിഷനുകളുടെ ഒരു ടൈപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് ടൈപ്പ് തിയറി വികസിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ് മറ്റൊരു സാധ്യത.


This has itself been shown to be inconsistent in [Jac89].

ഇത് [Jac89]-ൽ പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.


If one is prepared to limit the type forming operations, then systems with a type of types can be built consistently.

ടൈപ്പ് രൂപീകരണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരിമിതപ്പെടുത്താൻ തയ്യാറാണെങ്കിൽ, ടൈപ്പുകളുടെ ഒരു ടൈപ്പ് ഉള്ള സിസ്റ്റങ്ങൾ സ്ഥിരതയോടെ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും.


പൂച്ച പായയിൽ ഇരുന്നു.


ഇന്നത്തെ കാലാവസ്ഥ വളരെ സുഖകരമാണ്.


I am going to the market to buy some vegetables.

ഞാൻ കുറച്ച് പച്ചക്കറികൾ വാങ്ങാൻ മാർക്കറ്റിൽ പോകുന്നു.


Could you please help me with this problem?

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് എന്നെ സഹായിക്കാമോ?


The company announced a new product launch.

കമ്പനി ഒരു പുതിയ ഉൽപ്പന്നം പുറത്തിറക്കുന്നതായി പ്രഖ്യാപിച്ചു.


The government is implementing new policies to boost the economy.

സമ്പദ്‌വ്യവസ്ഥയെ ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനായി സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കുകയാണ്.


The research team is working on a new vaccine.

ഗവേഷണ സംഘം ഒരു പുതിയ വാക്സിൻ്റെ പുറകിലാണ്.


The algorithm efficiently sorts the data.

അൽഗോരിതം ഡാറ്റയെ കാര്യക്ഷമമായി അടുക്കുന്നു.


The complex system requires careful analysis.

സങ്കീർണ്ണമായ ഈ സിസ്റ്റത്തിന് സൂക്ഷ്മമായ വിശകലനം ആവശ്യമാണ്.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

പ്രതിസന്ധികൾ ഉണ്ടായിട്ടും, അവർ അതിജീവിച്ചു വിജയിച്ചു.


The philosophical implications of the discovery are profound.

ഈ കണ്ടെത്തലിൻ്റെ തത്വചിന്താപരമായ സൂചനകൾ വളരെ വലുതാണ്.


The intricate details of the contract were meticulously examined.

കരാറിലെ സങ്കീർണ്ണമായ വിശദാംശങ്ങൾ സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിച്ചു.


The economic downturn had a significant impact on global markets.

സാമ്പത്തിക മാന്ദ്യം ലോക വിപണികളിൽ കാര്യമായ സ്വാധീനം ചെലുത്തി.


The quantum entanglement phenomenon continues to baffle scientists.

ക്വാണ്ടം എൻ്റെൻ്റെംഗിൾമെൻ്റ് പ്രതിഭാസം ശാസ്ത്രജ്ഞരെ ഇപ്പോഴും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു.


The judge delivered a scathing indictment of the defendant's actions.

പ്രതിയുടെ പ്രവൃത്തികളെക്കുറിച്ച് ജഡ്ജി രൂക്ഷമായ വിമർശനം നടത്തി.


The algorithm's efficiency is directly proportional to the size of the input data.

അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ കാര്യക്ഷമത ഇൻപുട്ട് ഡാറ്റയുടെ വലുപ്പത്തിനനുസരിച്ച് നേരിട്ട് അനുപാതത്തിലാണ്.


The company's strategic pivot resulted in a significant increase in market share.

കമ്പനിയുടെ തന്ത്രപരമായ നീക്കം വിപണി വിഹിതത്തിൽ വലിയ വർധനവിന് കാരണമായി.


The implications of artificial intelligence on society are far-reaching and multifaceted.

സമൂഹത്തിൽ ആർട്ടിഫിഷ്യൽ ഇൻ്റലിജൻസിൻ്റെ (കൃത്രിമ ബുദ്ധി) പ്രത്യാഘാതങ്ങൾ വളരെ ദൂരവ്യാപകവും വിവിധ തലങ്ങളുള്ളതുമാണ്.


The intricate interplay of economic factors contributed to the financial crisis.

സാമ്പത്തിക ഘടകങ്ങളുടെ സങ്കീർണ്ണമായ പരസ്പരബന്ധം സാമ്പത്തിക പ്രതിസന്ധിക്ക് കാരണമായി.


The philosophical underpinnings of the theory are subject to ongoing debate.

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തത്വചിന്താപരമായ അടിസ്ഥാനങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഇപ്പോഴും ചർച്ചകൾ നടക്കുന്നു.


