Using the above we can now write the condition that for every substring of H that has the form αENC(;)β with α,β ∈ {0,1}ℓ and ENC(;) being the encoding of the separator “;”, it holds that NEXT(α,β) is true.

مذکورہ بالا کا استعمال کرتے ہوئے، ہم اب وہ شرط لکھ سکتے ہیں کہ H کے ہر ذیلی تار کے لیے جس کی شکل αENC(;)β ہے α,β ∈ {0,1}ℓ کے ساتھ اور ENC(;) سیپریٹر “;” کی انکوڈنگ ہونے کے ساتھ، یہ درست ہے کہ NEXT(α,β) درست ہے۔


Finally, if α0 is a binary string encoding the initial configuration of M on input 0, checking that the first |α0| bits of H equal α0 can be expressed using AND, OR, and NOT’s.

آخر میں، اگر α0 ان پٹ 0 پر M کی ابتدائی ترتیب کو انکوڈ کرنے والی ایک بائنری تار ہے، تو یہ جانچنا کہ H کے پہلے |α0| بٹس α0 کے برابر ہیں، AND، OR، اور NOT کا استعمال کرتے ہوئے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔


Together the above yields a computable procedure that maps every Turing machine M into a quantified mixed statement φM such that HALTONZERO(M) = 1 if and only if QMS(φM) = 1.

ایک ساتھ مذکورہ بالا ایک قابل حساب طریقہ کار پیدا کرتا ہے جو ہر ٹورنگ مشین M کو ایک مقداری مخلوط بیان φM میں نقشہ کرتا ہے اس طرح کہ HALTONZERO(M) = 1 جب اور صرف اس صورت میں جب QMS(φM) = 1۔


There are several other ways to show that QMS is uncomputable.

QMS کو ناقابلِ حساب دکھانے کے اور بھی کئی طریقے ہیں۔


We can express the condition that a 1-dimensional cellular automaton eventually writes a “1” to a given cell from a given initial configuration as a quantified mixed statement.

ہم اس شرط کا اظہار کر سکتے ہیں کہ ایک جہتی سیلولر آٹومیٹن آخر کار ایک دی گئی ابتدائی ترتیب سے ایک دی گئی سیل میں “1” لکھتا ہے جیسا کہ ایک مقداری مخلوط بیان ہے۔


خیال ایک بار پھر کمی کے ذریعے ثبوت ہے۔


The algorithm efficiently solves the connectivity problem in directed graphs.

یہ الگورتھم براہ راست گراف میں رابطے کے مسئلے کو مؤثر طریقے سے حل کرتا ہے۔


Changing from two to three variables can significantly impact computational complexity.

دو سے تین متغیرات میں تبدیلی کمپیوٹیشنل پیچیدگی پر نمایاں اثر ڈال سکتی ہے۔


Despite considerable effort, a significantly better algorithm for 3SAT remains unknown.

کافی کوششوں کے باوجود، 3SAT کے لیے ایک نمایاں طور پر بہتر الگورتھم ابھی تک نامعلوم ہے۔


The difference between two and three often highlights the difference between tractable and intractable problems.

دو اور تین کے درمیان فرق اکثر قابل حل اور ناقابل حل مسائل کے درمیان فرق کو اجاگر کرتا ہے۔


Solving linear equations in multiple variables is a frequently encountered problem.

متعدد متغیرات میں لکیری مساوات کو حل کرنا ایک اکثر سامنا کرنے والا مسئلہ ہے۔


Gaussian elimination is a standard method for solving such equations in polynomial time.

گاؤسین ایلیمینیشن اس طرح کی مساوات کو کثیر رقمی وقت میں حل کرنے کا ایک معیاری طریقہ ہے۔


Algorithms exist to handle linear inequalities, also known as linear programming.

لکیری عدم مساوات کو سنبھالنے کے لیے الگورتھم موجود ہیں، جنہیں لکیری پروگرامنگ بھی کہا جاتا ہے۔


Solving for linear equalities or inequalities with integer solutions is known as integer programming.

انٹیجر سلوشنز کے ساتھ لکیری مساوات یا عدم مساوات کو حل کرنا انٹیجر پروگرامنگ کے نام سے جانا جاتا ہے۔


The input length corresponds to the number of bits needed to describe a number.

ان پٹ کی لمبائی اس نمبر کو بیان کرنے کے لیے درکار بٹس کی تعداد سے مطابقت رکھتی ہے۔


There is a huge difference between having a billion dollars and nine dollars.

ایک ارب ڈالر اور نو ڈالر ہونے میں بہت بڑا فرق ہے۔


Finding the prime factors of a given integer is a computationally intensive task.

دیئے گئے عدد کے پرائم فیکٹرز کو تلاش کرنا ایک کمپیوٹیشنل طور پر شدید کام ہے۔


Solving quadratic equations in several variables is a well-motivated problem.

متعدد متغیرات میں کواڈریٹک مساوات کو حل کرنا ایک اچھی طرح سے متحرک مسئلہ ہے۔


The determinant of a matrix is a crucial quantity in linear algebra.

ایک میٹرکس کا تعین کرنے والا لکیری الجبرا میں ایک اہم مقدار ہے۔


The determinant is non-zero if and only if the matrix has an inverse.

ڈیٹرمیننٹ غیر صفر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب میٹرکس کا الٹ موجود ہو۔


The permanent of a matrix is defined similarly to the determinant.

ایک میٹرکس کا مستقل اسی طرح متعین کیا جاتا ہے جیسا کہ ڈیٹرمیننٹ۔


The permanent of a matrix arises in combinatorics and graph theory.

ایک میٹرکس کا مستقل امتزاجیات اور گراف تھیوری میں ظاہر ہوتا ہے۔


We can compute the permanent modulo 2 in polynomial time.

ہم کثیر رقمی وقت میں مستقل ماڈیولو 2 کا حساب لگا سکتے ہیں۔


We do not know of a much better algorithm to compute the permanent modulo 3.

ہمیں مستقل ماڈیولو 3 کا حساب لگانے کے لیے کوئی بہتر الگورتھم معلوم نہیں ہے۔


A zero-sum game involves one player's gain being another's loss.

صفر سم گیم میں ایک کھلاڑی کا فائدہ دوسرے کا نقصان ہوتا ہے۔


The Min-Max Theorem is a corollary of linear programming duality.

من-میکس تھیورم لکیری پروگرامنگ ڈیوئلٹی کا نتیجہ ہے۔


Turing machines are a fundamental concept in computer science.

ٹورنگ مشینیں کمپیوٹر سائنس میں ایک بنیادی تصور ہیں۔


The extended Church-Turing thesis is a key idea in theoretical computer science.

توسیع شدہ چرچ-ٹورنگ مقالہ نظریاتی کمپیوٹر سائنس میں ایک اہم خیال ہے۔


Polynomial time algorithms are considered efficient.

پولینومیل ٹائم الگورتھم کو موثر سمجھا جاتا ہے۔


Exponential time algorithms become impractical for large inputs.

بڑے ان پٹ کے لیے ایکسپونینشل ٹائم الگورتھم غیر عملی ہو جاتے ہیں۔


RAM machines are closer to real-world computing architectures.

