This tree is known as the parse tree of 푥, and often yields very useful information about the structure of 푥.

हे झाड 푥 चे पार्स ट्री म्हणून ओळखले जाते, आणि ते 푥 च्या संरचनेबद्दल बरीच उपयुक्त माहिती देते.


Often the first step in a compiler or interpreter for a programming language is a parser that transforms the source into the parse tree (also known as the abstract syntax tree).

प्रोग्रामिंग भाषेसाठी कंपाइलर किंवा इंटरप्रिटरमधील (interpreter) पहिले पाऊल म्हणजे एक पार्सर (parser) असतो, जो स्त्रोताचे पार्स ट्रीमध्ये रूपांतर करतो (ज्याला अमूर्त सिंटॅक्स ट्री म्हणून देखील ओळखले जाते).


There are also tools that can automatically convert a description of a context-free grammars into a parser algorithm that computes the parse tree of a given string.

अशी साधने देखील आहेत जी संदर्भ-मुक्त व्याकरण (context-free grammars) च्या वर्णनाचे आपोआप पार्सर अल्गोरिदममध्ये रूपांतरित करू शकतात जे दिलेल्या स्ट्रिंगचे पार्स ट्रीची गणना करते.


Context free grammars can capture every regular expression.

संदर्भ-मुक्त व्याकरण (context free grammars) प्रत्येक नियमित अभिव्यक्ती (regular expression) कॅप्चर करू शकते.


Let 푒 be a regular expression over {0,1}, then there is a CFG (푉,푅,푠) over {0,1} such that Φ 푉,푅,푠 = Φ 푒.

समजा 푒 {0,1} वरील एक नियमित अभिव्यक्ती आहे, तर {0,1} वर एक CFG (푉,푅,푠) आहे, जसे की Φ 푉,푅,푠 = Φ 푒.


We prove the theorem by induction on the length of 푒.

आपण 푒 च्या लांबीवर प्रवर्तनाने (induction) प्रमेय सिद्ध करतो.


If 푒 is an expression of one bit length, then 푒 = 0 or 푒 = 1, in which case we leave it to the reader to verify that there is a (trivial) CFG that computes it.

जर 푒 एक बिट लांबीची अभिव्यक्ती असेल, तर 푒 = 0 किंवा 푒 = 1, अशा स्थितीत, हे तपासणे वाचकांसाठी सोपे आहे की एक (सामान्य) CFG आहे जे त्याची गणना करते.


Otherwise, we fall into one of the following case: case 1: 푒 = 푒 ′ 푒 ′′ , case 2: 푒 = 푒 ′ | 푒 ′′ or case 3: 푒 = (푒 ′ ) ∗ where in all cases 푒 ′ , 푒 ′′ are shorter regular expressions.

अन्यथा, आपण खालीलपैकी एका स्थितीत येतो: स्थिती 1: 푒 = 푒 ′ 푒 ′′ , स्थिती 2: 푒 = 푒 ′ | 푒 ′′ किंवा स्थिती 3: 푒 = (푒 ′ ) ∗ जेथे सर्व प्रकरणांमध्ये 푒 ′ , 푒 ′′ लहान नियमित अभिव्यक्ती आहेत.


By the induction hypothesis, we can define grammars (푉 ′ ,푅 ′ ,푠 ′ ) and (푉 ′′ ,푅 ′′ ,푠 ′′ ) that compute Φ 푒 ′ and Φ 푒 ′′ respectively.

प्रवर्तनाच्या गृहितकानुसार, आपण व्याकरण (푉 ′ ,푅 ′ ,푠 ′ ) आणि (푉 ′′ ,푅 ′′ ,푠 ′′ ) परिभाषित करू शकतो जे अनुक्रमे Φ 푒 ′ आणि Φ 푒 ′′ ची गणना करतात.


By renaming variables, we can also assume without loss of generality that 푉 ′ and 푉 ′′ are disjoint.

व्हेरिएबल्सचे पुन:नामकरण करून, आपण हे देखील गृहीत धरू शकतो की 푉 ′ आणि 푉 ′′ विच्छिन्न आहेत.


In case 1, we can define the new grammar as follows: we add a new starting variable 푠 ∉ 푉 ∪ 푉 ′ and the rule 푠 ↦ 푠 ′ 푠 ′′.

स्थिती 1 मध्ये, आपण नवीन व्याकरण खालीलप्रमाणे परिभाषित करू शकतो: आम्ही एक नवीन प्रारंभिक व्हेरिएबल 푠 ∉ 푉 ∪ 푉 ′ जोडतो आणि नियम 푠 ↦ 푠 ′ 푠 ′′.


In case 2, we can define the new grammar as follows: we add a new starting variable 푠 ∉ 푉 ∪ 푉 ′ and the rules 푠 ↦ 푠 ′ and 푠 ↦ 푠 ′′.

स्थिती 2 मध्ये, आपण नवीन व्याकरण खालीलप्रमाणे परिभाषित करू शकतो: आम्ही एक नवीन प्रारंभिक व्हेरिएबल 푠 ∉ 푉 ∪ 푉 ′ जोडतो आणि नियम 푠 ↦ 푠 ′ आणि 푠 ↦ 푠 ′′.


Case 3 will be the only one that uses recursion.

स्थिती 3 एकमेव असेल जी पुनरावृत्ती (recursion) वापरते.


Graphs can be used to model a great many of the data that we encounter.

आपल्याला भेटणाऱ्या डेटापैकी बऱ्याच डेटाचे मॉडेल तयार करण्यासाठी ग्राफचा वापर केला जाऊ शकतो.


In this chapter we discuss several examples of important computational problems.

या अध्यायात, आम्ही महत्त्वाच्या संगणकीय समस्यांची अनेक उदाहरणे चर्चा करतो.


We can find the shortest path using a breadth first search (BFS).

आपण रुंदी-प्रथम शोध (BFS) वापरून सर्वात लहान मार्ग शोधू शकतो.


The maximum flow problem can be thought of as the task of maximizing.

कमाल प्रवाह समस्येचा विचार अधिकतम करण्याचे कार्य म्हणून केला जाऊ शकतो.


Graphs are so ubiquitous in computer science.

संगणक विज्ञान मध्ये ग्राफ इतके सर्वव्यापी आहेत.


We can transform between these two representations using O(n^2) operations.

आम्ही O(n^2) ऑपरेशन्स वापरून या दोन प्रतिनिधित्वांमध्ये रूपांतरित करू शकतो.


The shortest path problem is the task of finding the length of the shortest path.

सर्वात लहान मार्ग समस्या म्हणजे सर्वात लहान मार्गाची लांबी शोधण्याचे कार्य आहे.


If each vertex has at least two neighbors then there can be an exponential number of paths.

जर प्रत्येक व्हर्टेक्सला किमान दोन शेजारी असतील तर, मार्गांची घातांकीय संख्या असू शकते.


Dijkstra’s algorithm is a well-known generalization of BFS to weighted graphs.

डिक्स्ट्रचा अल्गोरिदम वजन असलेल्या ग्राफसाठी BFS चे सुप्रसिद्ध सामान्यीकरण आहे.


Data structures are extremely important in computer science.

संगणक विज्ञान मध्ये डेटा संरचना अत्यंत महत्त्वपूर्ण आहेत.


For example, if we store n items in a list, we will need a linear scan.

उदाहरणार्थ, जर आपण सूचीमध्ये n आयटम संग्रहित केले, तर आपल्याला एक रेखीय स्कॅन आवश्यक असेल.


The longest path problem is the task of finding the length of the longest simple path.

सर्वात लांब मार्ग समस्या म्हणजे सर्वात लांब साध्या मार्गाची लांबी शोधण्याचे कार्य आहे.


TSP is a classical optimization problem.

TSP ही एक उत्कृष्ट ऑप्टिमायझेशन समस्या आहे.


ग्राफमध्ये किमान कट शोधणे.


Computing minimum s,t cuts is useful in many applications.

अनेक ऍप्लिकेशन्समध्ये किमान s,t कट्सची गणना करणे उपयुक्त आहे.


We can obtain a polynomial-time algorithm for computing MINCUT.

MINCUT ची गणना करण्यासाठी, आम्ही एक बहुपद-वेळेचा अल्गोरिदम मिळवू शकतो.


The Max-Flow Min-Cut Theorem reduces the task of computing a minimum cut.

कमाल-प्रवाह किमान-कट प्रमेय किमान कटची गणना करण्याचे कार्य कमी करते.


A valid flow has the property that the amount of water leaving the source is the same.

एका वैध प्रवाहामध्ये हे वैशिष्ट्य आहे की स्त्रोतामधून बाहेर पडणाऱ्या पाण्याची मात्रा समान असते.


Maximizing a linear function over the set of x ∈ ℝ m that satisfy certain linear equalities.

ठराविक रेखीय समानतांचे समाधान करणाऱ्या x ∈ ℝ m च्या संचावर एका रेखीय कार्याचे अधिकतमकरण.


We reduced the task of computing the global minimum cut to the task of computing minimum s,t cuts.

आम्ही ग्लोबल किमान कटची गणना करण्याचे कार्य किमान s,t कट्सची गणना करण्याच्या कार्यावर कमी केले.


The algorithm efficiently solves the connectivity problem in directed graphs.

अल्गोरिदम (algorithm) निर्देशित आलेखांमधील कनेक्टिव्हिटीची समस्या प्रभावीपणे सोडवते.


Changing from two to three variables can drastically alter computational complexity.

दोन वरून तीन चलांवर बदल केल्याने गणनाची जटिलता मोठ्या प्रमाणात बदलू शकते.


Despite significant effort, a significantly better algorithm for 3SAT is unknown.

मोठ्या प्रयत्नानंतरही, 3SAT साठी लक्षणीयरीत्या चांगले अल्गोरिदम अज्ञात आहे.


Solving linear equations is a frequently encountered problem.

रैखिक समीकरणे सोडवणे ही वारंवार येणारी समस्या आहे.


Gaussian elimination can solve linear equations in polynomial time.

गॉसियन एलिमिनेशन (Gaussian elimination) बहुपद (polynomial) वेळेत रैखिक समीकरणे सोडवू शकते.


The difference between the input length and the magnitude of a number can be profound.

इनपुट लांबी आणि संख्येच्या मूल्यांमधील फरक मोठा असू शकतो.


Finding the prime factors of a number is an example of an exponential time problem.

एका संख्येचे मूळ घटक (prime factors) शोधणे हे घातांकीय वेळेच्या (exponential time) समस्येचे उदाहरण आहे.


Solving quadratic equations in several variables is a classical problem.

अनेक चलांमधील वर्गसमीकरणे सोडवणे ही एक उत्कृष्ट समस्या आहे.


The determinant of a matrix is an important quantity in linear algebra.

मैट्रिक्सचा निर्धारक (determinant) रैखिक बीजगणितातील एक महत्त्वपूर्ण घटक आहे.


The determinant can be computed in polynomial time.

निर्धारक बहुपद वेळेत मोजला जाऊ शकतो.


The permanent of a matrix is defined similarly to the determinant.

मैट्रिक्सचा 'परमनंट' निर्धारकासारखाच परिभाषित केला जातो.


Computing the permanent modulo 2 can be done in polynomial time.

मॉड्यूलो २ (modulo 2) चा 'परमनंट' बहुपद वेळेत मोजता येतो.


We do not know of a much better algorithm to compute the permanent modulo 3.

मॉड्यूलो ३ (modulo 3) चा 'परमनंट' मोजण्यासाठी आम्हाला फारसा चांगला अल्गोरिदम माहित नाही.


शून्य-बेरीज खेळ जीवनात येतात.


The Min-Max Theorem is a corollary of linear programming duality.

मिन-मॅक्स प्रमेय (Min-Max Theorem) हे रैखिक प्रोग्रामिंग द्वैतवादाचे (duality) उपसिद्धांत आहे.


Finding a Nash equilibrium is a challenging problem.

नॅश संतुलन (Nash equilibrium) शोधणे एक आव्हानात्मक समस्या आहे.


Determining whether a number is prime is a classical problem.

दिलेली संख्या मूळ आहे की नाही हे ठरवणे ही एक उत्कृष्ट समस्या आहे.


The non-existence of an efficient algorithm for integer factorization has implications for cryptography.

पूर्णांक अवयवीकरणासाठी (integer factorization) कार्यक्षम अल्गोरिदमची अनुपलब्धता क्रिप्टोग्राफीसाठी (cryptography) महत्त्वपूर्ण आहे.


Polynomial time algorithms are widely used in computer science applications.

संगणक विज्ञान अनुप्रयोगांमध्ये बहुपद वेळेचे अल्गोरिदम मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात.


The difference between exponential and polynomial time algorithms is significant.

घातांकीय आणि बहुपद वेळेच्या अल्गोरिदममधील फरक महत्त्वाचा आहे.


Turing machines are a fundamental concept in computer science.