A function is tail recursive if its definition takes a specific form.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ അതിന്റെ നിർവചനം ഒരു പ്രത്യേക രൂപം സ്വീകരിക്കുന്നു എങ്കിൽ അത് ടെയിൽ റിcursive ആണ്.


These functions are called tail recursive since the recursive calls are in the tail of the code.

ഈ ഫംഗ്ഷനുകളെ ടെയിൽ റിcursive എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം റിcursive കോളുകൾ കോഡിന്റെ ടെയിലിലാണ്.


Why should these functions be identified with imperative programs?

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഈ ഫംഗ്ഷനുകളെ ഇംപെറേറ്റീവ് പ്രോഗ്രാമുകളുമായി തിരിച്ചറിയേണ്ടത്?


If the condition is true, we make a recursive call.

നിബന്ധന ശരിയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു റിcursive കോൾ നടത്തുന്നു.


ഞങ്ങൾ സമാന്തര നിയമനം നടത്തുന്നു.


To illustrate the point, there follows a tail recursive version of the factorial function.

ഈ ആശയം വ്യക്തമാക്കാൻ, ഫാക്ടോറിയൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ടെയിൽ റിcursive പതിപ്പ് താഴെ നൽകുന്നു.


ഇതൊരു ഒറ്റപ്പെട്ട പ്രതിഭാസമല്ല.


Every primitive recursive function can be given a tail recursive definition.

എല്ലാ പ്രാഥമിക റിcursive ഫംഗ്ഷനും ഒരു ടെയിൽ റിcursive നിർവചനം നൽകാൻ കഴിയും.


The idea of the transformation is that the last argument starts off at c.

രൂപാന്തരീകരണത്തിന്റെ ആശയം അവസാനത്തെ ആർഗ്യുമെന്റ് c-യിൽ ആരംഭിക്കുന്നു എന്നതാണ്.


The result is a corollary of the following theorem.

ഫലം താഴെ പറയുന്ന സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു ഉപസിദ്ധാന്തമാണ്.


The proof is by induction over the difference n-m.

പ്രൂഫ് n-m എന്ന വ്യത്യാസത്തെ ആശ്രയിച്ചുള്ള ഇൻഡക്ഷൻ വഴിയാണ്.


Note that in the action of tprim the first three arguments are not modified.

tprim-ന്റെ പ്രവർത്തനത്തിൽ ആദ്യത്തെ മൂന്ന് ആർഗ്യുമെന്റുകൾ പരിഷ്കരിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.


The corollary justifies the transformation of any primitive recursive function.

ഏതൊരു പ്രാഥമിക റിcursive ഫംഗ്ഷന്റെയും രൂപാന്തരീകരണത്തെ ഈ ഉപസിദ്ധാന്തം ന്യായീകരിക്കുന്നു.


We can prove similar theorems for the other recursion operators.

മറ്റ് റിcursion ഓപ്പറേറ്റർമാർക്കും സമാനമായ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.


In the case that it cannot, other coding techniques can be found.

അങ്ങനെ ചെയ്യാൻ കഴിയാത്ത സാഹചര്യത്തിൽ, മറ്റ് കോഡിംഗ് ടെക്നിക്കുകൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.


If we take any imperative program there will be a functional form for it.

ഏതൊരു ഇംപെറേറ്റീവ് പ്രോഗ്രാമും എടുത്താൽ, അതിനൊരു ഫംഗ്ഷണൽ രൂപം ഉണ്ടാകും.


Give tail recursive forms of the recursion operators over lists and trees.

ലിസ്റ്റുകളിലെയും ട്രീകളിലെയും റിcursion ഓപ്പറേറ്റർമാരുടെ ടെയിൽ റിcursive രൂപങ്ങൾ നൽകുക.


Comment on the space efficiency of the tail recursive form of the factorial function.

ഫാക്ടോറിയൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ടെയിൽ റിcursive രൂപത്തിന്റെ സ്പേസ് കാര്യക്ഷമതയെക്കുറിച്ച് അഭിപ്രായമെഴുതുക.


This section provides a survey of examples in the published literature.

ഈ ഭാഗം പ്രസിദ്ധീകരിക്കപ്പെട്ട സാഹിത്യത്തിലെ ഉദാഹരണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു സർവേ നൽകുന്നു.


Many of the examples use the subset type.

ഉദാഹരണങ്ങളിൽ പലതും സബ്‌സെറ്റ് ടൈപ്പ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.


The verification steps are separated for clarity.

പരിശോധനാ ഘട്ടങ്ങൾ വ്യക്തതയ്ക്കായി വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു.


We used a series of simple transformations.

ലളിതമായ രൂപാന്തരീകരണങ്ങളുടെ ഒരു പരമ്പരയാണ് ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചത്.


This approach seems to separate the logical and computational aspects.