رام مشینیں حقیقی دنیا کے کمپیوٹنگ فن تعمیر کے قریب ہیں۔


The concept of computability is central to theoretical computer science.

کمپیوٹیبلٹی کا تصور نظریاتی کمپیوٹر سائنس کے لیے مرکزی ہے۔


Understanding time complexity is crucial for algorithm design.

الگورتھم ڈیزائن کے لیے وقت کی پیچیدگی کو سمجھنا بہت ضروری ہے۔


Turing machines can simulate RAM machines.

ٹورنگ مشینیں رام مشینوں کی نقالی کر سکتی ہیں۔


The difference between P and NP is a major unsolved problem.

P اور NP کے درمیان فرق ایک بڑا غیر حل شدہ مسئلہ ہے۔


Quantum computers pose a challenge to the extended Church-Turing thesis.

کوانٹم کمپیوٹرز توسیع شدہ چرچ-ٹورنگ مقالے کے لیے ایک چیلنج ہیں۔


The universal Turing machine is a foundational concept.

یونیورسل ٹورنگ مشین ایک بنیادی تصور ہے۔


Many problems are in EXP but not known to be in P.

بہت سے مسائل EXP میں ہیں لیکن P میں ہونے کا پتہ نہیں ہے۔


The efficiency of an algorithm is often measured by its time complexity.

ایک الگورتھم کی کارکردگی اکثر اس کی وقت کی پیچیدگی سے ماپی جاتی ہے۔


NAND-RAM programs are used to model running time.

NAND-RAM پروگرام رن ٹائم کو ماڈل کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔


The extended Church-Turing thesis is a cornerstone of computer science.

توسیع شدہ چرچ-ٹورنگ مقالہ کمپیوٹر سائنس کا ایک سنگ بنیاد ہے۔


We can simulate a Turing machine with a NAND-RAM program.

ہم ایک NAND-RAM پروگرام کے ساتھ ایک ٹورنگ مشین کی نقالی کر سکتے ہیں۔


The proof of Theorem 13.5 is important to understand.

تھیورم 13.5 کا ثبوت سمجھنا ضروری ہے۔


The concept of polynomial time is fundamental.

پولینومیل ٹائم کا تصور بنیادی ہے۔


The class P is a class of Boolean functions.

کلاس P بولین فنکشنز کی ایک کلاس ہے۔


The choice of model does not matter for coarse enough resolution.

ماڈل کا انتخاب کافی موٹے ریزولوشن کے لیے کوئی معنی نہیں رکھتا۔


آج موسم خوشگوار ہے۔


کیا آپ براہ کرم مجھے نمک دے سکتے ہیں؟


I am going to the market to buy groceries.

میں بازار سبزی خریدنے جا رہا ہوں۔


The company announced its quarterly earnings.

کمپنی نے اپنی سہ ماہی کی آمدنی کا اعلان کیا۔


The research team is working on a new project.

تحقیقی ٹیم ایک نئے منصوبے پر کام کر رہی ہے۔


وہ ایک بہت باصلاحیت موسیقار ہے۔


The government implemented new policies.

حکومت نے نئی پالیسیاں نافذ کیں۔


The algorithm efficiently sorts the data.

الگورتھم ڈیٹا کو مؤثر طریقے سے ترتیب دیتا ہے۔


وہ اپنے امتحانات کی تیاری کر رہی ہے۔


کانفرنس اگلے مہینے منعقد کی جائے گی۔


معاشی پیش گوئی ترقی کی پیشین گوئی کرتی ہے۔


The software update includes new features.

سافٹ ویئر اپ ڈیٹ میں نئی خصوصیات شامل ہیں۔


The complex equation was difficult to solve.

پیچیدہ مساوات کو حل کرنا مشکل تھا۔


چیلنجوں کے باوجود، وہ کامیاب ہوئے۔


The implications of the decision are far-reaching.

اس فیصلے کے مضمرات دور رس ہیں۔


The philosophical debate was quite stimulating.

فلسفیانہ بحث کافی حوصلہ افزا تھی۔


The company's innovative approach revolutionized the industry.

کمپنی کے جدید انداز نے صنعت میں انقلاب برپا کر دیا۔


The intricate details of the plan were meticulously examined.

منصوبے کی پیچیدہ تفصیلات کا باریک بینی سے جائزہ لیا گیا۔


The scientific community is still debating the findings.

سائنسی برادری اب بھی نتائج پر بحث کر رہی ہے۔


The ramifications of the policy change are still unfolding.

پالیسی میں تبدیلی کے نتائج ابھی بھی سامنے آ رہے ہیں۔


آج موسم خوشگوار ہے۔


کیا آپ براہ کرم مجھے نمک دے سکتے ہیں؟


I am going to the market to buy some groceries.

میں بازار جا رہا ہوں کچھ گروسری خریدنے کے لیے۔


The company announced its quarterly earnings report.

کمپنی نے اپنی سہ ماہی کمائی کی رپورٹ کا اعلان کیا۔


She is a talented musician and plays several instruments.

وہ ایک باصلاحیت موسیقار ہے اور کئی آلات بجاتی ہے۔


The government is implementing new policies to boost the economy.

حکومت معیشت کو فروغ دینے کے لیے نئی پالیسیاں نافذ کر رہی ہے۔


Despite the challenges, they persevered and achieved their goals.

چیلنجوں کے باوجود، انہوں نے ہمت نہیں ہاری اور اپنے مقاصد حاصل کیے۔


The research paper explores the implications of quantum entanglement.

تحقیقی مقالہ کوانٹم الجھاؤ کے مضمرات کو تلاش کرتا ہے۔


The negotiations reached an impasse due to irreconcilable differences.

ناقابل مصالحت اختلافات کی وجہ سے مذاکرات تعطل کا شکار ہو گئے۔


کیا آپ اس مسئلے میں میری مدد کر سکتے ہیں؟


میٹنگ دوپہر 2 بجے شروع ہوگی۔


I need to finish this project by Friday.

مجھے یہ پروجیکٹ جمعہ تک ختم کرنا ہے۔


The stock market experienced a significant downturn.

اسٹاک مارکیٹ میں نمایاں کمی واقع ہوئی۔


The software requires a high-performance processor.

سافٹ ویئر کو ایک اعلیٰ کارکردگی والے پروسیسر کی ضرورت ہے۔


وہ تین زبانوں میں روانی سے بات کرتی ہے۔


The economic forecast predicts a period of slow growth.

اقتصادی پیش گوئی سست ترقی کی مدت کی پیش گوئی کرتی ہے۔


Despite the setbacks, the team remained optimistic.

پسماندگی کے باوجود، ٹیم پر امید رہی۔


The study investigates the correlation between diet and health.

یہ مطالعہ غذا اور صحت کے درمیان تعلق کی تحقیق کرتا ہے۔


The political landscape is constantly evolving.

سیاسی منظر نامہ مسلسل بدل رہا ہے۔


The algorithm efficiently solves the problem.

یہ الگورتھم مسئلے کو مؤثر طریقے سے حل کرتا ہے۔


Reductions are used to relate computational complexity.

کمپیوٹیشنل پیچیدگی کو جوڑنے کے لیے کمیوں کا استعمال کیا جاتا ہے۔


The theorem proves the hardness of the problem.