ट्युरिंग मशीन संगणक विज्ञानातील एक मूलभूत संकल्पना आहे.


The extended Church-Turing thesis is a statement about the limits of computation.

विस्तारित चर्च-ट्युरिंग सिद्धांत संगणनाच्या मर्यादांबद्दल एक विधान आहे.


Polynomial time is a crucial concept in understanding algorithm efficiency.

अल्गोरिदमची कार्यक्षमता समजून घेण्यासाठी बहुपद वेळ (polynomial time) ही एक महत्त्वाची संकल्पना आहे.


Exponential time complexity often leads to intractable problems.

घातांकीय वेळेची जटिलता (Exponential time complexity) अनेकदा सोडवणे कठीण असलेल्या समस्यांना जन्म देते.


RAM machines are closer to real-world computing architectures.

RAM मशीन वास्तविक-जगातील संगणक आर्किटेक्चरच्या जवळ आहेत.


The difference between polynomial and exponential time is significant.

बहुपद आणि घातांकीय वेळेमधील फरक महत्त्वपूर्ण आहे.


Turing machines can simulate NAND-RAM programs.

ट्युरिंग मशीन NAND-RAM प्रोग्रामचे अनुकरण करू शकतात.


The proof involves careful accounting of steps.

या पुराव्यात पायऱ्यांची काळजीपूर्वक गणना करणे समाविष्ट आहे.


We can define running time with respect to NAND-RAM programs.

आम्ही NAND-RAM प्रोग्रामच्या संदर्भात रनिंग टाइम (running time) परिभाषित करू शकतो.


The extended Church-Turing thesis is a cornerstone of theoretical computer science.

विस्तारित चर्च-ट्युरिंग सिद्धांत सैद्धांतिक संगणक विज्ञानाचा आधारस्तंभ आहे.


Understanding the distinction between P and EXP is essential.

P आणि EXP मधील फरक समजून घेणे आवश्यक आहे.


The choice of model does not matter much when considering computability.

संगणनक्षमता विचारात घेताना मॉडेलची निवड फारशी महत्त्वाची नाही.


The theorem relates RAM and Turing machines.

प्रमेय RAM आणि ट्युरिंग मशीनचा संबंध दर्शवतो.


Polynomial time algorithms are generally considered efficient.

बहुपद वेळ अल्गोरिदम (Polynomial time algorithms) सामान्यतः कार्यक्षम मानले जातात.


Exponential time algorithms can quickly become impractical.

घातांकीय वेळ अल्गोरिदम (Exponential time algorithms) लवकरच अव्यवहार्य होऊ शकतात.


The proof of the theorem is not very deep.

प्रमेयाचा पुरावा फारसा गहन नाही.


We can simulate a Turing machine with a NAND-RAM program.

आम्ही NAND-RAM प्रोग्राम वापरून ट्युरिंग मशीनचे अनुकरण करू शकतो.


The concept of computability is fundamental.

संगणनक्षमतेची संकल्पना मूलभूत आहे.


The extended Church-Turing thesis is still relevant today.

विस्तारित चर्च-ट्युरिंग सिद्धांत आजही relevant आहे.


Quantum computing poses a challenge to the extended Church-Turing thesis.

क्वांटम संगणन विस्तारित चर्च-ट्युरिंग सिद्धांताला आव्हान देते.


The machine efficiently simulates the program.

यंत्र कार्यक्षमतेने प्रोग्रामचे अनुकरण करते.


ही एक गुंतागुंतीची तांत्रिक संकल्पना आहे.


The algorithm's steps are clearly defined.

अल्गोरिदमची पायरी स्पष्टपणे परिभाषित केली आहे.


The universal Turing machine is a fundamental concept.

युनिव्हर्सल ट्युरिंग मशीन ही एक मूलभूत संकल्पना आहे.


The program halts within the given time limit.

प्रोग्राम दिलेल्या वेळेत थांबतो.


Can you explain the time hierarchy theorem?

तुम्ही वेळ श्रेणी सिद्धांत स्पष्ट करू शकता?


The proof is inspired by the halting problem.

याचा पुरावा हा थांबावण्याच्या समस्येमधून प्रेरित आहे.


The function is non-uniformly computable.

कार्य असमानपणे मोजले जाऊ शकते.


We need to unroll the loop for each step.

आपल्याला प्रत्येक चरणासाठी लूप उलगडणे आवश्यक आहे.


सर्किटमध्ये बहुपद आकार आहे.


यंत्राचे कार्य फार जलद आहे.


ही संकल्पना समजणे कठीण आहे.


प्रमेयाचा पुरावा चांगलाच गुंतागुंतीचा आहे.


The program's execution time is crucial.

प्रोग्रामची अंमलबजावणी वेळ महत्त्वाची आहे.


ही प्रक्रियेतील महत्त्वाची पायरी आहे.


The algorithm is designed for efficiency.

अल्गोरिदम कार्यक्षमतेसाठी डिझाइन केलेले आहे.


The machine simulates the process step by step.

यंत्र टप्प्याटप्प्याने प्रक्रियेचे अनुकरण करते.


गुंतागुंतीचा वर्ग चांगला परिभाषित आहे.


The proof uses a contradiction argument.

या पुराव्यात विरोधाभासाचा युक्तिवाद वापरला आहे.


प्रोग्रामचा आउटपुट शून्य किंवा एक आहे.


आज हवामान सुखद आहे.


कृपया, मला मीठ द्याल का?


I am going to the market to buy some vegetables.

मी बाजारात भाजीपाला खरेदीसाठी जात आहे.


The company announced a new product launch.

कंपनीने नवीन उत्पादन सुरू करण्याची घोषणा केली.


The algorithm efficiently sorts the data.

अल्गोरिदम डेटा कार्यक्षमतेने क्रमवारी लावतो.


तो एक अतिशय प्रतिभावान संगीतकार आहे.


पुढच्या आठवड्यात परिषद आयोजित केली जाईल.


Please submit your assignments by Friday.

कृपया आपले असाइनमेंट शुक्रवारपर्यंत सादर करा.


The research paper explores new findings.

संशोधन पेपर नवीन निष्कर्षांचे परीक्षण करतो.


ती अनेक भाषांमध्ये अस्खलित आहे.


The economic situation is improving gradually.

आर्थिक परिस्थिती हळू हळू सुधारत आहे.


The software update includes several bug fixes.

सॉफ्टवेअर अपडेटमध्ये अनेक बग फिक्सचा समावेश आहे.


The complex equation requires careful analysis.

गुंतागुंतीच्या समीकरणासाठी काळजीपूर्वक विश्लेषणाची आवश्यकता आहे.


आव्हानांवर मात करूनही, ते यशस्वी झाले.


The government implemented new policies.

सरकारने नवीन धोरणे लागू केली.


The study revealed significant correlations.

अभ्यासात महत्त्वपूर्ण सहसंबंध दिसून आले.


तो त्याच्या क्षेत्रातील एक प्रसिद्ध तज्ञ आहे.


बोलणी অচूक स्थितीत पोहोचली.


The computational model simulates complex systems.

संगणकीय मॉडेल जटिल प्रणालींचे अनुकरण करते.


The philosophical debate explored existentialism.

तत्त्वज्ञानाच्या वादविवादामध्ये अस्तित्ववादाचा शोध घेण्यात आला.


The algorithm's efficiency is a key factor in its performance.

अल्गोरिदमची कार्यक्षमता त्याच्या कामगिरीमध्ये एक महत्त्वाचा घटक आहे.


The company announced a new product launch next month.

कंपनीने पुढील महिन्यात नवीन उत्पादन सुरू करण्याची घोषणा केली.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

आव्हानांवर मात करूनही, त्यांनी चिकाटीने काम केले आणि यश मिळवले.


कृपया ते माझ्यासाठी पुन्हा सांगाल का?


The research paper explores the impact of climate change.

संशोधन निबंधात हवामान बदलाच्या परिणामांचे विश्लेषण केले आहे.


He is a very talented musician and composer.

तो एक अतिशय प्रतिभावान संगीतकार आणि रचनाकार आहे.


The government implemented new policies to boost the economy.

अर्थव्यवस्थेला चालना देण्यासाठी सरकारने नवीन धोरणे लागू केली.


The complex equation required multiple iterations to solve.

गुंतागुंतीचे समीकरण सोडवण्यासाठी अनेक पुनरावृत्ती आवश्यक होत्या.


She is fluent in several foreign languages.

ती अनेक परदेशी भाषांमध्ये अस्खलित आहे.


The project's success depended on effective collaboration.

प्रकल्पाचे यश प्रभावी सहकार्यावर अवलंबून होते.


The data analysis revealed significant trends.

डेटा विश्लेषणातून महत्त्वपूर्ण ट्रेंड्स (प्रवृत्ती) समोर आले.


The ancient ruins provided a glimpse into the past.

प्राचीन अवशेषांनी भूतकाळाची झलक दिली.


The company's stock price fluctuated throughout the day.

दिवसभर कंपनीच्या शेअरच्या किमतीत चढउतार झाला.


The artist's unique style is easily recognizable.

कलाकाराची खास शैली सहज ओळखता येते.


The economic forecast predicts a period of growth.

आर्थिक अंदाजानुसार वाढीचा काळ दर्शविला आहे.


The intricate design required careful execution.

गुंतागुंतीच्या डिझाइनसाठी काळजीपूर्वक अंमलबजावणी आवश्यक होती.


The team worked diligently to meet the deadline.

मुदतीत काम पूर्ण करण्यासाठी टीमने चिकाटीने काम केले.


The scientific study yielded groundbreaking results.

वैज्ञानिक अभ्यासात महत्त्वपूर्ण निष्कर्ष समोर आले.


The historical context is crucial for understanding the event.

घटनेचे आकलन होण्यासाठी ऐतिहासिक संदर्भ महत्त्वाचा आहे.


The software update improved system performance significantly.

सॉफ्टवेअर अपडेटमुळे सिस्टमची कार्यक्षमता लक्षणीयरीत्या सुधारली.


आज हवामान खूप छान आहे.


कृपया, मला मीठ द्याल का?


I am going to the market to buy some vegetables.

मी बाजारात भाजीपाला खरेदी करायला जात आहे.


The company's profits increased significantly this quarter.

या तिमाहीत कंपनीचा नफा लक्षणीय वाढला.


The new policy will be implemented next month.

नवीन धोरण पुढील महिन्यात लागू केले जाईल.


तो एक अतिशय प्रतिभावान संगीतकार आहे.


परिषद मुंबईत आयोजित केली जाईल.


Please submit your application before the deadline.

कृपया अंतिम मुदतीपूर्वी तुमचा अर्ज सादर करा.


The algorithm efficiently sorts the data.

अल्गोरिदम डेटाची कार्यक्षमतेने क्रमवारी लावतो.


The research paper explores the impact of climate change.

संशोधन पेपर हवामान बदलाच्या परिणामांचे परीक्षण करतो.


The government announced new economic reforms.

सरकारने नवीन आर्थिक सुधारणा जाहीर केल्या.


The patient's condition is improving gradually.

रुग्णाची प्रकृती हळू हळू सुधारत आहे.


The software update includes several bug fixes.

सॉफ्टवेअर अपडेटमध्ये अनेक बग फिक्स समाविष्ट आहेत.


संघ एका नवीन प्रकल्पावर काम करत आहे.


The meeting was adjourned due to lack of quorum.

कोरमअभावी बैठक तहकूब करण्यात आली.


The data analysis revealed interesting insights.

डेटा विश्लेषणातून मनोरंजक अंतर्दृष्टी समोर आली.


The artist's paintings are displayed in the gallery.

कलाकाराची चित्रे गॅलरीत प्रदर्शित केली आहेत.


The company is facing financial difficulties.

कंपनीला आर्थिक अडचणींचा सामना करावा लागत आहे.


The scientific community is debating the findings.

वैज्ञानिक समुदाय निष्कर्षांवर वाद घालत आहे.


The ancient ruins are a popular tourist attraction.

प्राचीन अवशेष एक लोकप्रिय पर्यटन आकर्षण आहे.


The algorithm's efficiency is a key factor in its performance.

अल्गोरिदमची कार्यक्षमता त्याच्या कामगिरीमध्ये एक महत्त्वाचा घटक आहे.


The news reported a significant rise in the stock market.

बाजारपेठेत मोठी वाढ झाल्याचे वृत्त आहे.


कृपया, मला मीठ द्याल का?


The company is developing innovative solutions for sustainable energy.

कंपनी टिकाऊ ऊर्जेसाठी नाविन्यपूर्ण उपाययोजना विकसित करत आहे.


She enjoys reading novels and listening to music in her free time.

ती रिकाम्या वेळेत कादंबऱ्या वाचायला आणि संगीत ऐकायला आवडते.


The research team is analyzing the data to draw conclusions.