ഈ സമീപനം, യുക്തിപരമായതും കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽതുമായ വശങ്ങളെ വേർതിരിക്കുന്നതായി തോന്നുന്നു.


We have not found any examples in the literature that are not amenable to this treatment.

ഈ രീതിക്ക് അനുയോജ്യമല്ലാത്ത ഒരു ഉദാഹരണവും സാഹിത്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ല.


സബ്‌സെറ്റ് ടൈപ്പ് ഉപയോഗിക്കുന്നത് പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു.


It is not possible to recover the witnessing information from a subset type.

ഒരു സബ്‌സെറ്റ് ടൈപ്പിൽ നിന്ന് സാക്ഷ്യപ്പെടുത്തുന്ന വിവരങ്ങൾ വീണ്ടെടുക്കാൻ കഴിയില്ല.


The existential type should be used, retaining the witnessing information.

സാക്ഷ്യപ്പെടുത്തുന്ന വിവരങ്ങൾ നിലനിർത്തുന്നതിനായി, എക്സിസ്റ്റൻഷ്യൽ ടൈപ്പ് ഉപയോഗിക്കണം.


An important tool for programmers is the ability to define an equality relation.

പ്രോഗ്രാമർമാർക്കുള്ള ഒരു പ്രധാന ഉപകരണം, തുല്യതാ ബന്ധം നിർവചിക്കാനുള്ള കഴിവാണ്.


We might choose to represent finite sets by finite lists.

പരിമിതമായ സെറ്റുകളെ പരിമിതമായ ലിസ്റ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാം.


These types are a part of the Nuprl system.

ഈ തരത്തിലുള്ളവ Nuprl സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഭാഗമാണ്.


We start with an exposition of the quotient type.

ക്വാഷ്യന്റ് ടൈപ്പിന്റെ ഒരു വിവരണത്തോടെയാണ് നമ്മൾ ആരംഭിക്കുന്നത്.


The introduction rule breaks unicity of typing.

മുഖവരി നിയമം ടൈപ്പിംഗിന്റെ ഏകത്വം തകർക്കുന്നു.


If we define a function over a quotient type, the value on equivalent elements has to be equal.

ഒരു ക്വാഷ്യന്റ് ടൈപ്പിന് മുകളിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുകയാണെങ്കിൽ, തുല്യമായ ഘടകങ്ങളിലെ മൂല്യം തുല്യമായിരിക്കണം.


The elimination rule for the quotient type must reflect this.

ക്വാഷ്യന്റ് ടൈപ്പിനായുള്ള ഒഴിവാക്കൽ നിയമം ഇത് പ്രതിഫലിക്കണം.


There is no separate computation rule for the quotient type.

ക്വാഷ്യന്റ് ടൈപ്പിനായി പ്രത്യേക കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ നിയമങ്ങളൊന്നുമില്ല.


Equivalent elements are deemed to be equal.

തുല്യമായ ഘടകങ്ങൾ തുല്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.


This has the effect of allowing equivalent elements to be substituted.

തുല്യമായ ഘടകങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഇത് അനുവദിക്കുന്നു.


A typical example of a quotient type is that of the rationals.

ക്വാഷ്യന്റ് ടൈപ്പിന്റെ ഒരു സാധാരണ ഉദാഹരണം റാഷണലുകളാണ്.


The sum of two rationals is defined to be...

രണ്ട് റാഷണലുകളുടെ ആകെത്തുക നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്...


Nowhere is the difference between classical and constructive mathematics more evident.

ക്ലാസിക്കൽ, കൺസ്ട്രക്ടീവ് ഗണിതശാസ്ത്രങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഏറ്റവും വ്യക്തമാകുന്നത് ഇവിടെയാണ്.


പുസ്തകം മേശപ്പുറത്താണ്.


നിങ്ങളുടെ പേരെന്താണ്?


ഞാൻ കമ്പോളത്തിലേക്ക് പോകുന്നു.


ഇന്നത്തെ കാലാവസ്ഥ വളരെ സുഖകരമാണ്.


ദയവായി എന്നെ ഇതിൽ സഹായിക്കാമോ?


The company announced a new product launch.

കമ്പനി ഒരു പുതിയ ഉൽപ്പന്നം പുറത്തിറക്കുന്നതായി പ്രഖ്യാപിച്ചു.


The algorithm efficiently sorts the data.

അൽഗോരിതം ഡാറ്റയെ കാര്യക്ഷമമായി അടുക്കുന്നു.


The research paper explores the implications of quantum entanglement.

ഗവേഷണ പ്രബന്ധം ക്വാണ്ടം എൻ്റെൻ്റെംഗിൾമെൻ്റിൻ്റെ (quantum entanglement) പ്രത്യാഘാതങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു.


The government is implementing new policies to boost the economy.