یہ نظریہ مسئلے کی سختی کو ثابت کرتا ہے۔


We will reduce 3SAT to the latter problems.

ہم 3SAT کو بعد کے مسائل میں کم کریں گے۔


The proof idea involves adding auxiliary variables.

ثبوت کے خیال میں اضافی متغیرات شامل ہیں۔


الگورتھم کثیر رقمی وقت میں چلتا ہے۔


The input is a collection of linear equations.

ان پٹ لکیری مساوات کا مجموعہ ہے۔


The main takeaway is the idea of adding auxiliary variables.

اہم نکتہ اضافی متغیرات شامل کرنے کا خیال ہے۔


This is our first example of a reduction.

یہ کمی کی ہماری پہلی مثال ہے۔


The function QUADEQ equals 1 if and only if there is a solution.

فنکشن QUADEQ 1 کے برابر ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب کوئی حل موجود ہو۔


We can use non-linearity to force continuous variables.

ہم مسلسل متغیرات کو مجبور کرنے کے لیے غیر لکیری پن کا استعمال کر سکتے ہیں۔


The subset sum problem is also known as the knapsack problem.

سب سیٹ سم مسئلہ کو نپ سیک مسئلہ کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔


The key insight is that we can think of vectors as numbers.

اہم بصیرت یہ ہے کہ ہم ویکٹروں کو نمبروں کے طور پر سوچ سکتے ہیں۔


For a graph G = (V, E), an independent set is a subset S ⊆ V.

ایک گراف G = (V, E) کے لیے، ایک آزاد سیٹ ایک ذیلی سیٹ S ⊆ V ہے۔


Finding larger independent sets can be challenging.

بڑے آزاد سیٹ تلاش کرنا مشکل ہو سکتا ہے۔


The independent set problem is related to scheduling problems.

آزاد سیٹ کا مسئلہ شیڈولنگ کے مسائل سے متعلق ہے۔


اب ہم 3SAT کو آزاد سیٹ میں کم کرتے ہیں۔


The idea is that finding a satisfying assignment corresponds to satisfying many local constraints.

خیال یہ ہے کہ ایک اطمینان بخش تفویض تلاش کرنا بہت سی مقامی پابندیوں کو پورا کرنے کے مساوی ہے۔


The algorithm constructing G based on φ takes polynomial time.

φ پر مبنی G کی تعمیر کرنے والا الگورتھم کثیر رقمی وقت لیتا ہے۔


This completes the proof of the completeness condition.

یہ تکمیل کی حالت کے ثبوت کو مکمل کرتا ہے۔


آج موسم خوشگوار ہے۔


کیا آپ براہ کرم نمک پاس کر سکتے ہیں؟


میں بازار جا رہا ہوں۔


خبروں میں ایک بڑے زلزلے کی اطلاع دی گئی۔


The company announced its quarterly profits.

کمپنی نے اپنے سہ ماہی منافع کا اعلان کیا۔


وہ ایک بہت باصلاحیت موسیقار ہے۔


The algorithm efficiently sorts the data.

الگورتھم ڈیٹا کو مؤثر طریقے سے ترتیب دیتا ہے۔


The government implemented new policies.

حکومت نے نئی پالیسیاں نافذ کیں۔


وہ اپنے امتحانات کی تیاری کر رہی ہے۔


The research paper explores new findings.

تحقیقی مقالہ نئے نتائج کی کھوج کرتا ہے۔


چیلنجوں کے باوجود، وہ کامیاب ہوئے۔


The complex system requires careful analysis.

پیچیدہ نظام کو محتاط تجزیہ کی ضرورت ہے۔


The economic forecast predicts a recession.

معاشی پیش گوئی کساد بازاری کی پیشین گوئی کرتی ہے۔


The philosophical debate was quite intense.

فلسفیانہ بحث کافی شدید تھی۔


The intricate design of the building is impressive.

عمارت کا پیچیدہ ڈیزائن متاثر کن ہے۔


The implications of the discovery are far-reaching.

دریافت کے مضمرات دور رس ہیں۔


The treaty negotiations were protracted and difficult.

معاہدے کے مذاکرات طویل اور مشکل تھے۔


The artist's oeuvre reflects a deep understanding of human nature.

فنکار کا کام انسانی فطرت کی گہری سمجھ کی عکاسی کرتا ہے۔


The technological advancements have revolutionized communication.

تکنیکی ترقی نے مواصلات میں انقلاب برپا کر دیا ہے۔


The subtle nuances of the language are often lost in translation.

زبان کے لطیف باریکیوں کو اکثر ترجمے میں کھو دیا جاتا ہے۔


We can make the loop corresponding to the variables long enough.

ہم متغیرات کے مطابق لوپ کو اتنا لمبا بنا سکتے ہیں۔


But if we do that, then the only way if we are able to reach t is if the paths we took corresponded to a satisfying assignment.

لیکن اگر ہم ایسا کرتے ہیں، تو واحد راستہ یہ ہے کہ اگر ہم t تک پہنچنے کے قابل ہیں تو یہ ہے کہ ہم نے جو راستے اختیار کیے وہ ایک اطمینان بخش تفویض کے مطابق تھے۔


We have shown that there are a number of functions F for which we can prove a statement of the form “If F ∈ P then 3SAT ∈ P”.

ہم نے دکھایا ہے کہ ایسے متعدد افعال F ہیں جن کے لیے ہم اس شکل کا بیان ثابت کر سکتے ہیں “اگر F ∈ P تو 3SAT ∈ P”۔


Hence coming up with a polynomial-time algorithm for even one of these problems will entail a polynomial-time algorithm for 3SAT.

لہذا ان مسائل میں سے کسی ایک کے لیے بھی ایک کثیر وقتی الگورتھم کے ساتھ آنے کا مطلب 3SAT کے لیے ایک کثیر وقتی الگورتھم ہوگا۔


In Chapter 15 we will show the inverse direction (“If 3SAT ∈ P then F ∈ P”) for these functions, hence allowing us to conclude that they have equivalent complexity to 3SAT.

باب 15 میں ہم ان افعال کے لیے الٹ سمت (“اگر 3SAT ∈ P تو F ∈ P”) دکھائیں گے، اس لیے ہمیں یہ نتیجہ اخذ کرنے کی اجازت دی جائے گی کہ ان کی پیچیدگی 3SAT کے برابر ہے۔


The computational complexity of many seemingly unrelated computational problems can be related to one another through the use of reductions.

بہت سے بظاہر غیر متعلق کمپیوٹیشنل مسائل کی کمپیوٹیشنل پیچیدگی کو کمیوں کے استعمال کے ذریعے ایک دوسرے سے جوڑا جا سکتا ہے۔


If F ≤ p G then a polynomial-time algorithm for G can be transformed into a polynomial-time algorithm for F.

اگر F ≤ p G تو G کے لیے ایک کثیر وقتی الگورتھم کو F کے لیے ایک کثیر وقتی الگورتھم میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔


Equivalently, if F ≤ p G and F does not have a polynomial-time algorithm then neither does G.

اسی طرح، اگر F ≤ p G اور F کے پاس کثیر وقتی الگورتھم نہیں ہے تو G کے پاس بھی نہیں ہے۔


We’ve developed many techniques to show that 3SAT ≤ p F for interesting functions F.