निष्कर्ष काढण्यासाठी संशोधन टीम डेटाचे विश्लेषण करत आहे.


The government announced new policies to boost economic growth.

अर्थव्यवस्था वाढवण्यासाठी सरकारने नवीन धोरणे जाहीर केली.


He is a highly skilled software engineer with years of experience.

तो वर्षांनुवर्षांच्या अनुभवासह एक अत्यंत कुशल सॉफ्टवेअर अभियंता आहे.


The project faced several challenges during its implementation phase.

प्रकल्पाला त्याच्या अंमलबजावणीच्या टप्प्यात अनेक आव्हानांचा सामना करावा लागला.


The artist's paintings are known for their vibrant colors and unique style.

कलाकाराची चित्रे त्यांच्या तेजस्वी रंगांसाठी आणि विशिष्ट शैलीसाठी ओळखली जातात.


The conference brought together experts from various fields.

या परिषदेत विविध क्षेत्रातील तज्ञांनी एकत्र भाग घेतला.


The weather forecast predicts heavy rainfall for the weekend.

हवामान खात्याने शनिवार-रविवारसाठी जोरदार पावसाचा अंदाज वर्तवला आहे.


The company's success is attributed to its strong leadership and dedicated employees.

कंपनीचे यश तिच्या मजबूत नेतृत्वाला आणि समर्पित कर्मचाऱ्यांमुळे आहे.


The complex algorithm requires significant computational resources.

या जटिल अल्गोरिदमला महत्त्वपूर्ण संगणकीय संसाधनांची आवश्यकता आहे.


The new regulations will have a significant impact on the industry.

नवीन नियमांचा उद्योगावर महत्त्वपूर्ण परिणाम होईल.


The team worked tirelessly to meet the deadline.

मुदतीत काम पूर्ण करण्यासाठी टीमने अथक परिश्रम घेतले.


The study explores the relationship between diet and health.

अभ्यास आहार आणि आरोग्यामधील संबंधांचा शोध घेतो.


The economic outlook remains uncertain due to global events.

जागतिक घटनांमुळे आर्थिक दृष्टीकोन अनिश्चित आहे.


The innovative design incorporates sustainable materials.

या नाविन्यपूर्ण डिझाइनमध्ये टिकाऊ सामग्रीचा समावेश आहे.


The company is committed to providing excellent customer service.

कंपनी उत्कृष्ट ग्राहक सेवा प्रदान करण्यासाठी वचनबद्ध आहे.


The P versus NP problem is a major unsolved problem in computer science.

P विरुद्ध NP ही संगणक विज्ञानातील एक मोठी न सुटलेली समस्या आहे.


If P equals NP, many currently intractable problems would become solvable in polynomial time.

जर P, NP च्या बरोबर असेल, तर अनेक सध्याच्या कठीण समस्या बहुपद वेळेत सोडवता येतील.


Finding a polynomial-time algorithm for any NP-complete problem would prove P=NP.

कोणत्याही NP-पूर्ण समस्येसाठी बहुपद-वेळेचा अल्गोरिदम शोधणे P=NP सिद्ध करेल.


The implications of P=NP are vast, affecting cryptography, optimization, and artificial intelligence.

P=NP चे परिणाम खूप मोठे आहेत, जे क्रिप्टोग्राफी, ऑप्टिमायझेशन आणि कृत्रिम बुद्धिमत्तेवर परिणाम करतात.


Many believe that P does not equal NP, but a proof remains elusive.

अनेकजण मानतात की P, NP च्या बरोबर नाही, परंतु याचा पुरावा अजूनही सापडलेला नाही.


The Clay Mathematics Institute offers a million-dollar prize for a solution to the P versus NP problem.

क्ले गणित संस्था P विरुद्ध NP समस्येच्या समाधानासाठी एक दशलक्ष डॉलरचे पारितोषिक देते.


The Cook-Levin theorem is a cornerstone of computational complexity theory.

कूक-लेविन प्रमेय हे संगणकीय जटिलता सिद्धांताचा आधारस्तंभ आहे.


NP-complete problems are considered the hardest problems in NP.

NP-पूर्ण समस्या NP मधील सर्वात कठीण समस्या मानल्या जातात.


3SAT is a classic example of an NP-complete problem.

3SAT हे NP-पूर्ण समस्येचे एक उत्कृष्ट उदाहरण आहे.


If P=NP, then breaking modern encryption would become trivial.

जर P=NP असेल, तर आधुनिक एन्क्रिप्शन (encryption) तोडणे सोपे होईल.


The search for a polynomial-time algorithm for 3SAT continues.

3SAT साठी बहुपद-वेळेचा अल्गोरिदम शोधणे अजूनही सुरू आहे.


The zero-one law is an interesting observation in computational complexity.

शून्य-एक नियम (zero-one law) संगणकीय जटिलतेमधील एक मनोरंजक निरीक्षण आहे.


Ladner's Theorem shows that if P≠NP, then there are problems in NP that are neither in P nor NP-complete.

लॅडनरचे प्रमेय (Ladner's Theorem) दर्शवते की जर P≠NP असेल, तर NP मध्ये अशा समस्या आहेत ज्या ना P मध्ये आहेत ना NP-पूर्ण.


The P versus NP problem has captivated computer scientists for decades.

P विरुद्ध NP समस्येने दशकांपासून संगणक शास्त्रज्ञांना आकर्षित केले आहे.


Many natural problems are either in P or NP-hard.

अनेक नैसर्गिक समस्या एकतर P मध्ये आहेत किंवा NP-कठीण आहेत.


The implications of P=NP extend to many fields, including logistics and finance.

P=NP चे परिणाम अनेक क्षेत्रांमध्ये, ज्यात लॉजिस्टिक (logistics) आणि वित्त (finance) यांचा समावेश आहे.


The best known algorithms for many NP-complete problems are exponential.

अनेक NP-पूर्ण समस्यांसाठी सर्वोत्तम ज्ञात अल्गोरिदम घातांकीय (exponential) आहेत.


The study of NP-completeness helps us understand the limits of computation.

NP-पूर्णतेचा अभ्यास आपल्याला संगणनाच्या मर्यादा समजून घेण्यास मदत करतो.


If P=NP, then artificial intelligence could advance dramatically.

जर P=NP असेल, तर कृत्रिम बुद्धिमत्ता (artificial intelligence) मोठ्या प्रमाणात प्रगती करू शकते.


The P versus NP problem remains one of the most important open questions in computer science.

P विरुद्ध NP ही समस्या संगणक विज्ञानातील सर्वात महत्वाच्या न सुटलेल्या प्रश्नांपैकी एक आहे.


NAND-CIRC programs are equivalent to Boolean circuits.

NAND-CIRC कार्यक्रम बुलियन सर्किट्सच्या समान आहेत.


The search problem corresponding to (16.3) is known as the circuit minimization problem.

(16.3) शी संबंधित शोध समस्या सर्किट मिनिमायझेशन समस्या म्हणून ओळखली जाते.


Another example of a statement involving levels of quantifiers would be to check, given a chess position, whether there is a strategy that guarantees that White wins within steps.

क्वांटिफायर्सच्या स्तरांचा समावेश असलेल्या विधानाचा आणखी एक उदाहरण म्हणजे, बुद्धिबळाची स्थिती दिल्यास, व्हाईटला चरणांमध्ये जिंकण्याची हमी देणारी रणनीती आहे की नाही हे तपासणे.


If P=NP then we can solve these kinds of problems as well.

जर P=NP असेल तर, आपण अशा प्रकारच्या समस्या देखील सोडवू शकतो.


आम्ही प्रवर्तनाने प्रमेय सिद्ध करतो.


प्रत्येक x, y0 साठी, विधान परिभाषित करा.


ची नकारार्थी म्हणजे विधान.


The crucial observation is that is exactly a statement of the form we consider.

महत्त्वाची गोष्ट म्हणजे हे आपण ज्या स्वरूपाचा विचार करतो, त्याचेच विधान आहे.


We can rephrase the original statement as follows.

आपण मूळ विधान खालीलप्रमाणे पुन्हा मांडू शकतो.


The algorithm of Theorem 16.6 can also solve the search problem as well.

प्रमेय 16.6 चा अल्गोरिदम शोध समस्या देखील सोडवू शकतो.


Suppose that we found a polynomial-time algorithm for 3SAT that is good but not great.

असे समजू या की आम्हाला 3SAT साठी एक बहुपद-वेळेचा अल्गोरिदम सापडला आहे जो चांगला आहे, पण फारसा नाही.


We can use Theorem 16.6 to bootstrap our original good but not great 3SAT algorithm to discover the optimal one.

इष्टतम (optimal) अल्गोरिदम शोधण्यासाठी, आपण प्रमेय 16.6 चा वापर करून, आमच्या मूळ चांगल्या पण फारशा नसलेल्या 3SAT अल्गोरिदमला बूटस्ट्रॅप करू शकतो.


Given a Boolean circuit C, if P=NP then we can find an input x (if one exists) such that C(x) = 1.

जर P=NP असेल, तर बुलियन सर्किट C दिले असता, आपण एक इनपुट x (असेल तर) शोधू शकतो, जेणेकरून C(x) = 1.


But what if there is more than one x like that?

पण, जर तसे एकापेक्षा जास्त x असतील तर?


We can get an arbitrarily good multiplicative approximation for the number of such x's.

आपण अशा x च्या संख्येसाठी यादृच्छिकपणे चांगले गुणात्मक अनुमान मिळवू शकतो.


The algorithm COUNT gives an approximation up to a factor of 1 ± for the number of witnesses.

अल्गोरिदम COUNT, साक्षीदारांच्या संख्येसाठी 1 ± च्या घटकापर्यंतचे अनुमान देतो.


Posterior sampling and probabilistic programming.

पश्चात नमूना निवड आणि संभाव्य प्रोग्रामिंग.


So, what will happen if we have a 10^6 n algorithm for 3SAT?

तर, जर आपल्याकडे 3SAT साठी 10^6 n अल्गोरिदम असेल तर काय होईल?


A better 3SAT algorithm will probably make their lives easier.

एक चांगला 3SAT अल्गोरिदम, त्यांचे जीवनमान सुलभ करेल.


Ultimately the field of Artificial Intelligence is about trying to shortcut billions of years of evolution.

शेवटी, कृत्रिम बुद्धिमत्तेचे क्षेत्र, कोट्यवधी वर्षांच्या उत्क्रांतीला शॉर्टकट करण्याचा प्रयत्न करण्याबद्दल आहे.


3SAT is very hard: 3SAT is exponentially hard and cannot be solved faster than 2^epsilon*n for some not too tiny epsilon > 0.

3SAT खूप कठीण आहे: 3SAT घातांकीयदृष्ट्या कठीण आहे आणि काही फार लहान नसलेल्या epsilon > 0 साठी 2^(epsilon*n) पेक्षा जलद सोडवले जाऊ शकत नाही.


We can even make the stronger assumption that for every sufficiently large n, the restriction of 3SAT to inputs of length n cannot be computed by a circuit of fewer than 2^(epsilon*n) gates.

आम्ही हे अधिक मजबूत गृहीतक देखील बनवू शकतो की प्रत्येक पुरेसे मोठ्या n साठी, लांबी n च्या इनपुटवर 3SAT चे निर्बंध 2^(epsilon*n) गेट्सपेक्षा कमी सर्किटद्वारे मोजले जाऊ शकत नाहीत.


At the time of writing, the fastest known algorithm for 3SAT requires more than 2^(0.35*n) to solve n-variable formulas.

हे लेखन करताना, 3SAT साठी सर्वात जलद ज्ञात अल्गोरिदमला n-वेरिएबल सूत्रे सोडवण्यासाठी 2^(0.35*n) पेक्षा जास्त लागतात.


To put it in perspective, for the case n = 1000 our lower and upper bounds for the computational costs are apart by a factor of about 10^100.

या दृष्टीने विचार केल्यास, n = 1000 च्या स्थितीत, आमच्या गणना खर्चाच्या खालच्या आणि वरच्या मर्यादा सुमारे 10^100 च्या घटकाने वेगळ्या आहेत.


As far as we know, it could be the case that 1000-variable 3SAT can be solved in a millisecond on a first-generation iPhone.

आम्हाला माहित आहे की, असे होऊ शकते की 1000-वेरिएबल 3SAT पहिल्या पिढीच्या आयफोनवर एका मिलिसेकंदात सोडवले जाऊ शकते.


So far, most of our evidence points to the latter possibility of 3SAT being exponentially hard, but we have not ruled out the former possibility either.

आतापर्यंत, आमचे बहुतेक पुरावे 3SAT घातांकीयदृष्ट्या कठीण असण्याची शक्यता दर्शवतात, परंतु आम्ही पूर्वीची शक्यताही नाकारलेली नाही.


In this chapter we will explore some of the consequences of the “3SAT easy” scenario.