സമ്പദ്‌വ്യവസ്ഥയെ ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനായി സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കുകയാണ്.


The patient's condition improved significantly after the surgery.

ശസ്ത്രക്രിയയ്ക്ക് ശേഷം രോഗിയുടെ അവസ്ഥയിൽ കാര്യമായ പുരോഗതിയുണ്ടായി.


The teacher explained the concept clearly to the students.

അധ്യാപകൻ ആശയം വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വ്യക്തമായി വിശദീകരിച്ചു.


The software update includes several bug fixes and performance improvements.

സോഫ്റ്റ്‌വെയർ അപ്‌ഡേറ്റിൽ നിരവധി ബഗ് പരിഹാരങ്ങളും പ്രകടനം മെച്ചപ്പെടുത്തലും ഉൾപ്പെടുന്നു.


The artist's work is known for its vibrant colors and bold strokes.

ചിത്രകാരൻ്റെ സൃഷ്ടി, തിളക്കമുള്ള വർണ്ണങ്ങൾക്കും ധീരമായ വരകൾക്കും പേരുകേട്ടതാണ്.


The company's profits increased by 15% in the last quarter.

കഴിഞ്ഞ പാദത്തിൽ കമ്പനിയുടെ ലാഭം 15% വർധിച്ചു.


The team is working hard to meet the deadline.

സമയം തെറ്റാതെ തീർക്കാൻ ടീം കഠിനമായി പരിശ്രമിക്കുന്നു.


The complex equation requires advanced mathematical techniques.

സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യത്തിന് നൂതന ഗണിത രീതികൾ ആവശ്യമാണ്.


The historical significance of the event cannot be overstated.

സംഭവത്തിന്റെ ചരിത്രപരമായ പ്രാധാന്യം ഊന്നിപ്പറയേണ്ടതില്ല.


The philosophical debate centered on the nature of consciousness.

തത്വചിന്താപരമായ സംവാദം ബോധത്തിന്റെ സ്വഭാവത്തെ കേന്ദ്രീകരിച്ചുള്ളതായിരുന്നു.


The scientific community is actively researching the effects of climate change.

കാലാവസ്ഥാ വ്യതിയാനത്തിന്റെ ഫലങ്ങളെക്കുറിച്ച് ശാസ്ത്രജ്ഞർ സജീവമായി ഗവേഷണം നടത്തുന്നു.


The intricate design of the building is a testament to the architect's skill.

കെട്ടിടത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണമായ രൂപകൽപ്പന, ആർക്കിടെക്റ്റിന്റെ വൈദഗ്‌ദ്ധ്യത്തിന് ഒരു സാക്ഷ്യമാണ്.


പൂച്ച പായയിൽ ഇരുന്നു.


ഇന്ന് കാലാവസ്ഥ വളരെ സുഖകരമാണ്.


I am going to the market to buy some vegetables.

ഞാൻ കുറച്ച് പച്ചക്കറികൾ വാങ്ങാൻ മാർക്കറ്റിൽ പോകുന്നു.


Could you please help me with this problem?

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് എന്നെ സഹായിക്കാമോ?


The company announced its quarterly results.

കമ്പനി അതിന്റെ ത്രൈമാസ ഫലങ്ങൾ പ്രഖ്യാപിച്ചു.


The algorithm efficiently sorts the data.

അൽഗോരിതം ഡാറ്റയെ കാര്യക്ഷമമായി അടുക്കുന്നു.


അദ്ദേഹം വളരെ കഴിവുള്ള ഒരു സംഗീതജ്ഞനാണ്.


സമ്മേളനം അടുത്ത മാസം നടക്കും.


അവൾ പരീക്ഷക്ക് പഠിക്കുകയാണ്.


The government is implementing new policies.

സർക്കാർ പുതിയ നയങ്ങൾ നടപ്പാക്കുകയാണ്.


The research paper explores the impact of climate change.

ഗവേഷണ പ്രബന്ധം കാലാവസ്ഥാ വ്യതിയാനത്തിന്റെ ആഘാതം പരിശോധിക്കുന്നു.


The complex system requires careful analysis.

സങ്കീർണ്ണമായ ഈ സിസ്റ്റത്തിന് സൂക്ഷ്മമായ വിശകലനം ആവശ്യമാണ്.


The economic situation is improving gradually.

സാമ്പത്തിക സ്ഥിതി ക്രമേണ മെച്ചപ്പെടുന്നു.


കലാകാരന്റെ കൃതികൾക്ക് വലിയ പ്രശംസ ലഭിച്ചു.


The software update includes several new features.

സോഫ്റ്റ്‌വെയർ അപ്‌ഡേറ്റിൽ നിരവധി പുതിയ ഫീച്ചറുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു.


The meeting was adjourned due to lack of quorum.