ہم نے یہ ظاہر کرنے کے لیے بہت سی تکنیکیں تیار کی ہیں کہ دلچسپ افعال F کے لیے 3SAT ≤ p F۔


Sometimes we can do so by using transitivity of reductions: if 3SAT ≤ p G and G ≤ p F then 3SAT ≤ p F.

بعض اوقات ہم کمی کی منتقلی کا استعمال کرکے ایسا کر سکتے ہیں: اگر 3SAT ≤ p G اور G ≤ p F تو 3SAT ≤ p F۔


Several notions of reductions are defined in the literature.

کمی کے کئی تصورات ادب میں بیان کیے گئے ہیں۔


The notion defined in Definition 14.1 is often known as a mapping reduction, many to one reduction or a Karp reduction.

تعریف 14.1 میں بیان کردہ تصور کو اکثر نقشہ سازی کی کمی، ایک سے ایک کمی یا کارپ کمی کے طور پر جانا جاتا ہے۔


Unlike finding a maximum independent set, finding a maximal independent set can be done efficiently by a greedy algorithm, but this local maximum can be much smaller than the global maximum.

زیادہ سے زیادہ آزاد سیٹ تلاش کرنے کے برعکس، زیادہ سے زیادہ آزاد سیٹ تلاش کرنا ایک لالچی الگورتھم کے ذریعے مؤثر طریقے سے کیا جا سکتا ہے، لیکن یہ مقامی زیادہ سے زیادہ عالمی زیادہ سے زیادہ سے بہت چھوٹا ہو سکتا ہے۔


We have mentioned that the line between reductions used for algorithm design and showing hardness is sometimes blurry.

ہم نے ذکر کیا ہے کہ الگورتھم ڈیزائن اور سختی دکھانے کے لیے استعمال ہونے والی کمیوں کے درمیان کی لکیر بعض اوقات دھندلی ہوتی ہے۔


In this field people use algorithms for SAT (that take exponential time in the worst case but often are much faster on many instances in practice) together with reductions of the form F ≤ p SAT to derive algorithms for other functions F of interest.

اس شعبے میں لوگ SAT کے لیے الگورتھم استعمال کرتے ہیں (جو بدترین صورت میں ایکسپونینشل وقت لیتے ہیں لیکن اکثر عملی طور پر بہت سے مثالوں پر بہت تیز ہوتے ہیں) دلچسپی کے دیگر افعال F کے لیے الگورتھم اخذ کرنے کے لیے F ≤ p SAT کی شکل میں کمی کے ساتھ۔


So far we have shown that 3SAT is no harder than Quadratic Equations, Independent Set, Maximum Cut, and Longest Path.

اب تک ہم نے دکھایا ہے کہ 3SAT Quadratic Equations، Independent Set، Maximum Cut، اور Longest Path سے زیادہ مشکل نہیں ہے۔


But to show that these problems are computationally equivalent we need to give reductions in the other direction, reducing each one of these problems to 3SAT as well.

لیکن یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ یہ مسائل کمپیوٹیشنل طور پر مساوی ہیں ہمیں دوسری سمت میں کمی دینے کی ضرورت ہے، ان میں سے ہر ایک مسئلے کو بھی 3SAT تک کم کرنا۔


All of the problems we discussed in Chapter 14, and a great many other problems, share the same commonality: they are all search problems, where the goal is to decide, given an instance x, whether there exists a solution y that satisfies some condition that can be verified in polynomial time.

باب 14 میں ہم نے جن مسائل پر تبادلہ خیال کیا، اور بہت سے دوسرے مسائل، ایک ہی مشترکہ خصوصیت رکھتے ہیں: یہ سبھی تلاش کے مسائل ہیں، جہاں مقصد یہ فیصلہ کرنا ہے کہ، ایک مثال x دی گئی ہے، آیا کوئی حل y موجود ہے جو کچھ شرط کو پورا کرتا ہے جسے کثیر وقت میں تصدیق کی جا سکتی ہے۔


In this chapter we will see the definition of the complexity class NP - one of the most important definitions in this book, and the Cook-Levin Theorem - one of the most important theorems in it.

اس باب میں ہم پیچیدگی کلاس NP کی تعریف دیکھیں گے - اس کتاب کی سب سے اہم تعریفوں میں سے ایک، اور کک-لیون تھیورم - اس میں سب سے اہم نظریات میں سے ایک۔


Intuitively, the class NP corresponds to the class of problems where it is easy to verify a solution (i.e., verification can be done by a polynomial-time algorithm).

باطنی طور پر، کلاس NP ان مسائل کی کلاس سے مطابقت رکھتی ہے جہاں کسی حل کی تصدیق کرنا آسان ہے (یعنی، تصدیق ایک کثیر وقتی الگورتھم کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔)


The algorithm's efficiency is very easy to understand.

الگوریتم کی کارکردگی کو سمجھنا بہت آسان ہے۔


3SAT is a notoriously difficult problem in computer science.

3SAT کمپیوٹر سائنس میں ایک بدنام زمانہ مشکل مسئلہ ہے۔


We can't solve 3SAT faster than an exponential time.

ہم 3SAT کو ایک ایکسپونینشل ٹائم سے تیز حل نہیں کر سکتے۔


The fastest known algorithm for 3SAT requires more than 2^0.35n to solve n-variable formulas.

3SAT کے لیے سب سے تیز معلوم الگورتھم کو n متغیر فارمولوں کو حل کرنے کے لیے 2^0.35n سے زیادہ کی ضرورت ہے۔


Imagine solving a 1000-variable 3SAT instance in a millisecond.

تصور کریں کہ ایک ہزار متغیر 3SAT مثال کو ایک ملی سیکنڈ میں حل کرنا۔


Most evidence suggests 3SAT is exponentially hard.

زیادہ تر شواہد سے پتہ چلتا ہے کہ 3SAT ایکسپونینشل طور پر مشکل ہے۔


This chapter explores the consequences of an efficient algorithm for NP-complete problems.

یہ باب NP-مکمل مسائل کے لیے ایک موثر الگورتھم کے نتائج کو تلاش کرتا ہے۔


Such an algorithm would imply efficient algorithms for tasks like solving search problems.

ایسا الگورتھم تلاش کے مسائل کو حل کرنے جیسے کاموں کے لیے موثر الگورتھم کا مطلب ہوگا۔


It's not enough to know if a formula is satisfiable; we want the actual satisfying assignment.

یہ جاننا کافی نہیں ہے کہ آیا کوئی فارمولا مطمئن ہے؛ ہمیں اصل اطمینان بخش تفویض کی ضرورت ہے۔


If P=NP, then for every polynomial-time algorithm V and a, b ∈ ℕ, there is a polynomial-time algorithm FIND V.

اگر P=NP، تو ہر پولی نوئیل ٹائم الگورتھم V اور a, b ∈ ℕ کے لیے، ایک پولی نوئیل ٹائم الگورتھم FIND V موجود ہے۔


Theorem 16.1 implies that if P=NP then there is a polynomial-time algorithm FINDCUT.

تھیورم 16.1 کا مطلب ہے کہ اگر P=NP ہے تو ایک پولی نوئیل ٹائم الگورتھم FINDCUT موجود ہے۔


We can find a satisfying assignment for every satisfiable 3CNF formula.