या प्रकरणात, आम्ही “3SAT सोपे” परिस्थितीचे काही परिणाम शोधू.


This chapter shows some of the truly breathtaking consequences that would be derived from an efficient algorithm for NP-complete problems.

हे प्रकरण NP-पूर्ण समस्यांसाठी कार्यक्षम अल्गोरिदममधून काढले जाणारे काही खरोखरच विस्मयकारक परिणाम दर्शवते.


We will see that such an algorithm would imply efficient algorithms for tasks including solving search problems, eliminating quantifiers, fitting data with complex models, sampling and counting, and more.

आम्ही पाहू की असा अल्गोरिदम शोध समस्या सोडवणे, क्वांटिफायर (quantifiers) काढून टाकणे, जटिल मॉडेल्ससह डेटा फिट करणे, नमुने घेणे आणि मोजणे यासह कार्यांसाठी कार्यक्षम अल्गोरिदमचा अर्थ देईल.


While the evidence strongly suggests that such an algorithm does not exist, the tools developed in these results have nonetheless found many other applications.

पुरावे जोरदारपणे सूचित करतात की असा अल्गोरिदम अस्तित्वात नाही, तरीही या निष्कर्षांमध्ये विकसित साधनांना इतर अनेक अनुप्रयोग (applications) आढळले आहेत.


Sure, such an algorithm allows us to decide the satisfiability of not just 3CNF formulas but also of quadratic equations, as well as find out whether there is a long path in a graph, and solve many other decision problems.

नक्कीच, असा अल्गोरिदम केवळ 3CNF सूत्रांचे समाधानच नव्हे, तर वर्गसमीकरणे (quadratic equations) तसेच आलेखात (graph) लांब मार्ग आहे की नाही हे शोधण्याची आणि इतर अनेक निर्णय समस्या सोडवण्याची परवानगी देतो.


It’s not enough to know if a formula is satisfiable: we want to discover the actual satisfying assignment.

जर एखादे सूत्र समाधानकारक असेल हे जाणून घेणे पुरेसे नाही: तर आम्हाला वास्तविक समाधानकारक असाइनमेंट (assignment) शोधायची आहे.


Similarly, it’s not enough to find out if a graph has a long path: we want to actually find the path.

त्याचप्रमाणे, आलेखात (graph) लांब मार्ग आहे की नाही हे शोधणे पुरेसे नाही: तर आम्हाला प्रत्यक्षात मार्ग शोधायचा आहे.


It turns out that if we can solve these decision problems, we can solve the corresponding search problems as well.

असे दिसून येते की जर आपण या निर्णय समस्या सोडवू शकत असाल, तर आपण त्या संबंधित शोध समस्या देखील सोडवू शकतो.


Suppose that P=NP. Then for every polynomial-time algorithm V and a, b ∈ ℕ, there is a polynomial-time algorithm FIND V such that for every x ∈ {0,1}^n, if there exists y ∈ {0,1}^(anb) satisfying V(xy) = 1, then FIND V (x) finds some string y' satisfying this condition.

समजा P=NP. तर प्रत्येक बहुपद-वेळेच्या अल्गोरिदम V आणि a, b ∈ ℕ साठी, एक बहुपद-वेळेचा अल्गोरिदम FIND V आहे, जसे की प्रत्येक x ∈ {0,1}^n साठी, जर y ∈ {0,1}^(anb) अस्तित्वात असेल, V(xy) = 1, तर FIND V (x) हे काही स्ट्रिंग y' शोधते जे ही अट पूर्ण करते.


To understand what the statement of Theorem 16.1 means, let us look at the special case of the MAXCUT problem.

प्रमेय 16.1 च्या विधानाचा अर्थ काय आहे हे समजून घेण्यासाठी, MAXCUT समस्येचे (problem) विशेष उदाहरण पाहूया.


It is not hard to see that there is a polynomial-time algorithm VERIFYCUT such that VERIFYCUT(G, k, S) = 1 if and only if S is a subset of G’s vertices that cuts at least k edges.

हे पाहणे कठीण नाही की एक बहुपद-वेळेचा अल्गोरिदम VERIFYCUT आहे, जसे की VERIFYCUT(G, k, S) = 1 जर आणि केवळ S, G च्या व्हर्टिसेसचा (vertices) असा उपसंच (subset) आहे जो कमीतकमी k कडा (edges) कापतो.


Theorem 16.1 implies that if P=NP then there is a polynomial-time algorithm FINDCUT that on input G, k outputs a set S such that VERIFYCUT(G, k, S) = 1 if such a set exists.

प्रमेय 16.1 सूचित करते की जर P=NP असेल तर एक बहुपद-वेळेचा अल्गोरिदम FINDCUT आहे, जो G, k इनपुटवर एक संच S आउटपुट करतो, जसे की VERIFYCUT(G, k, S) = 1 जर असा संच अस्तित्वात असेल.


This means that if P=NP, by trying all values of k we can find in polynomial time a maximum cut in any given graph.

याचा अर्थ असा आहे की जर P=NP असेल, तर k ची सर्व मूल्ये वापरून आपण कोणत्याही दिलेल्या आलेखात (graph) बहुपद वेळेत जास्तीत जास्त कट शोधू शकतो.


We can use a similar argument to show that if P=NP then we can find a satisfying assignment for every satisfiable 3CNF formula, find the longest path in a graph, solve integer programming, and so and so forth.

आपण असा युक्तिवाद वापरू शकतो हे दर्शविण्यासाठी की जर P=NP असेल तर आपण प्रत्येक समाधानकारक 3CNF सूत्रासाठी (formula) समाधानकारक असाइनमेंट शोधू शकतो, आलेखातील (graph) सर्वात लांब मार्ग शोधू शकतो, पूर्णांक प्रोग्रामिंग सोडवू शकतो, आणि इत्यादी.


Theory 101 “God doesn’t play dice with the universe”, Albert Einstein

सिद्धांत १०१ “ईश्वर विश्वाबरोबर फासे खेळत नाही”, अल्बर्ट आईनस्टाईन


Einstein was doubly wrong ... not only does God definitely play dice, but He sometimes confuses us by throwing them where they can’t be seen.”, Stephen Hawking

आईनस्टाईन दुहेरी चुकीचे होते... केवळ देव फासे खेळतो, पण तो कधीकधी आम्हाला ते फेकून गोंधळात टाकतो जेथे ते दिसत नाहीत.”, स्टीफन हॉकिंग


The probability of winning a battle has no place in our theory because it does not belong to any [random experiment].

एखादे युद्ध जिंकण्याची संभाव्यता आपल्या सिद्धांतामध्ये स्थान नाही, कारण ते कोणत्याही [यादृच्छिक प्रयोगाशी] संबंधित नाही.


Probability cannot be applied to this problem any more than the physical concept of work can be applied to the ’work’ done by an actor reciting his part.”, Richard Von Mises, 1928 (paraphrased)

या समस्येसाठी संभाव्यता लागू केली जाऊ शकत नाही, ज्याप्रमाणे कामाची भौतिक संकल्पना एखाद्या अभिनेत्याने त्याचा भाग म्हणून केलेल्या ‘कामा’साठी लागू केली जाऊ शकत नाही.”, रिचर्ड व्हॉन मिसेस, १९२८ (शब्दशः भाषांतर)


I am unable to see why ‘objectivity’ requires us to interpret every probability as a frequency in some random experiment; particularly when in most problems probabilities are frequencies only in an imaginary universe invented just for the purpose of allowing a frequency interpretation.”, E. T. Jaynes, 1976

मला हे पाहता येत नाही की ‘वस्तुनिष्ठते’मुळे आपण प्रत्येक संभाव्यतेचा अर्थ काही यादृच्छिक प्रयोगातील वारंवारता म्हणून का लावावा लागतो; विशेषत: जेव्हा बहुतेक समस्यांमध्ये संभाव्यता केवळ काल्पनिक विश्वात वारंवारता असतात, जे फक्त वारंवारता अर्थ लावण्याची परवानगी देण्यासाठी तयार केले जाते.”, ई. टी. जेन्स, १९७६


Before we show how to use randomness in algorithms, let us do a quick review of some basic notions in probability theory.

अल्गोरिदममध्ये यादृच्छिकतेचा उपयोग कसा करायचा हे दाखवण्यापूर्वी, संभाव्यता सिद्धांतातील काही मूलभूत संकल्पनांचा त्वरित आढावा घेऊया.


This is not meant to replace a course on probability theory, and if you have not seen this material before, I highly recommend you look at additional resources to get up to speed.

याचा अर्थ संभाव्यता सिद्धांतावरील कोर्स बदलणे नाही, आणि जर तुम्ही हे साहित्य यापूर्वी पाहिले नसेल, तर मी तुम्हाला गती मिळवण्यासाठी अतिरिक्त संसाधने पाहण्याची जोरदार शिफारस करतो.


Fortunately, we will not need many of the advanced notions of probability theory, but, as we will see, even the so-called “simple” setting of tossing푛coins can lead to very subtle and interesting issues.

सुदैवाने, आपल्याला संभाव्यता सिद्धांताच्या बर्‍याच प्रगत कल्पनांची आवश्यकता नाही, परंतु, आपण पाहू शकता की, नाणी फेकण्याच्या तथाकथित “सोप्या” सेटिंगमुळे देखील अतिशय सूक्ष्म आणि मनोरंजक समस्या उद्भवू शकतात.


This chapter: A non-mathy overview This chapter contains an overview of the basics of probability theory, as needed for understanding randomized computa- tion.

या प्रकरणाचा भाग: एक गैर-गणितीय विहंगावलोकन या प्रकरणात यादृच्छिक संगणन समजून घेण्यासाठी आवश्यक असलेल्या संभाव्यता सिद्धांताच्या मूलभूत गोष्टींचे विहंगावलोकन आहे.


The main topics covered are the notions of: 1. Asample space, which for us will almost always consist of the set of all possible outcomes of the experiment of tossing a finite number of independent coins.

कव्हर केलेले मुख्य विषय खालीलप्रमाणे आहेत: १. नमुना अवकाश, जे आपल्यासाठी जवळजवळ नेहमीच मर्यादित संख्येने स्वतंत्र नाणी फेकण्याच्या प्रयोगाच्या सर्व संभाव्य परिणामांचा संच असेल.


2. Anevent, which is simply a subset of the sample space, with the probability of the event happening being the fraction of outcomes that are in this subset.

२. एक घटना, जी फक्त नमुना अवकाशाचा उपसंच आहे, ज्यामध्ये घटनेची संभाव्यता या उपसंचात असलेल्या परिणामांचा अंश आहे.


3. Arandom variable, which is a way to assign some number or statistic to an outcome of the sample space.

३. एक यादृच्छिक चल, जो नमुना अवकाशाच्या निष्कर्षावर काही संख्या किंवा आकडेवारी नियुक्त करण्याचा एक मार्ग आहे.


4. The notion ofconditioning, which corresponds to how the value of a random variable (or the probability of an event) changes if we restrict attention to outcomes for which the value of another variable is known (or for which some other event has happened).

४. कंडिशनिंगची संकल्पना, जी यादृच्छिक चलाचे मूल्य (किंवा घटनेची संभाव्यता) बदलते, जर आपण इतर परिणामांवर लक्ष केंद्रित केले ज्यासाठी दुसर्‍या चलाचे मूल्य ज्ञात आहे (किंवा इतर कोणतीतरी घटना घडली आहे).


Random variables and events that have no impact on one another are calledindependent.

ज्या यादृच्छिक चलांचा आणि घटनांचा एकमेकांवर कोणताही परिणाम होत नाही, त्यांना स्वतंत्र म्हणतात.


5. Expectation, which is the average of a random variable, andconcentration boundswhich quantify the probability that a random variable can “stray too far” from its ex- pected value.

५. अपेक्षा, जी यादृच्छिक चलाची सरासरी आहे, आणि एकाग्रता मर्यादा जी संभाव्यता मोजते की यादृच्छिक चल त्याच्या अपेक्षित मूल्यापासून “फार दूर” जाऊ शकते.


These concepts are at once both basic and subtle.

या संकल्पना एकाच वेळी मूलभूत आणि सूक्ष्म आहेत.


While we will not need many “fancy” topics covered in statistics courses, including special distributions (e.g., gemoetric, Poisson, exponential, Gaussian, etc.), nor topics such as hy- pothesis testing or regression, this doesn’t mean that the probability we use is “trivial”.

आम्हाला आकडेवारीच्या अभ्यासक्रमांमध्ये समाविष्ट असलेले अनेक “फॅन्सी” विषय, विशेष वितरण (उदा., भूमितीय, पॉइझन, घातांकीय, गॉसियन, इ.) किंवा परिकल्पना चाचणी किंवा प्रतिगमन यासारखे विषय आवश्यक नाहीत, याचा अर्थ असा नाही की आपण वापरत असलेली संभाव्यता “तुच्छ” आहे.