കോറം തികയാത്തതിനാൽ യോഗം നിർത്തിവെച്ചു.


The data analysis revealed significant trends.

ഡാറ്റാ വിശകലനം കാര്യമായ പ്രവണതകൾ വെളിപ്പെടുത്തി.


The company is facing stiff competition in the market.

കമ്പനി കടുത്ത മത്സരമാണ് വിപണിയിൽ നേരിടുന്നത്.


The philosophical concept is difficult to grasp.

തത്ത്വചിന്താപരമായ ഈ ആശയം മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്.


The project requires a multidisciplinary approach.

പ്രോജക്റ്റിന് ഒരു ബഹുമുഖ സമീപനം ആവശ്യമാണ്.


In such a situation, if an argument k is computationally irrelevant, then its evaluation will degrade the efficiency of the program.

അത്തരം സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ആർഗ്യുമെന്റ് k കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ആയി പ്രസക്തമല്ലാത്തതാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വിലയിരുത്തൽ പ്രോഗ്രാമിന്റെ കാര്യക്ഷമത കുറയ്ക്കും.


The alternative, of normal order evaluation is to begin evaluation of the whole expression, prior to argument evaluation.

സാധാരണ ക്രമത്തിലുള്ള മൂല്യനിർണ്ണയം എന്നത്, ആർഗ്യുമെന്റുകൾ വിലയിരുത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, മുഴുവൻ എക്സ്പ്രഷനും വിലയിരുത്തുന്നതാണ്.


Definition 7.1 Evaluation in which we always choose the leftmost outermost redex is called normal order evaluation.

നിർവചനം 7.1: എപ്പോഴും ഏറ്റവും ഇടതുവശത്തുള്ള റെഡെക്സ് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന മൂല്യനിർണ്ണയത്തെ സാധാരണ ക്രമത്തിലുള്ള മൂല്യനിർണ്ണയം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.


If in addition we ensure that no redex is evaluated more than once we call the evaluation lazy.

കൂടാതെ, ഒരു റെഡെക്സ് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ തവണ വിലയിരുത്തുന്നില്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആ വിലയിരുത്തലിനെ ലേസി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.


In a language with structured data such as pairs and lists, there is a further clause to the definition.

ജോഡികളും ലിസ്റ്റുകളും പോലുള്ള ഘടനാപരമായ ഡാറ്റയുള്ള ഒരു ഭാഷയിൽ, നിർവചനത്തിൽ ഒരു വ്യവസ്ഥ കൂടിയുണ്ട്.


This will usually imply that it is evaluated to weak head normal form.

ഇത് സാധാരണയായി ദുർബലമായ ഹെഡ് നോർമൽ ഫോമിലേക്ക് വിലയിരുത്തപ്പെടുന്നു എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.


Under lazy evaluation computationally irrelevant objects or components of structured objects will simply be ignored.

ലേസി ഇവാലുവേഷനിൽ, കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ആയി പ്രസക്തമല്ലാത്ത ഒബ്ജക്റ്റുകളോ ഘടനാപരമായ ഒബ്ജക്റ്റുകളുടെ ഘടകങ്ങളോ അവഗണിക്കപ്പെടും.


Indeed, it can be argued that the proper definition of computational relevance would be that which chose just that portion of an expression which is used in calculating a result under a lazy evaluation discipline.

വാസ്തവത്തിൽ, കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രസക്തിയുടെ ശരിയായ നിർവചനം, ലേസി ഇവാലുവേഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫലം കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു എക്സ്പ്രഷന്റെ ഭാഗം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന ഒന്നായിരിക്കുമെന്ന് വാദിക്കാം.


There is another possible approach to computational relevance, and that involves an examination of the different forms that types can take.

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രസക്തിയിലേക്ക് മറ്റൊരു സമീപനമുണ്ട്, കൂടാതെ ടൈപ്പുകൾക്ക് എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന വ്യത്യസ്ത രൂപങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നത് ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.


Since there are no closed normal forms in ⊥ and there is only the trivial T, computation of objects of these types will never be important.

⊥-ൽ ക്ലോസ്ഡ് നോർമൽ ഫോമുകളില്ലാത്തതിനാലും, നിസ്സാരമായ T- മാത്രമേയുള്ളൂ എന്നതിനാലും, ഈ തരത്തിലുള്ള ഒബ്ജക്റ്റുകളുടെ കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ ഒരിക്കലും പ്രധാനമാകില്ല.


An application of hd to a list l is only possible if we can pair l with a proof p that l is nonempty.

ഒരു ലിസ്റ്റ് l-ലേക്ക് hd പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയണമെങ്കിൽ, l ശൂന്യമല്ലാത്തതാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്ന p-യുമായി ജോടിയാക്കാൻ കഴിയണം.