ہم ہر قابل اطمینان 3CNF فارمولے کے لیے ایک اطمینان بخش تفویض تلاش کر سکتے ہیں۔


The idea behind the proof of Theorem 16.1 is simple.

تھیورم 16.1 کے ثبوت کے پیچھے کا خیال آسان ہے۔


Suppose that P=NP and we are given a satisfiable 3CNF formula φ.

فرض کریں کہ P=NP ہے اور ہمیں ایک قابل اطمینان 3CNF فارمولا φ دیا گیا ہے۔


We can use this to find the first bit of the satisfying assignment.

ہم اسے اطمینان بخش تفویض کا پہلا بٹ تلاش کرنے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں۔


Algorithm 16.2 shows search to decision reduction.

الگورتھم 16.2 تلاش سے فیصلے میں کمی کو ظاہر کرتا ہے۔


The algorithm makes 2^(anb) invocations to STARTSWITH V.

الگورتھم STARTSWITH V کو 2^(anb) درخواستیں کرتا ہے۔


If P=NP, we can find the longest simple path in a graph in polynomial time.

اگر P=NP ہے، تو ہم ایک گراف میں سب سے طویل سادہ راستہ پولی نوئیل ٹائم میں تلاش کر سکتے ہیں۔


Theorem 16.3 shows optimization from P=NP.

تھیورم 16.3 P=NP سے اصلاح کو ظاہر کرتا ہے۔


Optimization is widely used in machine learning and other areas.

اصلاح مشین لرننگ اور دیگر شعبوں میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتی ہے۔


yet not a single polynomial-time algorithm for any of them has been found, supports that conjecture that indeedP≠NP.

ابھی تک ان میں سے کسی کے لیے بھی کوئی واحد پولی نومیئل ٹائم الگورتھم نہیں ملا ہے، اس قیاس کی تائید کرتا ہے کہ درحقیقتP≠NP۔


In fact, for many of these problems (including all the ones we mentioned above), we don’t even know of a2 표(푛) -time algorithm!

درحقیقت، ان میں سے بہت سے مسائل کے لیے (جن میں وہ سبھی شامل ہیں جن کا ہم نے اوپر ذکر کیا ہے)، ہم یہاں تک کہ ایک 2 표(푛) -ٹائم الگورتھم کے بارے میں بھی نہیں جانتے!


However, to the frustration of computer scientists, we have not yet been able to prove thatP≠NPor even rule out the existence of an푂(푛)-time algorithm for 3SAT.

تاہم، کمپیوٹر سائنسدانوں کی مایوسی کے لیے، ہم ابھی تک یہ ثابت نہیں کر سکے ہیں کہP≠NPیا یہاں تک کہ 3SAT کے لیے ایک 푂(푛)-ٹائم الگورتھم کے وجود کو بھی مسترد کر دیں۔


Resolving whether or not P = NP is known as the PvsNP problem .

یہ طے کرنا کہ آیا P = NP ہے یا نہیں، PvsNP مسئلہ کے طور پر جانا جاتا ہے۔


A million-dollar prize has beenofferedfor the solution of this problem, apopular bookhas been written, and every year a new paper comes out claiming a proof ofP=NPorP≠NP, only to wither under scrutiny.

اس مسئلے کے حل کے لیے ایک ملین ڈالر کا انعام پیش کیا گیا ہے، ایک مقبول کتاب لکھی گئی ہے، اور ہر سال ایک نیا مقالہ سامنے آتا ہے جس میںP=NPorP≠NP کا ثبوت ہونے کا دعویٰ کیا جاتا ہے، جو صرف جانچ پڑتال کے تحت ختم ہو جاتا ہے۔


One of the mysteries of computation is that people have observed a certain empirical “zero-one law” or “dichotomy” in the computational complexity of natural problems, in the sense that many natural prob- lems are either inP(often inTIME(푂(푛))orTIME(푂(푛 2 ))), or they are areNPhard.

کمپیوٹیشن کے اسرار میں سے ایک یہ ہے کہ لوگوں نے قدرتی مسائل کی کمپیوٹیشنل پیچیدگی میں ایک خاص تجرباتی “زیرو ون قانون” یا “دو حصوں میں تقسیم” کا مشاہدہ کیا ہے، اس معنی میں کہ بہت سے قدرتی مسائل یا توPمیں ہیں (اکثر TIME(푂(푛)) یا TIME(푂(푛 2 )) میں)، یا وہNPhard ہیں۔


This is related to the fact that for most natural prob- lems, the best known algorithm is either exponential or polynomial, with not too many examples where the best running time is some strange intermediate complexity such as2 2 √ log푛 .

اس کا تعلق اس حقیقت سے ہے کہ زیادہ تر قدرتی مسائل کے لیے، سب سے بہترین معلوم الگورتھم یا تو ایکسپونینشل یا پولی نومیئل ہے، زیادہ مثالیں نہیں ہیں جہاں بہترین رننگ ٹائم کچھ عجیب درمیانی پیچیدگی ہے جیسے کہ2 2 √ log푛۔


However, it is be- lieved that there exist problems inNPthat are neither inPnor areNP- complete, and in fact a result known as “Ladner’s Theorem” shows that ifP≠NPthen this is indeed the case (see also Exercise 15.1and Fig. 15.3).

تاہم، یہ مانا جاتا ہے کہNPمیں ایسے مسائل موجود ہیں جو نہ توPمیں ہیں اور نہ ہیNP-مکمل ہیں، اور درحقیقت ایک نتیجہ جسے “لیڈنر کا نظریہ” کہا جاتا ہے یہ ظاہر کرتا ہے کہ اگرP≠NPتو یہ واقعی معاملہ ہے (دیکھیں مشق 15.1 اور شکل 15.3 بھی)۔


We will now prove the Cook-Levin Theorem, which is the underpin- ning to a great web of reductions from 3SAT to thousands of problems across many great fields.

اب ہم کک-لیون تھیورم کو ثابت کریں گے، جو 3SAT سے ہزاروں مسائل تک بہت سے عظیم شعبوں میں کمی کی ایک عظیم ویب کی بنیاد ہے۔


Some problems that have been shown to be NP-complete include: minimum-energy protein folding, minimum surface-area foam configuration, map coloring, optimal Nash equi- librium, quantum state entanglement, minimum supersequence of a genome, minimum codeword problem, shortest vector in a lattice, minimum genus knots, positive Diophantine equations, integer pro- gramming, and many many more.

کچھ مسائل جنہیں NP-مکمل دکھایا گیا ہے ان میں شامل ہیں: کم سے کم توانائی والی پروٹین فولڈنگ، کم سے کم سطح کے رقبے کی فوم کنفیگریشن، نقشہ رنگنے، بہترین نیش ایکویلیبریم، کوانٹم اسٹیٹ الجھاؤ، جینوم کا کم سے کم سپر سیکوئنس، کم سے کم کوڈ ورڈ مسئلہ، جالی میں سب سے چھوٹا ویکٹر، کم سے کم جینس گرہیں، مثبت ڈیوفینٹائن مساوات، انٹیجر پروگرامنگ، اور بہت سے مزید۔


The worst-case complexity of all these problems is (up to polynomial factors) equivalent to that of 3SAT, and through the Cook-Levin Theorem, to all problems inNP.