The human brain has not evolved to do probabilistic reasoning very well, and notions such as conditioning and independence can be quite subtle and confusing even in the basic setting of tossing a random coin.

मानवी मेंदू संभाव्यतेचे तर्कशास्त्र चांगल्या प्रकारे करण्यासाठी विकसित झालेला नाही, आणि कंडिशनिंग आणि इंडिपेंडन्ससारख्या कल्पना यादृच्छिक नाणे फेकण्याच्या मूलभूत स्थितीतही अतिशय सूक्ष्म आणि गोंधळात टाकणाऱ्या असू शकतात.


However, this is all the more reason that studying these notions in this basic setting is useful not just for following this book, but also as a strong foundation for “fancier topics”.

परंतु, हे या मूलभूत सेटिंगमध्ये या कल्पनांचा अभ्यास करणे केवळ या पुस्तकाचे अनुसरण करण्यासाठीच उपयुक्त नाही, तर “अधिक आकर्षक विषयांसाठी” एक मजबूत आधार म्हणूनही उपयुक्त आहे.


18.1 RANDOM COINS The nature of randomness and probability is a topic of great philo- sophical, scientific and mathematical depth.

१८.१ यादृच्छिक नाणी यादृच्छिकतेचे स्वरूप आणि संभाव्यता हा एक महान तत्त्वज्ञानात्मक, वैज्ञानिक आणि गणितीय खोलीचा विषय आहे.


The algorithm's efficiency is a key factor in its widespread use.

अल्गोरिदमची कार्यक्षमता त्याच्या व्यापक वापरामागे एक महत्त्वाचे कारण आहे.


Randomized algorithms often provide elegant solutions to complex problems.

यादृच्छिक अल्गोरिदम अनेकदा जटिल समस्यांवर उत्कृष्ट तोडगा देतात.


The Schwartz-Zippel lemma is a fundamental concept in this field.

श्वाartz-झिप्पेल् प्रमेय या क्षेत्रात एक मूलभूत संकल्पना आहे.


We will use the following result: Theorem 19.7— Schwartz–Zippel lemma.

आपण खालील निष्कर्ष वापरू: प्रमेय 19.7— श्वाartz-झिप्पेल् प्रमेय.


The proof of Theorem 19.7 is not too complicated.

प्रमेय 19.7 ची सिद्धता फार क्लिष्ट नाही.


हा अल्गोरिदम आणखी सुधारला जाऊ शकतो.


The algorithm does not produce a matching but only states that one exists.

अल्गोरिदम जुळणारे तयार करत नाही, परंतु फक्त एक अस्तित्वात आहे असे दर्शवते.


The Schwartz–Zippel Lemma is widely used in computer science.

संगणक विज्ञान मध्ये श्वाartz-झिप्पेल् प्रमेयाचा मोठ्या प्रमाणावर उपयोग केला जातो.


Using concentration results, we can amplify the success probability.

एकाग्रता परिणामांचा वापर करून, आपण यशाची संभाव्यता वाढवू शकतो.


There are several randomized algorithms that are better.

असे अनेक यादृच्छिक अल्गोरिदम आहेत जे अधिक चांगले आहेत.


Prove that for every ε > 0, if n is large enough.

सिद्ध करा की प्रत्येक ε > 0 साठी, जर n पुरेसे मोठे असेल तर.


Modeling randomized computation is actually quite easy.

यादृच्छिक गणन मॉडेल करणे खरोखरच सोपे आहे.


We can add the following operations to any programming language.

आपण कोणत्याही प्रोग्रामिंग भाषेत खालील ऑपरेशन्स जोडू शकतो.


The result of applying this operation is that foo is assigned a random bit.

या ऑपरेशनचा परिणाम म्हणजे foo ला एक यादृच्छिक बिट नियुक्त केला जातो.


We call the programming languages that are augmented with this extra operation RNAND-TM.

या अतिरिक्त ऑपरेशनसह वाढवलेल्या प्रोग्रामिंग भाषांना RNAND-TM म्हणतात.


We can easily define randomized Turing machines.

आम्ही सहजपणे यादृच्छिक ट्युरिंग मशीनची व्याख्या करू शकतो.


This chapter focuses on modeling probabilistic computation.

या अध्यायात संभाव्य गणन मॉडेलिंगवर लक्ष केंद्रित केले आहे.


We can define the class BPP that captures all Boolean functions.

आपण BPP वर्ग परिभाषित करू शकतो जे सर्व बुलियन फंक्शन्स कॅप्चर करते.


We can amplify the success probability of randomized algorithms.

आम्ही यादृच्छिक अल्गोरिदमची यशाची संभाव्यता वाढवू शकतो.


The definition of BPP is equivalent whether or not we require 2/3 success.

BPP ची व्याख्या 2/3 यश आवश्यक आहे की नाही यावर अवलंबून नाही.


We will not use these terms anymore, and simply talk about randomized algorithms.

आम्ही यापुढे हे शब्द वापरणार नाही, आणि फक्त यादृच्छिक अल्गोरिदमबद्दल बोलू.


In early computer systems, much effort was taken to drive out randomness and noise.

सुरुवातीच्या संगणक प्रणालींमध्ये, यादृच्छिकता आणि गोंधळ दूर करण्यासाठी खूप प्रयत्न करण्यात आले.


This motivated John von Neumann to write a paper on how to error correct computation.

यामुळे जॉन वॉन न्यूमन यांना त्रुटी-सुधारणा संगणनावर एक पेपर लिहायला प्रेरणा मिळाली.


So it is quite surprising that randomness turned out not just a hindrance but also a resource for computation.

म्हणूनच, हे आश्चर्यकारक आहे की यादृच्छिकता केवळ अडथळा ठरली नाही तर संगणनासाठी एक साधन म्हणूनही समोर आली.


One of the first applications involved the very same John von Neumann.

पहिला उपयोजनांपैकी एकात त्याच जॉन वॉन न्यूमनचा समावेश होता.


While he was sick in bed and playing cards, Stan Ulam came up with the observation that calculating statistics of a system could be done much faster by running several randomized simulations.

जेव्हा ते अंथरुणावर आजारी होते आणि पत्ते खेळत होते, तेव्हा स्टॅन यूलम यांनी हे निरीक्षण केले की, यादृच्छिक सिमुलेशन चालवून सिस्टमची आकडेवारी मोजणे खूप जलद करता येते.


He mentioned this idea to von Neumann, who became very excited about it.

त्यांनी ही कल्पना वॉन न्यूमन यांना सांगितली, जे त्याबद्दल खूप उत्साहित झाले.


Indeed, it turned out to be crucial for the neutron transport calculations that were needed for development of the Atom bomb and later on the hydrogen bomb.

खरं तर, अणुबॉम्ब आणि नंतर हायड्रोजन बॉम्बच्या विकासासाठी आवश्यक असलेल्या न्यूट्रॉन ट्रान्सपोर्ट गणनेसाठी हे महत्त्वपूर्ण ठरले.


Because this project was highly classified, Ulam, von Neumann and their collaborators came up with the codeword “Monte Carlo” for this approach.

हा प्रकल्प अत्यंत वर्गीकृत असल्याने, यूलम, वॉन न्यूमन आणि त्यांच्या सहकाऱ्यांनी या दृष्टिकोनसाठी “माँटे कार्लो” हे सांकेतिक नाव तयार केले.


The name stuck, and randomized algorithms are known as Monte Carlo algorithms to this day.

हे नाव तसेच राहिले, आणि यादृच्छिक अल्गोरिदम आजही माँटे कार्लो अल्गोरिदम म्हणून ओळखले जातात.


In this chapter, we will see some examples of randomized algorithms.

या अध्यायात, आपण यादृच्छिक अल्गोरिदमची काही उदाहरणे पाहू.


We will describe the algorithms in an informal / “pseudo-code” way.

आम्ही अल्गोरिदम अनौपचारिक / “स्यूडो-कोड” पद्धतीने वर्णन करू.


This chapter gives some examples of randomized algorithms to get a sense of why probability can be useful for computation.

या अध्यायात यादृच्छिक अल्गोरिदमची काही उदाहरणे दिली आहेत, ज्यामुळे संभाव्यता संगणनासाठी उपयुक्त का असू शकते, याची कल्पना येते.


आपण खालील उदाहरणाने सुरुवात करूया.


Recall the maximum cut problem of finding, given a graph G = (V, E), the cut that maximizes the number of edges.

ग्राफ G = (V, E) दिला असता, कट्स शोधून काढणे, जे कट्स कडांची संख्या वाढवतात, हे कमाल कट समस्या लक्षात घ्या.


This problem is NP-hard, which means that we do not know of any efficient algorithm that can solve it.

ही समस्या NP-कठीण आहे, याचा अर्थ असा आहे की, ती सोडवणारा कोणताही कार्यक्षम अल्गोरिदम आपल्याला माहित नाही.


But randomization enables a simple algorithm that can cut at least half of the edges.

परंतु यादृच्छिकरण एक सोपा अल्गोरिदम सक्षम करते जे कमीतकमी अर्ध्या कडा कापू शकते.


आपण फक्त एक यादृच्छिक कट निवडतो.


It’s not hard to see that each edge is cut with probability 1/2.

हे पाहणे कठीण नाही की प्रत्येक कडा 1/2 संभाव्यतेसह कापली जाते.


अल्गोरिदम अत्यंत सोपा आहे.


आज हवामान सुखद आहे.


कृपया, मला मीठ द्याल का?


I am going to the market to buy some vegetables.

मी बाजारात भाजीपाला खरेदीसाठी जात आहे.


The company's profits increased significantly this quarter.

या तिमाहीत कंपनीचा नफा लक्षणीय वाढला.


The algorithm efficiently sorts the data.

अल्गोरिदम डेटाची कार्यक्षमतेने क्रमवारी लावतो.


She is a talented musician and plays the sitar beautifully.

ती एक प्रतिभावान संगीतकार आहे आणि ती सुंदररित्या sitar वाजवते.


The government announced new policies to boost the economy.

अर्थव्यवस्थेला चालना देण्यासाठी सरकारने नवीन धोरणे जाहीर केली.


Please submit your application before the deadline.

कृपया अंतिम मुदतीपूर्वी तुमचा अर्ज सादर करा.


The conference will be held next month in Mumbai.

पुढील महिन्यात मुंबईत परिषद आयोजित केली जाईल.


He is studying for his exams diligently.

तो त्याच्या परीक्षांसाठी परिश्रमपूर्वक अभ्यास करत आहे.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

आव्हानांवर मात करूनही, त्यांनी चिकाटीने काम केले आणि यश मिळवले.


The research paper explores the impact of climate change.

संशोधन पेपर हवामान बदलाच्या परिणामांचे परीक्षण करतो.


The intricate design of the building is quite impressive.

इमारतीची गुंतागुंतीची रचना खूप प्रभावी आहे.


The company is investing heavily in renewable energy sources.

कंपनी अक्षय ऊर्जा स्रोतांमध्ये मोठ्या प्रमाणात गुंतवणूक करत आहे.


The software update includes several bug fixes and performance improvements.

सॉफ्टवेअर अपडेटमध्ये अनेक बग फिक्स आणि कार्यक्षमतेत सुधारणा समाविष्ट आहेत.


The philosophical debate centered on the nature of consciousness.

तत्त्वज्ञानाचा वाद चेतनेच्या स्वरूपावर केंद्रित होता.


The economic forecast predicts a period of slow growth.

आर्थिक अंदाजानुसार कमी वाढीचा कालावधी दर्शविला आहे.


The artist's unique style is easily recognizable.

कलाकाराची अनोखी शैली सहज ओळखता येते.


The complex interplay of factors led to the crisis.

घटकांच्या जटिल आंतरक्रियेमुळे ही समस्या उद्भवली.


The committee will review the proposal next week.

समिती पुढील आठवड्यात प्रस्तावाचे पुनरावलोकन करेल.


At the end of the day, it simply says that if X and Y are random variables that depend on two disjoint sets S and T of coins, then they are independent.

दिवसाच्या शेवटी, हे फक्त एवढेच सांगते की जर X आणि Y हे यादृच्छिक चल (random variables) असतील जे दोन भिन्न नाण्यांच्या संचांवर (sets) अवलंबून असतात, तर ते एकमेकांवर अवलंबून नसतात.


Proof of Lemma 18.6. Let a, b ∈ ℝ, and let A = {x ∈ {0,1} k ∶ F(x) = a} and B = {x ∈ {0,1} m ∶ G(x) = b}.

लेम्मा 18.6 चा पुरावा. समजा a, b ∈ ℝ, आणि A = {x ∈ {0,1} k ∶ F(x) = a} आणि B = {x ∈ {0,1} m ∶ G(x) = b}.


Since S and T are disjoint, we can reorder the indices so that S = {0,...,k−1} and T = {k,...,k+m−1} without affecting any of the probabilities.