It can be argued that this sort of computational irrelevance is preserved when combinations are taken using the connectives ∧, ⇒ and ∀.

ഈ തരത്തിലുള്ള കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രസക്തിയില്ലായ്മ, ∧, ⇒, ∀ എന്നീ കണക്ടീവുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സംയോജനം ചെയ്യുമ്പോൾ നിലനിർത്തപ്പെടുന്നു എന്ന് വാദിക്കാം.


How should we represent the collection of objects of type A with the property B?

B എന്ന പ്രോപ്പർട്ടിയുള്ള A എന്ന ടൈപ്പിന്റെ ഒബ്ജക്റ്റുകളുടെ ശേഖരം എങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കണം?


According to the principle of complete presentation, we would form the type (∃x:A). B consisting of pairs of objects and the proofs that they have the property P.

സമ്പൂർണ്ണ അവതരണത്തിന്റെ തത്വം അനുസരിച്ച്, ഒബ്ജക്റ്റുകളുടെ ജോഡികളും അവ P എന്ന പ്രോപ്പർട്ടിക്ക് ഉദാഹരണമാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നതും ഉൾപ്പെടുന്ന (∃x:A). B എന്ന ടൈപ്പ് രൂപീകരിക്കും.


An alternative approach is to build the ‘subset’ type {x:A|B} whose members consist of those a in A which have the property B[a/x].

ഒരു ബദൽ സമീപനം {x:A|B} എന്ന 'സബ്‌സെറ്റ്' ടൈപ്പ് നിർമ്മിക്കുക എന്നതാണ്, ഇതിലെ അംഗങ്ങൾ B[a/x] എന്ന പ്രോപ്പർട്ടി ഉള്ള A-യിലെ a-കൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


What are the formal rules for the subset type?

സബ്‌സെറ്റ് ടൈപ്പിനായുള്ള ഔപചാരിക നിയമങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്?


രൂപീകരണം പൂർണ്ണമായും സാധാരണമാണ്.


ഒരു സെറ്റ് എങ്ങനെ ഒഴിവാക്കണം?


Since no new operator is added by the elimination rule, there is no computation rule for the subset type.

ഒഴിവാക്കൽ നിയമം വഴി പുതിയ ഓപ്പറേറ്റർ ഒന്നും ചേർക്കാത്തതിനാൽ, സബ്‌സെറ്റ് ടൈപ്പിനായി ഒരു കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ നിയമവുമില്ല.


This is also evident from the fact that they fail to satisfy the inversion principle.

ഇൻവേർഷൻ തത്വം പാലിക്കുന്നതിൽ അവർ പരാജയപ്പെടുന്നു എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്നും ഇത് വ്യക്തമാണ്.


The theorem demonstrates a fundamental property of semigroups.

തിയറം അർദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ അടിസ്ഥാനപരമായ ഒരു സ്വഭാവം വ്യക്തമാക്കുന്നു.


If the identity element exists, it is unique.

സ്വത്വ മൂലകം നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അത് അദ്വിതീയമാണ്.


ഇനി നമുക്ക് ഇത് ഔപചാരികമായി തെളിയിക്കാം.


The proof uses the associativity of the operation.

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സഹബന്ധം തെളിയിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


The results depend on unpacking the triples.

ഫലങ്ങൾ ട്രിപ്പിളുകൾ അൺപാക്ക് ചെയ്യുന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.


This is difficult in the implementation.

ഇത് നടപ്പിലാക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.


അക്ഷങ്ങൾ ഈ രൂപത്തിൽ എടുക്കും.


The computation rules show that set, op and assoc behave as projections.

കണക്കുകൂട്ടൽ നിയമങ്ങൾ, സെറ്റ്, ഓപ്, അസോക്ക് എന്നിവ പ്രൊജക്ഷനുകളായി പ്രവർത്തിക്കുമെന്ന് കാണിക്കുന്നു.


ഈ നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഫലങ്ങൾ തെളിയിക്കാൻ കഴിയും.


In comparing the two approaches, it is clear that they are very close.

രണ്ട് സമീപനങ്ങളും താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, അവ വളരെ അടുത്താണെന്ന് വ്യക്തമാണ്.


A disadvantage of adding rules is that we may disturb the formal properties.

നിയമങ്ങൾ ചേർക്കുന്നതിലെ ഒരു പോരായ്മ, ഔപചാരിക സ്വഭാവങ്ങളെ തടസ്സപ്പെടുത്താൻ സാധ്യതയുണ്ട് എന്നതാണ്.


We shall look into it in more depth in the chapter to come.

വരാനിരിക്കുന്ന അധ്യായത്തിൽ ഇത് കൂടുതൽ ആഴത്തിൽ പരിശോധിക്കും.