ان تمام مسائل کی بدترین صورت میں پیچیدگی (پولی نومیئل عوامل تک) 3SAT کے مساوی ہے، اور کک-لیون تھیورم کے ذریعے،NPکے تمام مسائل کے مساوی ہے۔


To prove Theorem 15.6we need to show that퐹 ≤ 푝 3SATfor every 퐹 ∈NP.

تھیورم 15.6 کو ثابت کرنے کے لیے ہمیں یہ دکھانے کی ضرورت ہے کہ ہر 퐹 ∈NP کے لیے 퐹 ≤ 푝 3SAT۔


ہم ایسا تین مراحل میں کریں گے۔


We define two intermediate problems:NANDSATand3NAND.

ہم دو درمیانی مسائل کی وضاحت کرتے ہیں: NANDSAT اور 3NAND۔


We will shortly show the def- initions of these two problems, but Theorem 15.6will follow from combining the following three results:

ہم جلد ہی ان دو مسائل کی تعریفیں دکھائیں گے، لیکن تھیورم 15.6 مندرجہ ذیل تین نتائج کو ملا کر حاصل کیا جائے گا:


By the transitivity of reductions, it will follow that for every퐹 ∈ NP, 퐹 ≤ 푝 NANDSAT≤ 푝 3NAND≤ 푝 3SAT hence establishing Theorem 15.6.

کمی کی منتقلی کے ذریعے، یہ نتیجہ اخذ کیا جائے گا کہ ہر 퐹 ∈ NP کے لیے، 퐹 ≤ 푝 NANDSAT≤ 푝 3NAND≤ 푝 3SAT اس طرح تھیورم 15.6 قائم ہوتا ہے۔


We will prove these three resultsLemma 15.8,Lemma 15.9and Lemma 15.10one by one, providing the requisite definitions as we go along.

ہم ان تین نتائج کو لیما 15.8، لیما 15.9 اور لیما 15.10 کو ایک ایک کرکے ثابت کریں گے، ضروری تعریفیں فراہم کرتے ہوئے جیسا کہ ہم آگے بڑھتے ہیں۔


Theory 101 “God doesn’t play dice with the universe”, Albert Einstein

تھیوری 101 “خدا کائنات کے ساتھ جوئے نہیں کھیلتا”، البرٹ آئن سٹائن


“Einstein was doubly wrong ... not only does God definitely play dice, but He sometimes confuses us by throwing them where they can’t be seen.”, Stephen Hawking

“آئن سٹائن دوہری طور پر غلط تھے... نہ صرف خدا یقینی طور پر جوئے کھیلتا ہے، بلکہ وہ بعض اوقات ہمیں ان کو وہاں پھینک کر الجھاتا ہے جہاں وہ نظر نہیں آتے۔”، سٹیفن ہاکنگ


‘The probability of winning a battle has no place in our theory because it does not belong to any [random experiment].

’’جنگ جیتنے کا امکان ہماری تھیوری میں کوئی جگہ نہیں رکھتا کیونکہ اس کا تعلق کسی [بے ترتیب تجربے] سے نہیں ہے۔‘‘


Probability cannot be applied to this problem any more than the physical concept of work can be applied to the ’work’ done by an actor reciting his part.”, Richard Von Mises, 1928 (paraphrased)

اس مسئلے پر امکان کا اطلاق اس سے زیادہ نہیں کیا جا سکتا جتنا کہ کام کے جسمانی تصور کو ایک اداکار کی طرف سے اپنے حصے کو دہرانے کے 'کام' پر لاگو کیا جا سکتا ہے۔‘‘، رچرڈ وان میز، 1928 (مفہوم)


“I am unable to see why ‘objectivity’ requires us to interpret every probability as a frequency in some random experiment; particularly when in most problems probabilities are frequencies only in an imaginary universe invented just for the purpose of allowing a frequency interpretation.”, E. T. Jaynes, 1976

’’میں یہ نہیں دیکھ پا رہا ہوں کہ ’معروضیت‘ ہمیں کیوں ہر امکان کی تشریح کسی بے ترتیب تجربے میں ایک تعدد کے طور پر کرنے کا تقاضا کرتی ہے؛ خاص طور پر جب زیادہ تر مسائل میں امکانات صرف ایک خیالی کائنات میں تعدد ہوتے ہیں جو صرف تعدد کی تشریح کی اجازت دینے کے مقصد سے ایجاد کی گئی ہے۔‘‘، ای ٹی جینز، 1976


Before we show how to use randomness in algorithms, let us do a quick review of some basic notions in probability theory.

اس سے پہلے کہ ہم یہ دکھائیں کہ الگورتھم میں بے ترتیبی کو کیسے استعمال کیا جائے، آئیے امکان کے نظریہ میں کچھ بنیادی تصورات کا فوری جائزہ لیں۔


This is not meant to replace a course on probability theory, and if you have not seen this material before, I highly recommend you look at additional resources to get up to speed.

اس کا مقصد امکان کے نظریہ پر ایک کورس کی جگہ لینا نہیں ہے، اور اگر آپ نے پہلے یہ مواد نہیں دیکھا ہے، تو میں آپ کو مشورہ دیتا ہوں کہ آپ رفتار حاصل کرنے کے لیے اضافی وسائل دیکھیں۔


Fortunately, we will not need many of the advanced notions of probability theory, but, as we will see, even the so-called “simple” setting of tossing푛coins can lead to very subtle and interesting issues.

خوش قسمتی سے، ہمیں امکان کے نظریہ کے بہت سے جدید تصورات کی ضرورت نہیں ہوگی، لیکن، جیسا کہ ہم دیکھیں گے، یہاں تک کہ سکوں کو اچھالنے کا نام نہاد “سادہ” سیٹنگ بھی بہت لطیف اور دلچسپ مسائل کا باعث بن سکتی ہے۔


This chapter: A non-mathy overview This chapter contains an overview of the basics of probability theory, as needed for understanding randomized computa- tion.

یہ باب: ایک غیر ریاضیاتی جائزہ اس باب میں امکان کے نظریہ کی بنیادی باتوں کا ایک جائزہ شامل ہے، جیسا کہ بے ترتیب کمپیوٹیشن کو سمجھنے کے لیے ضروری ہے۔


The main topics covered are the notions of: 1. Asample space, which for us will almost always consist of the set of all possible outcomes of the experiment of tossing a finite number of independent coins.

جن اہم موضوعات کا احاطہ کیا گیا ہے وہ یہ ہیں: 1۔ ایک نمونہ جگہ، جو ہمارے لیے تقریباً ہمیشہ ان تمام ممکنہ نتائج پر مشتمل ہوگی جو محدود تعداد میں آزاد سکوں کو اچھالنے کے تجربے کے ہیں۔


2. Anevent, which is simply a subset of the sample space, with the probability of the event happening being the fraction of outcomes that are in this subset.

2۔ ایک واقعہ، جو محض نمونے کی جگہ کا ایک ذیلی سیٹ ہے، اس واقعہ کے ہونے کا امکان ان نتائج کا حصہ ہے جو اس ذیلی سیٹ میں ہیں۔


3. Arandom variable, which is a way to assign some number or statistic to an outcome of the sample space.

3۔ ایک بے ترتیب متغیر، جو نمونے کی جگہ کے نتیجے میں کچھ نمبر یا اعدادوشمار تفویض کرنے کا ایک طریقہ ہے۔


4. The notion ofconditioning, which corresponds to how the value of a random variable (or the probability of an event) changes if we restrict attention to outcomes for which the value of another variable is known (or for which some other event has happened).