S आणि T हे वेगवेगळे (disjoint) असल्यामुळे, आपण निर्देशांक (indices) पुन्हा व्यवस्थित करू शकतो, जेणेकरून S = {0,...,k−1} आणि T = {k,...,k+m−1} होतील, संभाव्यतेवर (probabilities) कोणताही परिणाम न करता.


Hence we can write Pr[X = a ∧ Y = b] = |C|/2 n where C = {x 0 ,...,x n−1 ∶ (x 0 ,...,x k−1 ) ∈ A ∧ (x k ,...,x k+m−1 ) ∈ B}.

म्हणून, आपण असे लिहू शकतो Pr[X = a ∧ Y = b] = |C|/2 n जेथे C = {x 0 ,...,x n−1 ∶ (x 0 ,...,x k−1 ) ∈ A ∧ (x k ,...,x k+m−1 ) ∈ B}.


Another way to write this using string concatenation is that C = {xy z ∶ x ∈ A, y ∈ B, z ∈ {0,1} n−k−m }, and hence |C| = |A||B|2 n−k−m , which means that |C| 2 n = |A| 2 k |B| 2 m 2 n−k−m 2 n−k−m =Pr[X = a]Pr[Y = b].

स्ट्रिंग जोडणी (string concatenation) वापरून हे लिहायची दुसरी पद्धत म्हणजे C = {xy z ∶ x ∈ A, y ∈ B, z ∈ {0,1} n−k−m }, आणि म्हणून |C| = |A||B|2 n−k−m , याचा अर्थ |C| 2 n = |A| 2 k |B| 2 m 2 n−k−m 2 n−k−m =Pr[X = a]Pr[Y = b].


If X and Y are independent random variables then (letting S X , S Y denote the sets of all numbers that have positive probability of being the output of X and Y, respectively):

जर X आणि Y हे स्वतंत्र यादृच्छिक चल असतील तर (S X , S Y हे सर्व संख्यांचे संच दर्शवतात ज्यांची X आणि Y च्या आउटपुटमध्ये सकारात्मक संभाव्यता आहे):


Another useful fact is that if X and Y are independent random variables, then so are F(X) and G(Y) for all functions F, G ∶ ℝ → ℝ.

दुसरी उपयुक्त गोष्ट म्हणजे, जर X आणि Y हे स्वतंत्र यादृच्छिक चल असतील, तर F(X) आणि G(Y) हे देखील स्वतंत्र असतात, सर्व फंक्शन्स F, G ∶ ℝ → ℝ साठी.


This is intuitively true since learning F(X) can only provide us with less information than does learning X itself.

हे अंतर्ज्ञानाने (intuitively) सत्य आहे कारण F(X) शिकल्याने आपल्याला X स्वतः शिकण्यापेक्षा कमी माहिती मिळू शकते.


We can extend the notions of independence to more than two random variables: we say that the random variables X 0 ,...,X n−1 are mutually independent if for every a 0 ,...,a n−1 ∈ ℝ, Pr[X 0 = a 0 ∧⋯∧X n−1 = a n−1 ] =Pr[X 0 = a 0 ]⋯Pr[X n−1 = a n−1 ].

आपण दोनपेक्षा जास्त यादृच्छिक चलांपर्यंत (random variables) स्वातंत्र्याची कल्पना वाढवू शकतो: आपण म्हणतो की यादृच्छिक चल X 0 ,...,X n−1 परस्परावलंबी (mutually independent) आहेत जर प्रत्येक a 0 ,...,a n−1 ∈ ℝ साठी, Pr[X 0 = a 0 ∧⋯∧X n−1 = a n−1 ] =Pr[X 0 = a 0 ]⋯Pr[X n−1 = a n−1 ].


If X 0 ,...,X n−1 are mutually independent then E[ ∏ i=0 n−1 X i ] = ∏ i=0 n−1 E[X i ].

जर X 0 ,...,X n−1 परस्परावलंबी असतील तर E[ ∏ i=0 n−1 X i ] = ∏ i=0 n−1 E[X i ].


If X 0 ,...,X n−1 are mutually independent, and Y 0 ,...,Y n−1 are defined as Y i = F i (X i ) for some functions F 0 ,...,F n−1 ∶ ℝ → ℝ, then Y 0 ,...,Y n−1 are mutually independent as well.

जर X 0 ,...,X n−1 परस्परावलंबी असतील, आणि Y 0 ,...,Y n−1 हे Y i = F i (X i ) असे परिभाषित केले असतील काही फंक्शन्स F 0 ,...,F n−1 ∶ ℝ → ℝ साठी, तर Y 0 ,...,Y n−1 हे देखील परस्परावलंबी असतील.


The name “expectation” is somewhat misleading.

“अपेक्षा” (expectation) हे नाव काहीसे दिशाभूल करणारे आहे.


For example, suppose that you and I place a bet on the outcome of 10 coin tosses, where if they all come out to be 1 ’s then I pay you 100,000 dollars and otherwise you pay me 10 dollars.

उदाहरणार्थ, असे समजू या की मी आणि तुम्ही 10 नाणेफेकीवर (coin tosses) पैज लावतो, ज्यात जर सर्व 1 आले तर मी तुम्हाला 100,000 डॉलर देईन आणि अन्यथा तुम्ही मला 10 डॉलर द्याल.


If we let X ∶ {0,1} 10 → ℝ be the random variable denoting your gain, then we see that E[X] = 2 −10 ⋅100000−(1−2 −10 )10 ∼ 90.

जर आपण X ∶ {0,1} 10 → ℝ हे तुमचे उत्पन्न दर्शवणारे यादृच्छिक चल मानले, तर आपल्याला दिसते की E[X] = 2 −10 ⋅100000−(1−2 −10 )10 ∼ 90.


However, if we repeat this experiment again and again (with fresh and hence independent coins), then in the long run we do expect your average earning to be close to 90 dollars, which is the reason why casinos can make money in a predictable way even though every individual bet is random.

परंतु, जर आपण हा प्रयोग पुन्हा पुन्हा (नवीन आणि म्हणूनच स्वतंत्र नाण्यांसह) केला, तर दीर्घकाळात, आपण अपेक्षा करतो की तुमची सरासरी कमाई 90 डॉलरच्या जवळ असेल, ज्यामुळे कॅसिनो (casinos) एक अंदाज लावता येण्यासारख्या पद्धतीने पैसे कमवू शकतात, जरी प्रत्येक वैयक्तिक पैज यादृच्छिक (random) असली तरी.


Much of probability theory is concerned with so called concentration or tail bounds, which are upper bounds on the probability that a random variable X deviates too much from its expectation.

संभाव्यता सिद्धांताचा (probability theory) बराचसा भाग ‘कन्सन्ट्रेशन’ (concentration) किंवा ‘टेल बाउंड्स’ (tail bounds) शी संबंधित आहे, जे यादृच्छिक चल X त्याच्या अपेक्षेपासून (expectation) खूप विचलित होण्याची संभाव्यता दर्शवतात.


The first and simplest one of them is Markov’s inequality: Theorem 18.9— Markov’s inequality. If X is a non-negative random variable then for every k > 0, Pr[X ≥ kE[X]] ≤ 1/k.

त्यापैकी पहिले आणि सर्वात सोपे म्हणजे मार्कोव्हची असमानता: प्रमेय 18.9— मार्कोव्हची असमानता. जर X हे एक ऋण-व्यतिरिक्त (non-negative) यादृच्छिक चल असेल, तर प्रत्येक k > 0 साठी, Pr[X ≥ kE[X]] ≤ 1/k.


For example, if you know that the average (not the median!) household income in the US is 70,000 dollars, then in particular you can deduce that at most 25 percent of households make more than 280,000 dollars, since otherwise, even if the remaining 75 percent had zero income, the top 25 percent alone would cause the average income to be larger than 70,000 dollars.

उदाहरणार्थ, जर तुम्हाला माहित असेल की अमेरिकेतील सरासरी (मध्यक (median) नाही!) कुटुंबाचे उत्पन्न 70,000 डॉलर आहे, तर तुम्ही हे विशेषतः अनुमान लावू शकता की जास्तीत जास्त 25 टक्के कुटुंबे 280,000 डॉलरपेक्षा जास्त कमावतात, कारण अन्यथा, उर्वरित 75 टक्के लोकांचे उत्पन्न शून्य असले तरी, फक्त वरचे 25 टक्के सरासरी उत्पन्नापेक्षा जास्त उत्पन्न दर्शवतील, जे 70,000 डॉलरपेक्षा जास्त आहे.


From this example you can already see that in many situations, Markov’s inequality will not be tight and the probability of deviating from expectation will be much smaller: see the Chebyshev and Chernoff inequalities below.

या उदाहरणावरून, तुम्ही हे आधीच पाहू शकता की बर्‍याच परिस्थितीत, मार्कोव्हची असमानता अचूक (tight) नसेल आणि अपेक्षेपासून विचलित होण्याची संभाव्यता खूपच कमी असेल: खाली चेबिशेव्ह (Chebyshev) आणि चेर्नोफ (Chernoff) असमानता पहा.


Markov’s Inequality is actually a very natural statement.

मार्कोव्हची असमानता (Markov’s Inequality) हे खरं तर एक अतिशय नैसर्गिक विधान आहे.


आज हवामान खूप छान आहे.


कृपया, मला मीठ द्याल का?


I am going to the market to buy some vegetables.

मी बाजारात भाजीपाला खरेदी करायला जात आहे.


The company announced a new product launch.

कंपनीने नवीन उत्पादन सुरू करण्याची घोषणा केली.


The government is implementing new policies to boost the economy.

सरकार अर्थव्यवस्थेला चालना देण्यासाठी नवीन धोरणे राबवत आहे.


He is a highly skilled software engineer.

तो एक अत्यंत कुशल सॉफ्टवेअर अभियंता आहे.


The research paper explores the impact of climate change.

संशोधन निबंध हवामान बदलाच्या परिणामांचे परीक्षण करतो.


The algorithm efficiently sorts the data.

अल्गोरिदम डेटाची कार्यक्षमतेने क्रमवारी लावतो.


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

आव्हानांवर मात करूनही, त्यांनी चिकाटीने प्रयत्न केले आणि यश मिळवले.


The meeting was adjourned due to lack of quorum.

कोरमअभावी सभा तहकूब करण्यात आली.


The artist's work is known for its vibrant colors and bold strokes.

कलाकाराची कलाकृती तिच्या तेजस्वी रंगांसाठी आणि ठळक स्ट्रोक्ससाठी ओळखली जाते.


The economic forecast predicts a period of slow growth.

आर्थिक अंदाजानुसार, मंद वाढीचा कालावधी दर्शविला आहे.


The company is facing stiff competition in the market.

कंपनीला बाजारात तीव्र स्पर्धेचा सामना करावा लागत आहे.


The new regulations will impact small businesses.

नवीन नियमांमुळे लहान व्यवसायांवर परिणाम होईल.


The complex system requires careful maintenance.

गुंतागुंतीच्या प्रणालीसाठी काळजीपूर्वक देखभाल आवश्यक आहे.


The study analyzed the correlation between two variables.

अभ्यासात दोन चलांमधील सहसंबंधाचे विश्लेषण केले.


The project was completed ahead of schedule.

प्रकल्प वेळेपूर्वीच पूर्ण झाला.


The team worked collaboratively to achieve their goals.

संघीय ध्येय साध्य करण्यासाठी एकत्रितपणे काम केले.


The judge delivered a verdict after a lengthy trial.

न्यायाधीशांनी प्रदीर्घ सुनावणीनंतर निकाल दिला.


The data was encrypted using a strong algorithm.

डेटा एका मजबूत अल्गोरिदमचा वापर करून एन्क्रिप्ट केला गेला.


The map 푦 ↦ 퐷 푘 (푦) inverts the map 푥 ↦ 퐸 푘 (푥).

नकाशा 푦 ↦ 퐷 푘 (푦) नकाशा 푥 ↦ 퐸 푘 (푥) उलट करतो.


Defining security is not a trivial matter.

सुरक्षेची व्याख्या करणे सोपे काम नाही.


प्रणालीमध्ये गोपनीयतेची आवश्यकता नसावी.


A cryptosystem should be secure even if everything about the system, except the key, is public knowledge.

एखादी क्रिप्टोसystem सुरक्षित असायला हवी, जरी चावी वगळता, त्या प्रणालीबद्दलची प्रत्येक गोष्ट सार्वजनिक ज्ञान असली तरीही.


यादृच्छिकतेशिवाय गोपनीयता नाही.


At the heart of every cryptographic scheme there is a secret key.

प्रत्येक क्रिप्टोग्राफिक योजनेच्या केंद्रस्थानी एक गुप्त कळ असते.


Choosing the secrets for cryptography requires generating randomness.

क्रिप्टोग्राफीसाठी रहस्ये निवडण्यासाठी यादृच्छिकता निर्माण करणे आवश्यक आहे.