This chapter marks a return to looking at the system as a whole.

ഈ അധ്യായം, സിസ്റ്റത്തെ മൊത്തത്തിൽ വീക്ഷിക്കുന്നതിലേക്കുള്ള ഒരു തിരിച്ചുവരവ് കുറിക്കുന്നു.


We investigate various questions about the mathematical foundations.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അടിസ്ഥാനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവിധ ചോദ്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അന്വേഷിക്കുന്നു.


We discuss the motivation for developing a model theory.

ഒരു മോഡൽ സിദ്ധാന്തം വികസിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രചോദനം നമ്മൾ ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.


The topic of realizability is interesting.

റിയലൈസബിലിറ്റി എന്ന വിഷയം രസകരമാണ്.


We conclude the discussion with an overview.

ഒരു അവലോകനത്തോടെ നമ്മൾ ഈ ചർച്ച അവസാനിപ്പിക്കുന്നു.


We also look at a primitive justification.

പ്രാഥമിക ന്യായീകരണവും നമ്മൾ പരിശോധിക്കുന്നു.


We examine the system HA of first-order intuitionistic arithmetic.

ആദ്യ-ഓർഡർ ഇൻട്യൂഷനിസ്റ്റിക് അരിത്മെറ്റിക് സിസ്റ്റം HA നമ്മൾ പരിശോധിക്കുന്നു.


The system consists of a first order theory.

ഈ സിസ്റ്റം ഒരു ഒന്നാംതരം സിദ്ധാന്തം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.


The theory of constructions is a complex topic.

നിർമ്മാണ സിദ്ധാന്തം ഒരു സങ്കീർണ്ണ വിഷയമാണ്.


Mathematics can be developed using this theory.

ഈ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്രം വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.


ഈ വ്യവസ്ഥ സുന്ദരവും, യുക്തിയുക്തവുമാണ്.


I hope the reader can share my enthusiasm.

എൻ്റെ ആവേശം വായനക്കാരനും പങ്കുവെക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.


അത് വളരെ ആഴത്തിലുള്ള ബുദ്ധിപരമായ സന്തോഷമാണ്.


The proof of the deduction theorem is the same.

ഡിഡക്ഷൻ തിയറത്തിന്റെ തെളിവ് ഒന്നുതന്നെയാണ്.


Functional programming languages are used.

പ്രവർത്തനപരമായ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.


സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾ സാധ്യമാണ്.


ഓരോ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഒരു വില നൽകുന്നു.


We should be certain before adding a feature.

ഒരു ഫീച്ചർ ചേർക്കുന്നതിന് മുമ്പ് നമ്മൾ ഉറപ്പാക്കണം.


ഇംപെറേറ്റീവ് പ്രോഗ്രാമിംഗ് പ്രയോജനരഹിതമാണെന്ന് തോന്നുന്നു.


Functional languages offer a brighter prospect.

പ്രവർത്തനപരമായ ഭാഷകൾ കൂടുതൽ ശോഭയുള്ള സാധ്യത നൽകുന്നു.


Type theory can provide a single foundation.

ടൈപ്പ് തിയറിക്ക് ഒരു അടിസ്ഥാനം നൽകാൻ കഴിയും.


വലിയ തോതിലുള്ള പ്രോഗ്രാമിംഗിനെ ഇത് പിന്തുണയ്ക്കുന്നു.


Languages based on type theory will be popular.

ടൈപ്പ് തിയറിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഭാഷകൾ പ്രചാരത്തിലാകും.


This is a complex concept to understand.

മനസ്സിലാക്കാൻ ഇത് ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ആശയമാണ്.


The book provides a detailed explanation.

പുസ്തകം വിശദമായ വിവരണം നൽകുന്നു.


ഞാനിപ്പോഴും ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ച് പഠിക്കുകയാണ്.


ഗവേഷണം ഇപ്പോഴും നടക്കുന്നു.


This is a very interesting field of study.

ഇതൊരു വളരെ രസകരമായ പഠന മേഖലയാണ്.


ഈ സിദ്ധാന്തം ഒരു തരം ടൈപ്പ് തിയറിയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.


The system is designed to support the top-down construction of derivations.

ഈ സിസ്റ്റം രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത് ഡിറൈവേഷനുകളുടെ ടോപ്-ഡൗൺ നിർമ്മാണത്തെ പിന്തുണയ്ക്കുന്നതിനാണ്.


Proofs are constructed in a top-down way, using tactics and tacticals.

തന്ത്രങ്ങളും തന്ത്രപരമായ കാര്യങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് തെളിവുകൾ മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക് എന്ന രീതിയിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.


നുപ്രാലിന്റെ ഊന്നൽ ലോജിക്കിലാണ്.


It features the strong elimination rules.