4۔ کنڈیشنگ کا تصور، جو اس بات سے مطابقت رکھتا ہے کہ بے ترتیب متغیر کی قدر (یا کسی واقعہ کا امکان) کیسے بدلتا ہے اگر ہم توجہ ان نتائج تک محدود کر دیں جن کے لیے کسی دوسرے متغیر کی قدر معلوم ہو (یا جس کے لیے کوئی دوسرا واقعہ پیش آیا ہو)۔


Random variables and events that have no impact on one another are calledindependent.

بے ترتیب متغیرات اور واقعات جن کا ایک دوسرے پر کوئی اثر نہیں پڑتا ہے انہیں آزاد کہا جاتا ہے۔


5. Expectation, which is the average of a random variable, andconcentration boundswhich quantify the probability that a random variable can “stray too far” from its ex- pected value.

5۔ توقع، جو ایک بے ترتیب متغیر کی اوسط ہے، اور ارتکاز کی حدود جو اس امکان کی مقدار بتاتی ہیں کہ ایک بے ترتیب متغیر اپنی متوقع قدر سے “بہت دور” جا سکتا ہے۔


These concepts are at once both basic and subtle.

یہ تصورات ایک ہی وقت میں بنیادی اور لطیف ہیں۔


While we will not need many “fancy” topics covered in statistics courses, including special distributions (e.g., gemoetric, Poisson, exponential, Gaussian, etc.), nor topics such as hy- pothesis testing or regression, this doesn’t mean that the probability we use is “trivial”.

اگرچہ ہمیں شماریات کے کورسز میں شامل بہت سے “فینسی” موضوعات کی ضرورت نہیں ہوگی، بشمول خصوصی تقسیم (مثلاً، جیومیٹرک، پوائسن، ایکسپونینشل، گوسی، وغیرہ)، نہ ہی موضوعات جیسے کہ ہائیپوتھیسس ٹیسٹنگ یا رجعت، اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ ہم جو امکان استعمال کرتے ہیں وہ “معمولی” ہے۔


The human brain has not evolved to do probabilistic reasoning very well, and notions such as conditioning and independence can be quite subtle and confusing even in the basic setting of tossing a random coin.

انسانی دماغ بے ترتیب استدلال کو بہت اچھی طرح سے کرنے کے لیے تیار نہیں ہوا ہے، اور کنڈیشنگ اور آزادی جیسے تصورات یہاں تک کہ ایک بے ترتیب سکے کو اچھالنے کی بنیادی ترتیب میں بھی کافی لطیف اور الجھا دینے والے ہو سکتے ہیں۔


However, this is all the more reason that studying these notions in this basic setting is useful not just for following this book, but also as a strong foundation for “fancier topics”.

تاہم، یہ اس سے بھی زیادہ وجہ ہے کہ ان تصورات کا اس بنیادی ترتیب میں مطالعہ نہ صرف اس کتاب کی پیروی کرنے کے لیے مفید ہے، بلکہ “فینسی موضوعات” کے لیے ایک مضبوط بنیاد کے طور پر بھی ہے۔


18.1 RANDOM COINS The nature of randomness and probability is a topic of great philo- sophical, scientific and mathematical depth.

18.1 بے ترتیب سکے بے ترتیبی اور امکان کی نوعیت ایک عظیم فلسفیانہ، سائنسی اور ریاضیاتی گہرائی کا موضوع ہے۔


The theorem explains the relationship between independent random variables.

یہ نظریہ آزاد بے ترتیب متغیرات کے درمیان تعلق کی وضاحت کرتا ہے۔


Proof of Lemma 18.6 involves reordering indices and string concatenation.

لیما 18.6 کا ثبوت انڈیکس کو دوبارہ ترتیب دینے اور سٹرنگ کنکیٹینیشن پر مشتمل ہے۔


If X and Y are independent, then E[XY] = E[X]E[Y].

اگر X اور Y آزاد ہیں، تو E[XY] = E[X]E[Y]۔


Learning F(X) provides less information than learning X itself.

F(X) سیکھنے سے X کو خود سیکھنے سے کم معلومات ملتی ہیں۔


The concept of mutual independence extends to multiple random variables.

باہمی آزادی کا تصور متعدد بے ترتیب متغیرات تک پھیلا ہوا ہے۔


Markov's inequality provides an upper bound on the probability.

مارکوف کی عدم مساوات امکان پر ایک بالائی حد فراہم کرتی ہے۔


The averaging principle is surprisingly useful despite its simplicity.

اوسط کا اصول اپنی سادگی کے باوجود حیرت انگیز طور پر مفید ہے۔


Chebyshev's inequality is related to the standard deviation.

چیبیشیف کی عدم مساوات معیاری انحراف سے متعلق ہے۔


The Chernoff bound shows exponential decay in probability.

چیرنوف کی حد امکان میں ایکسپونینشل زوال کو ظاہر کرتی ہے۔


Supervised learning uses samples to find a classifier.

سپروائزڈ لرننگ ایک کلاسیفائر تلاش کرنے کے لیے نمونوں کا استعمال کرتا ہے۔


مقصد ٹیسٹ کی غلطی کو کم کرنا ہے۔


The empirical risk minimizer is a key concept.

تجرباتی رسک کم کرنے والا ایک اہم تصور ہے۔


ثبوت میں یونین کی حد استعمال کی جاتی ہے۔


A basic probabilistic experiment involves coin tosses.

ایک بنیادی احتمالی تجربے میں سکے اچھالنا شامل ہے۔


Random variables assign numbers to coin toss outcomes.

بے ترتیب متغیرات سکے کے اچھال کے نتائج کو نمبر تفویض کرتے ہیں۔


Expectation is the average value of a random variable.

توقع ایک بے ترتیب متغیر کی اوسط قیمت ہے۔


Concentration results are also known as tail bounds.

ارتکاز کے نتائج کو ٹیل باؤنڈز کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔


The probability of an event is a measure of its likelihood.

کسی واقعہ کا امکان اس کے امکان کا ایک پیمانہ ہے۔


The bell curve is also known as the normal distribution.

گھنٹی کا منحنی خط بھی نارمل تقسیم کے نام سے جانا جاتا ہے۔


Casinos make money because of predictable randomness.

کیسینو متوقع بے ترتیبی کی وجہ سے پیسہ کماتے ہیں۔


NAND-CIRC programs are equivalent to Boolean circuits.

NAND-CIRC پروگرام بُولین سرکٹس کے برابر ہیں۔


The search problem corresponding to (16.3) is known as the circuit minimization problem.

(16.3) کے مطابق تلاش کا مسئلہ سرکٹ کو کم سے کم کرنے کا مسئلہ کہلاتا ہے۔


You can skip ahead to Section 16.4.1 to see a particularly compelling application of this.