Randomness generators often turn out to be the Achilles heel of secure systems.

यादृच्छिकता जनरेटर अनेकदा सुरक्षित प्रणालीचे ऍकिलीस हील ठरतात.


Since randomness is so crucial to security, breaking the procedure to generate randomness can lead to a complete break of the system.

यादृच्छिकता सुरक्षिततेसाठी अत्यंत महत्त्वाची असल्याने, यादृच्छिकता निर्माण करण्याची प्रक्रिया मोडल्यास प्रणाली पूर्णपणे खंडित होऊ शकते.


An encryption scheme is secure if it is not possible to recover the key.

एन्क्रिप्शन योजना सुरक्षित आहे, जर कळ परत मिळवणे शक्य नसेल तर.


The condition of perfect secrecy simply corresponds to requiring that every two plaintexts have exactly the same set of neighbors.

परिपूर्ण गोपनीयतेची अट, फक्त हे आवश्यक आहे की प्रत्येक दोन साध्या मजकुराचे (plaintexts) शेजारी समान असावेत.


An encryption reveals absolutely nothing about the message.

एन्क्रिप्शन संदेशाबद्दल काहीही उघड करत नाही.


Suppose that Alice sends only one of two possible messages: “attack” or “retreat”.

असे समजा की ऍलिस फक्त दोन संभाव्य संदेशांपैकी एक पाठवते: “हल्ला” किंवा “माघार”.


This example can be vastly generalized to show that perfect secrecy is indeed “perfect”.

हे उदाहरण हे दर्शविण्यासाठी मोठ्या प्रमाणावर सामान्य केले जाऊ शकते की परिपूर्ण गोपनीयता खरोखरच “परिपूर्ण” आहे.


Perfect secrecy is an extremely strong condition.

परिपूर्ण गोपनीयता ही एक अत्यंत मजबूत अट आहे.


Such a scheme for two-bit messages is illustrated in Fig. 21.8.

दोन-बिट संदेशांसाठीची अशी योजना आकृती 21.8 मध्ये दर्शविली आहे.


एन्क्रिप्शन अत्यंत सोपे आहे.


The one-time pad is efficient, and gives perfect secrecy.

वन-टाइम पॅड कार्यक्षम आहे आणि परिपूर्ण गोपनीयता देते.


Imagine that every time you opened an account with Amazon, they would need to send you in the mail a DVD full of random numbers.

कल्पना करा की प्रत्येक वेळी तुम्ही ऍमेझॉनमध्ये खाते उघडले की, त्यांना तुम्हाला पोस्टाने यादृच्छिक संख्यांनी भरलेली डीव्हीडी पाठवावी लागेल.


परिपूर्ण गोपनीयतेसाठी मोठ्या कळा आवश्यक आहेत.


It's not hard to see that if F is in BPP then it can be computed in exponential time.

हे पाहणे कठीण नाही की जर F BPP मध्ये असेल तर ते घातांकीय वेळेत मोजले जाऊ शकते.


The proof readily follows by enumerating over all the (exponentially many) choices for the random coins.

याचा पुरावा सहजपणे सर्व (घातांकीयदृष्ट्या अनेक) यादृच्छिक नाण्यांसाठी पर्याय मोजून मिळतो.


We omit the formal proof, as doing it by yourself is an excellent way to get comfortable with Definition 20.1.

आम्ही औपचारिक पुरावा वगळतो, कारण ते स्वतः करणे व्याख्या 20.1 शी परिचित होण्याचा एक उत्कृष्ट मार्ग आहे.


A priori it is not at all clear that the same holds for a function in BPP, but this does turn out to be the case.

a priori हे मुळीच स्पष्ट नाही की BPP मधील कार्यासाठी हेच लागू होते, परंतु हे घडते.


The standard BPP guarantee corresponds to the middle figure.

मानक BPP हमी मध्यभागी असलेल्या आकृतीशी संबंधित आहे.


That is, every column is colored green in at least two thirds of its coordinates.

म्हणजे, प्रत्येक स्तंभातील किमान दोन तृतीयांश समन्वय हिरवे रंगलेले आहेत.


In the left figure we have an “average case” guarantee where the algorithm is only guaranteed to output the correct answer with probability two thirds over a random input.

डावीकडील आकृतीमध्ये आपल्याकडे “सरासरी केस” हमी आहे जिथे अल्गोरिदम यादृच्छिक इनपुटवर दोन तृतीयांश संभाव्यतेसह अचूक उत्तर देण्याची हमी आहे.


That is, at least two thirds of the rows are all green.

म्हणजे, किमान दोन तृतीयांश ओळी पूर्णपणे हिरव्या आहेत.


Theorem 20.8 (BPP ⊆ P / poly) is proven by amplifying the success of a BPP algorithm until we have the “offline BPP” guarantee.

प्रमेय 20.8 (BPP ⊆ P / poly) BPP अल्गोरिदमचे यश वाढवून सिद्ध केले जाते जोपर्यंत आपल्याकडे “ऑफलाइन BPP” हमी मिळत नाही.


That is, for every F ∈ BPP, there exist some a, b ∈ ℕ such that for every n > 0, F ↾ n ∈ SIZE(anb) where F ↾ n is the restriction of F to inputs in {0,1}n.

म्हणजे, प्रत्येक F ∈ BPP साठी, असे काही a, b ∈ ℕ अस्तित्वात आहेत की प्रत्येक n > 0 साठी, F ↾ n ∈ SIZE(anb) जेथे F ↾ n हे {0,1}n मधील इनपुटवर F चे निर्बंध आहे.


The idea behind the proof is that we can first amplify by repetition the probability of success from 2/3 to 1 − 0.1 ⋅ 2 −n.

या प्रुफमागील कल्पना अशी आहे की, आपण प्रथम पुनरावृत्ती करून यशाची संभाव्यता 2/3 वरून 1 − 0.1 ⋅ 2 −n पर्यंत वाढवू शकतो.


This will allow us to show that for every n ∈ ℕ there exists a single fixed choice of “favorable coins” which is a string r of length polynomial in n such that if r is used for the randomness then we output the right answer on all of the possible 2n inputs.

हे आपल्याला हे दर्शविण्यास अनुमती देईल की प्रत्येक n ∈ ℕ साठी “अनुकूल नाण्यां”ची एक निश्चित निवड आहे जी n मध्ये बहुपदी लांबीची r स्ट्रिंग आहे, जसे की यादृच्छिकतेसाठी r वापरल्यास, आम्ही सर्व संभाव्य 2n इनपुटवर योग्य उत्तर देऊ.


We can then use the standard “unravelling the loop” technique to transform an RNAND-TM program to an RNAND-CIRC program, and “hardwire” the favorable choice of random coins.

त्यानंतर, आम्ही RNAND-TM प्रोग्रामला RNAND-CIRC प्रोग्राममध्ये रूपांतरित करण्यासाठी आणि यादृच्छिक नाण्यांची अनुकूल निवड “हार्डवायर” करण्यासाठी मानक “अनराव्हलिंग द लूप” तंत्र वापरू शकतो.


असे समजा की F ∈ BPP.


Using Theorem 20.5, we can amplify the success probability of P to obtain an RNAND-TM program P′ that is at most a factor of O(n) slower.

प्रमेय 20.5 वापरून, आम्ही P ची यश संभाव्यता वाढवू शकतो, RNAND-TM प्रोग्राम P′ मिळवण्यासाठी, जे जास्तीत जास्त O(n) घटकाने मंद आहे.


For every x ∈ {0,1}n, define the “bad” event Bx to hold if P′(x) ≠ F(x), where the sample space for this event consists of the coins of P′.

प्रत्येक x ∈ {0,1}n साठी, “वाईट” घटना Bx परिभाषित करा, जर P′(x) ≠ F(x) असेल, जेथे या घटनेसाठी नमुना अवकाश P′ च्या नाण्यांचा बनलेला आहे.


This means that if we choose r ∼ {0,1}m, then with probability at least 0.9 it will be the case that for every x ∈ {0,1}n, F(x) = P′(x; r).

याचा अर्थ असा आहे की, जर आपण r ∼ {0,1}m निवडले, तर किमान 0.9 संभाव्यतेसह असे होईल की प्रत्येक x ∈ {0,1}n साठी, F(x) = P′(x; r).


In particular, because of the mere fact that the probability of ∪x∈{0,1}n Bx is smaller than 1, this means that there exists a particular r∗ ∈ {0,1}m such that P′(x; r∗) = F(x) for every x ∈ {0,1}n.

विशेषतः, ∪x∈{0,1}n Bx ची संभाव्यता 1 पेक्षा कमी आहे या वस्तुस्थितीमुळे, याचा अर्थ असा आहे की एक विशिष्ट r∗ ∈ {0,1}m अस्तित्वात आहे जसे की P′(x; r∗) = F(x) प्रत्येक x ∈ {0,1}n साठी.


Now let us use the standard “unravelling the loop” technique and transform P′ into a NAND-CIRC program Q of polynomial in n size.

आता, आपण मानक “अनराव्हलिंग द लूप” तंत्र वापरूया आणि P′ चे n आकारात बहुपदी असलेल्या NAND-CIRC प्रोग्राम Q मध्ये रूपांतर करूया.


We can replace a poly(n)-time algorithm that tosses coins as it runs with an algorithm that uses a single set of coin tosses r∗ ∈ {0,1}poly(n) which will be good enough for all inputs of size n.

आपण poly(n)-वेळेचा अल्गोरिदम जो नाणी टाकतो, त्याऐवजी असा अल्गोरिदम वापरू शकतो जो नाण्यांच्या एकाच संचाचा वापर करतो r∗ ∈ {0,1}poly(n) जे n आकाराच्या सर्व इनपुटसाठी पुरेसे चांगले असेल.


The study of quantum computing is fascinating.

क्वांटम संगणकाचा अभ्यास खूप आकर्षक आहे.


Quantum mechanics describes the behavior of matter at the atomic and subatomic levels.

क्वांटम मेकॅनिक्स अणू आणि उप-अणू स्तरावर पदार्थांचे वर्तन वर्णन करते.


Shor's algorithm is a quantum algorithm for factoring integers in polynomial time.

शोरचा अल्गोरिदम हा पूर्णांकांचे बहुपद वेळेत घटक पाडण्यासाठी एक क्वांटम अल्गोरिदम आहे.


The double-slit experiment demonstrates the wave-particle duality of matter.

दुहेरी-स्लिट प्रयोग पदार्थाची तरंग-कण द्वैतता दर्शवतो.


Quantum computers could revolutionize fields like medicine and materials science.

क्वांटम संगणक औषध आणि सामग्री विज्ञान यासारख्या क्षेत्रांमध्ये क्रांती घडवू शकतात.


Understanding quantum entanglement is key to building quantum computers.

क्वांटम एन्टेन्गलमेंट समजून घेणे हे क्वांटम संगणक बनवण्यासाठी महत्त्वाचे आहे.


The concept of superposition is fundamental to quantum computing.

सुपरपोजिशनची संकल्पना क्वांटम संगणकासाठी मूलभूत आहे.


Quantum cryptography offers secure communication methods.

क्वांटम क्रिप्टोग्राफी सुरक्षित संवाद पद्धती देते.


Researchers are actively working on building practical quantum computers.

संशोधक सक्रियपणे व्यावहारिक क्वांटम संगणक तयार करण्यावर काम करत आहेत.


The potential of quantum computing is immense.

क्वांटम संगणकाची क्षमता खूप मोठी आहे.


Classical computers use bits, while quantum computers use qubits.

क्लासिक संगणक बिट्स वापरतात, तर क्वांटम संगणक क्यूबिट्स वापरतात.


Quantum algorithms can solve certain problems much faster than classical algorithms.

क्वांटम अल्गोरिदम काही समस्या क्लासिकल अल्गोरिदमपेक्षा खूप जलद सोडवू शकतात.


The field of quantum information is rapidly evolving.

क्वांटम माहितीचे क्षेत्र वेगाने विकसित होत आहे.


Quantum error correction is crucial for building fault-tolerant quantum computers.

दोष-सहनशील क्वांटम संगणक तयार करण्यासाठी क्वांटम त्रुटी सुधारणे आवश्यक आहे.


The development of quantum computers faces significant technological challenges.

क्वांटम संगणकांच्या विकासाला महत्त्वपूर्ण तांत्रिक आव्हानांचा सामना करावा लागतो.


Quantum computing has the potential to break current encryption methods.

क्वांटम संगणकामध्ये सध्याच्या एन्क्रिप्शन पद्धती तोडण्याची क्षमता आहे.


संगणकाचे भविष्य क्वांटम असू शकते.


Scientists are exploring various qubit technologies.

शास्त्रज्ञ विविध क्यूबिट तंत्रज्ञानाचा शोध घेत आहेत.


Quantum computers could simulate complex systems.