ഇതിൽ ശക്തമായ ഒഴിവാക്കൽ നിയമങ്ങൾ ഉണ്ട്.


സിസ്റ്റം ML85-ൽ നിന്ന് അൽപ്പം വ്യത്യസ്തമാണ്.


This approach has been used in the Edinburgh Logical Framework.

ഈ സമീപനം എഡിൻബർഗ് ലോജിക്കൽ ഫ്രെയിംവർക്കിൽ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്.


The origins of this approach seem to lie in Martin-Löf’s theory.

ഈ സമീപനത്തിന്റെ ഉത്ഭവം മാർട്ടിൻ-ലോഫിന്റെ സിദ്ധാന്തത്തിലാണെന്ന് തോന്നുന്നു.


The application operator is a constant of type.

ആപ്ലിക്കേഷൻ ഓപ്പറേറ്റർ ഒരു സ്ഥിരമായ ടൈപ്പാണ്.


Using the subscripted form app t,s for the application of the operator app.

ഓപ്പറേറ്റർ ആപ്പിന്റെ പ്രയോഗത്തിനായി സബ്‌സ്‌ക്രിപ്‌റ്റ് ചെയ്ത ഫോം ആപ്പ് t,s ഉപയോഗിക്കുന്നു.


This is described by the equation between terms.

ഇത് പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വിവരിക്കുന്നു.


Substitution in the object language is thus described by β-reduction in the meta-language.

വസ്തു ഭാഷയിലെ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ, അതിനാൽ, മെറ്റാ ഭാഷയിലെ β-കുറയ്ക്കൽ വഴി വിവരിക്കുന്നു.


A similar approach is equally effective with the other variable-binding operations.

മറ്റുള്ള വേരിയബിൾ-ബൈൻഡിംഗ് ഓപ്പറേഷനുകളിലും സമാനമായ ഒരു സമീപനം ഫലപ്രദമാണ്.


The elimination and computation rules are needed to characterise the fact.

ഈ വസ്തുതയെ വിശേഷിപ്പിക്കാൻ ഒഴിവാക്കലും കമ്പ്യൂട്ടേഷൻ നിയമങ്ങളും ആവശ്യമാണ്.


These are the closure or induction rules.

ഇവ ക്ലോഷർ അല്ലെങ്കിൽ ഇൻഡക്ഷൻ നിയമങ്ങളാണ്.


It appears that no more information about the type need be supplied.

ടൈപ്പിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതലായ വിവരങ്ങൾ നൽകേണ്ടതില്ലെന്ന് തോന്നുന്നു.


This idea can be traced back to Gentzen.

ഈ ആശയം ജെൻസെൻ വരെ കണ്ടെത്താനാകും.


A∨B-യിൽ നിന്ന് നമുക്ക് C-യിൽ എത്തിച്ചേരാം.


Given proof objects, p, u, v, of the appropriate type.

അനുയോജ്യമായ ടൈപ്പിന്റെ തെളിവ് വസ്തുക്കളായ p, u, v എന്നിവ നൽകിയിരിക്കുന്നു.


This is a new expression form, but we can see how it may be simplified.

ഇതൊരു പുതിയ എക്സ്പ്രഷൻ രൂപമാണ്, എന്നാൽ ഇത് എങ്ങനെ ലളിതമാക്കാമെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും.


The government is discussing the new policy.

sarkaar puthiya policy charchha cheyyunnu.


The research team is working on a new project.

anveshana team oru puthiya projectil pravarthikkunnu.


The algorithm efficiently sorts the data.

algorithm data samarthamaayi sort cheyyunnu.


The complexities of the situation are difficult to understand.

sthithiyude prashnanghal manassilakkunnathu prayasakaramaanu.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

prashnanghal undayirunnittum, avar sramichu vijayichu.


The implications of the treaty are far-reaching.

kararile arthanghal valare dooram vare undu.


The economic forecast predicts a downturn.

arthika bhavi varshathe kurichu oru thazhchayude lakshanam undu.


The philosophical debate centered on the nature of reality.

tattvasastra charcha yatharthathayude swaroopathe kurichu aayirunnu.


The software architecture is designed for scalability.

software architecture scalability-kku vendi design cheythittundu.


The quantum entanglement phenomenon is still being studied.

quantum entanglement prashnam innum padikkunnathaanu.


The judge delivered a verdict of not guilty.

nyayadhishaan kutthamilla ennu theerppu kalppichu.


The company is facing a major financial crisis.

company oru valiya arthika prashnam neridunnu.


The artist's work is a commentary on modern society.

kalakaranude krithi adhunikha samajathinte oru vyakhyanam aanu.


The scientific community is debating the ethical implications of the new technology.

shaasthra samuhyam puthiya technologyude neethisastra prashnanghale kurichu charcha cheyyunnu.