क्वांटम संगणक जटिल प्रणालींचे अनुकरण करू शकतात.


The study of quantum computing requires a strong background in physics and mathematics.

क्वांटम संगणकाचा अभ्यास करण्यासाठी भौतिकशास्त्र आणि गणितामध्ये चांगली पार्श्वभूमी असणे आवश्यक आहे.


अल्गोरिदमची पायऱ्या जटिल आहेत.


Shor's algorithm is used for prime factorization.

शॉरचा अल्गोरिदम मूळ घटक पाडण्यासाठी वापरला जातो.


The quantum Fourier transform is a key component.

क्वांटम फोरियर रूपांतरण एक महत्त्वाची component आहे.


We need to understand the Fourier transform.

आपल्याला फोरियर रूपांतरण समजून घेणे आवश्यक आहे.


अल्गोरिदममध्ये पुनरावृत्तीचे टप्पे समाविष्ट आहेत.


एक यादृच्छिक संख्या A निवडा.


The output is the prime factorization of M.

आउटपुट M चे मूळ घटक आहेत.


ही एक जटिल गणितीय संकल्पना आहे.


अल्गोरिदम अनेक वेळा चालतो.


The period of the function is important.

कार्याचे आवर्तन महत्त्वाचे आहे.


क्वांटम स्थिती मोजली जाते.


This algorithm is computationally intensive.

हा अल्गोरिदम संगणकीयदृष्ट्या गहन आहे.


The Fourier transform has many applications.

फोरियर रूपांतरणाचे अनेक उपयोग आहेत.


गट सिद्धांत समजून घेणे उपयुक्त आहे.


अक्षरे होमोमॉर्फिझम आहेत.


हेडामार्ड ऑपरेशन वापरले जाते.


सिद्धतेमध्ये गणना समाविष्ट आहे.


Simon's algorithm inspired Shor's algorithm.

सायमनच्या अल्गोरिदमने शोरच्या अल्गोरिदमला प्रेरणा दिली.


महत्वाचा टप्पा म्हणजे फोरियर रूपांतरण.


This is an advanced topic in quantum computing.

क्वांटम कंप्यूटिंगमधील हा एक प्रगत विषय आहे.


The qubit's state can be represented as a superposition of 0 and 1.

क्विबिटची स्थिती 0 आणि 1 च्या सुपरपोझिशन म्हणून दर्शविली जाऊ शकते.


Quantum computers utilize qubits instead of classical bits.

क्वांटम संगणक क्लासिकल बिट्सऐवजी क्विबिट्सचा वापर करतात.


Alice and Bob's agreement probability is cos^2(π/8).

ॲलिस आणि बॉब यांच्यातील सहमतीची संभाव्यता cos^2(π/8) आहे.


The system collapses to |11⟩ after Alice gets 1.

ॲलिसला 1 मिळाल्यानंतर प्रणाली |11⟩ वर कोसळते.


The analysis for Case 3 is analogous to Case 2.

केस 3 चे विश्लेषण केस 2 सारखेच आहे.


Alice and Bob will agree with probability cos^2(π/8) in this case as well.

या स्थितीतही ॲलिस आणि बॉब यांच्यात cos^2(π/8) संभाव्यतेसह एकमत होईल.


In Case 4, both Alice and Bob perform rotations.

केस 4 मध्ये, ॲलिस आणि बॉब दोघेही रोटेशन करतात.


The measurements will behave like independent coin tosses.

मापन स्वतंत्र नाणेफेकीसारखे वागतील.


The overall probability of winning the game is at least 0.8.

सामना जिंकण्याची एकूण संभाव्यता किमान 0.8 आहे.


Quantum mechanics enabled this gain in Bell’s Inequality.

क्वांटम मेकॅनिक्सने बेलच्या असमानतेमध्ये हे यश मिळवले.


Consider the following analogous probabilistic strategy.

खालील अनुरूप संभाव्य धोरणाचा विचार करा.


They agree that each one of them will output 0 if they get 0 as input.

ते सहमत आहेत की जर त्यांना 0 इनपुट म्हणून मिळाले तर त्यापैकी प्रत्येकजण 0 आउटपुट करेल.


The quantum strategy can be thought of as a variant of the probabilistic strategy.

क्वांटम धोरण संभाव्य धोरणाचा एक प्रकार मानले जाऊ शकते.


In the case x = y = 1, the probability of disagreement ends up being 0.5.

x = y = 1 स्थितीत, मतभेदाची संभाव्यता 0.5 आहे.


In the classical setting, we modeled computation as obtained by a sequence of basic operations.

क्लासिकल सेटिंगमध्ये, आम्ही मूलभूत ऑपरेशन्सच्या मालिकेद्वारे मिळवलेल्या गणनेस मॉडेल केले.


We had two types of computational models: non-uniform and uniform.

आमच्याकडे दोन प्रकारचे गणना मॉडेल होते: नॉन-युनिफॉर्म आणि युनिफॉर्म.


A finite function f : {0,1}n → {0,1} is computable in size T.

एक मर्यादित फंक्शन f : {0,1}n → {0,1} आकार T मध्ये गणनीय आहे.


We will do the same for quantum computation, focusing mostly on the non-uniform setting.

आम्ही क्वांटम गणनेसाठीही तसेच करू, प्रामुख्याने नॉन-युनिफॉर्म सेटिंगवर लक्ष केंद्रित करू.


A quantum circuit is analogous to a Boolean circuit.

क्वांटम सर्किट बुलियन सर्किटसारखेच आहे.


One crucial difference is that the out degree of every vertex in a quantum circuit is at most one.

एक महत्त्वाचा फरक असा आहे की क्वांटम सर्किटमधील प्रत्येक व्हर्टेक्सची आउट डिग्री जास्तीत जास्त एक असते.


If you are confused by quantum mechanics, you are not alone.

जर तुम्हाला क्वांटम मेकॅनिक्सबद्दल गोंधळ आहे, तर तुम्ही एकटे नाही.


Quantum mechanics won: it turns out that it is in fact possible to use measurements to create correlations between the states of objects far removed from one another.

क्वांटम मेकॅनिक्स जिंकले: असे दिसून आले की मापनांचा वापर करून एकमेकांपासून दूर असलेल्या वस्तूंच्या स्थित्यांमधील संबंध तयार करणे खरोखरच शक्य आहे.


Suppose that Alice and Bob try to convince you they have telepathic ability.

असे समजा की ॲलिस आणि बॉब तुम्हाला पटवून देण्याचा प्रयत्न करत आहेत की त्यांच्यात टेलिपाथीची क्षमता आहे.


In other words, Alice and Bob need to output two bits that disagree if x = y = 1 and agree otherwise.

दुसऱ्या शब्दांत, ॲलिस आणि बॉबला दोन बिट्स आउटपुट करणे आवश्यक आहे जे x = y = 1 असल्यास सहमत नसतील आणि अन्यथा सहमत असतील.


It’s not hard for Alice and Bob to succeed with probability 3/4: just always output the same bit.

ॲलिस आणि बॉबसाठी 3/4 संभाव्यतेसह यशस्वी होणे कठीण नाही: फक्त नेहमीच समान बिट आउटपुट करा.


An amazing experimentally verified fact is that quantum mechanics allows for “telepathy”.

एक आश्चर्यकारक प्रायोगिकदृष्ट्या सत्यापित तथ्य म्हणजे क्वांटम मेकॅनिक्स ‘टेलिपाथी’ ची परवानगी देते.


The notion that two parts of the system could be connected in this weird way where measuring one will affect the other is known as quantum entanglement.

सिस्टमचे दोन भाग या विचित्र मार्गाने जोडले जाऊ शकतात, जेथे एकाचे मोजमाप दुसऱ्यावर परिणाम करेल, या संकल्पनेला क्वांटम एन्टेन्गलमेंट म्हणून ओळखले जाते.


One of the strange aspects of the quantum-mechanical picture of the world is that unlike in the billiard ball example, there is no obvious algorithm to simulate the evolution of n particles over t time periods in poly(n,t) steps.

जगाच्या क्वांटम-मेकॅनिकल चित्राचा एक विचित्र पैलू म्हणजे बिलियर्ड बॉलच्या उदाहरणाप्रमाणे, n कणांचा t वेळेच्या काळात poly(n,t) चरणांमध्ये उत्क्रांतीचे अनुकरण करण्यासाठी कोणताही स्पष्ट अल्गोरिदम नाही.


In 1981, physicist Richard Feynman proposed to “turn this lemon to lemonade” by making the following almost tautological observation:

1981 मध्ये, भौतिकशास्त्रज्ञ रिचर्ड फेनमन यांनी खालील जवळजवळ स्वयंसिद्ध निरीक्षण करून ‘या लिंबाचे लिंबू सरबत’ बनवण्याचा प्रस्ताव दिला:


As far as we know, quantum computers, if built, will not provide exponential speed ups for 95% of the applications of computing.

आम्हाला माहित आहे की, क्वांटम संगणक, जर तयार केले गेले, तर संगणन अनुप्रयोगांपैकी 95% साठी घातांकीय गती देणार नाहीत.


In particular, as far as we know, quantum computers will not help us solve NP complete problems in polynomial or even sub-exponential time.

विशेषतः, आम्हाला माहित आहे की, क्वांटम संगणक आम्हाला NP पूर्ण समस्या बहुपद किंवा अगदी उप-घातांकीय वेळेत सोडवण्यास मदत करणार नाहीत.


This result has captured the imagination of a great many people, and completely energized research into quantum computing.

या निकालाने बर्‍याच लोकांची कल्पनाशक्ती वेधून घेतली आहे आणि क्वांटम संगणकावरील संशोधनाला पूर्णपणे ऊर्जा दिली आहे.


It seems safe to say that, as far as we know, in the next five years or so there will not be a quantum computer large enough to factor, say, a 1024 bit number.

असे म्हणणे सुरक्षित आहे की, आम्हाला माहित आहे की, पुढील पाच वर्षात किंवा त्याहून अधिक काळात, 1024 बिट संख्या घटक करण्यासाठी पुरेसा मोठा क्वांटम संगणक नसेल.


In the quantum setting, a single bit operation corresponds to any linear map OP : R2 → R2 that is norm preserving.

क्वांटम सेटिंगमध्ये, एक-बिट ऑपरेशन कोणत्याही रेषीय नकाशा OP : R2 → R2 शी संबंधित आहे जे प्रमाण जतन करते.


We model a logical bit that can equal 0 or a 1 by some physical system that can be in one of two states.

आम्ही एक तार्किक बिट मॉडेल करतो जे 0 किंवा 1 च्या बरोबरीचे असू शकते, काही भौतिक प्रणालीद्वारे जे दोनपैकी एका स्थितीत असू शकते.


For example, it might be a wire with high or low voltage, charged or uncharged capacitor, or even (as we saw) a pipe with or without a flow of water, or the presence or absence of a soldier crab.

उदाहरणार्थ, ते उच्च किंवा कमी व्होल्टेज असलेले वायर, चार्ज केलेले किंवा अनचार्ज केलेले कॅपेसिटर, किंवा (आपण पाहिले त्याप्रमाणे) पाण्याचा प्रवाह असलेली किंवा नसलेली पाईप किंवा सैनिक खेकड्याची उपस्थिती किंवा अनुपस्थिती असू शकते.


Understanding the evolution of probabilistic systems is a prerequisite to understanding the evolution of quantum systems.

संभाव्य प्रणालीचा विकास समजून घेणे हे क्वांटम प्रणालीच्या विकासाचे आकलन करण्यासाठी आवश्यक आहे.


In the quantum setting, the state of an individual bit (or “qubit”, to use quantum parlance) is modeled by a pair of numbers (α, β) such that |α|2 + |β|2 = 1.

क्वांटम सेटिंगमध्ये, वैयक्तिक बिटची (किंवा ‘क्विट’, क्वांटम भाषेचा वापर करण्यासाठी) स्थिती (α, β) या संख्यांच्या जोडीने मॉडेल केली जाते, जसे की |α|2 + |β|2 = 1.


As we did before, we can model the NOT operation by the map N : R2 → R2 where N(α, β) = (β, α).

आपण पूर्वी केल्याप्रमाणे, आम्ही NOT ऑपरेशन N : R2 → R2 नकाशाद्वारे मॉडेल करू शकतो जेथे N(α, β) = (β, α).


Following quantum tradition, instead of using e0 and e1 as we did above, from now on we will denote the vector (1,0) by |0⟩ and the vector (0,1) by |1⟩ (and moreover, think of these as column vectors).

क्वांटम परंपरेचे अनुसरण करून, वर नमूद केल्याप्रमाणे e0 आणि e1 वापरण्याऐवजी, यापुढे आम्ही (1,0) सदिश |0⟩ आणि सदिश (0,1) |1⟩ ने दर्शवू (आणि या स्तंभाचे सदिश म्हणून विचार करा).