آپ اس کا ایک خاص طور پر دلچسپ اطلاق دیکھنے کے لیے سیکشن 16.4.1 پر جا سکتے ہیں۔


Another example of a statement involving levels of quantifiers would be to check, given a chess position, whether there is a strategy that guarantees that White wins within steps.

مقدار کاروں کی سطحوں پر مشتمل ایک بیان کی ایک اور مثال یہ جانچنا ہوگی کہ، شطرنج کی پوزیشن دی گئی ہے، آیا کوئی ایسی حکمت عملی ہے جو اس بات کی ضمانت دیتی ہے کہ وائٹ مراحل کے اندر جیت جاتا ہے۔


It turns out that if P=NP then we can solve these kinds of problems as well.

یہ پتہ چلتا ہے کہ اگر P=NP ہے تو ہم اس قسم کے مسائل کو بھی حل کر سکتے ہیں۔


If P=NP then for every a ∈ ℕ, polynomial p ∶ ℕ → ℕ and polynomial-time algorithm V, there is a polynomial-time algorithm SOLVE V,a that on input x ∈ {0,1}n returns 1 if and only if ∃ y0 ∈{0,1}m ∀ y1 ∈{0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈{0,1}m V(xy0y1⋯ya−1) = 1.

اگر P=NP ہے تو ہر a ∈ ℕ کے لیے، پولیومیل p ∶ ℕ → ℕ اور پولیومیل ٹائم الگورتھم V، ایک پولیومیل ٹائم الگورتھم SOLVE V,a موجود ہے جو ان پٹ x ∈ {0,1}n پر 1 واپس کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ∃ y0 ∈{0,1}m ∀ y1 ∈{0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈{0,1}m V(xy0y1⋯ya−1) = 1۔


For the ease of notation, we assume that all the strings we quantify over have the same length m = p(n), but using simple padding one can show that this captures the general case of strings of different polynomial lengths.

علامت کی آسانی کے لیے، ہم فرض کرتے ہیں کہ وہ تمام تاریں جن پر ہم مقدار لگاتے ہیں ان کی لمبائی m = p(n) ہے، لیکن سادہ پیڈنگ کا استعمال کرتے ہوئے کوئی یہ ظاہر کر سکتا ہے کہ یہ مختلف پولیومیل لمبائی کی تاروں کے عام معاملے کو حاصل کرتا ہے۔


To understand the idea behind the proof, consider the special case where we want to decide, given x ∈ {0,1}n, whether for every y ∈ {0,1}n there exists z ∈ {0,1}n such that V(xyz) = 1.

ثبوت کے پیچھے کے خیال کو سمجھنے کے لیے، اس خاص معاملے پر غور کریں جہاں ہم فیصلہ کرنا چاہتے ہیں، x ∈ {0,1}n کو دیکھتے ہوئے، آیا ہر y ∈ {0,1}n کے لیے z ∈ {0,1}n موجود ہے جیسے کہ V(xyz) = 1۔


Consider the function F such that F(xy) = 1 if there exists z ∈ {0,1}n such that V(xyz) = 1.

فنکشن F پر غور کریں جیسے کہ F(xy) = 1 اگر z ∈ {0,1}n موجود ہے جیسے کہ V(xyz) = 1۔


Since V runs in polynomial-time F ∈ NP and hence if P=NP, then there is an algorithm V′ that on input x,y outputs 1 if and only if there exists z ∈ {0,1}n such that V(xyz) = 1.

چونکہ V پولیومیل ٹائم میں چلتا ہے F ∈ NP اور اس لیے اگر P=NP، تو ایک الگورتھم V′ موجود ہے جو ان پٹ x,y پر 1 آؤٹ پٹ کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب z ∈ {0,1}n موجود ہے جیسے کہ V(xyz) = 1۔


Now we can see that the original statement we consider is true if and only if for every y ∈ {0,1}n, V′(xy) = 1, which means it is false if and only if the following condition (*) holds: there exists some y ∈ {0,1}n such that V′(xy) = 0.

اب ہم دیکھ سکتے ہیں کہ اصل بیان جس پر ہم غور کر رہے ہیں وہ درست ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب ہر y ∈ {0,1}n کے لیے، V′(xy) = 1، جس کا مطلب ہے کہ یہ غلط ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب درج ذیل شرط (*) لاگو ہوتی ہے: کچھ y ∈ {0,1}n موجود ہے جیسے کہ V′(xy) = 0۔


But for every x ∈ {0,1}n, the question of whether the condition (*) is itself in NP (as we assumed V′ can be computed what if p equals np? 513 in polynomial time) and hence under the assumption that P=NP we can determine in polynomial time whether the condition (*), and hence our original statement, is true.

لیکن ہر x ∈ {0,1}n کے لیے، اس سوال کا کہ آیا شرط (*) خود NP میں ہے (جیسا کہ ہم نے فرض کیا ہے کہ V′ کا حساب لگایا جا سکتا ہے اگر p پولیومیل ٹائم میں np کے برابر ہے؟ 513) اور اس لیے اس مفروضے کے تحت کہ P=NP ہم پولیومیل ٹائم میں اس بات کا تعین کر سکتے ہیں کہ آیا شرط (*)، اور اس لیے ہمارا اصل بیان، درست ہے۔


ہم نظریہ کو انڈکشن کے ذریعے ثابت کرتے ہیں۔


We assume that there is a polynomial-time algorithm SOLVE V,a−1 that can solve the problem (16.4) for a − 1 and use that to solve the problem for a.

ہم فرض کرتے ہیں کہ ایک پولیومیل ٹائم الگورتھم SOLVE V,a−1 موجود ہے جو a − 1 کے لیے مسئلہ (16.4) کو حل کر سکتا ہے اور اسے a کے لیے مسئلہ حل کرنے کے لیے استعمال کرتا ہے۔


For a = 1, SOLVE V,a−1(x) = 1 iff V(x) = 1 which is a polynomial-time computation since V runs in polynomial time.

a = 1 کے لیے، SOLVE V,a−1(x) = 1 iff V(x) = 1 جو کہ ایک پولیومیل ٹائم کمپیوٹیشن ہے کیونکہ V پولیومیل ٹائم میں چلتا ہے۔


For every x,y0, define the statement φ x,y0 to be the following: φ x,y0 = ∀ y1 ∈{0,1}m ∃ y2 ∈{0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈{0,1}m V(xy0y1⋯ya−1) = 1.

ہر x,y0 کے لیے، بیان φ x,y0 کو مندرجہ ذیل کے طور پر بیان کریں: φ x,y0 = ∀ y1 ∈{0,1}m ∃ y2 ∈{0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈{0,1}m V(xy0y1⋯ya−1) = 1۔


By the definition of SOLVE V,a, for every x ∈ {0,1}n, our goal is that SOLVE V,a(x) = 1 if and only if there exists y0 ∈ {0,1}m such that φ x,y0 is true.

SOLVE V,a کی تعریف کے مطابق، ہر x ∈ {0,1}n کے لیے، ہمارا مقصد یہ ہے کہ SOLVE V,a(x) = 1 اگر اور صرف اس صورت میں جب y0 ∈ {0,1}m موجود ہو جیسے کہ φ x,y0 درست ہے۔


The negation of φ x,y0 is the statement φ x,y0 = ∃ y1 ∈{0,1}m ∀ y2 ∈{0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈{0,1}m V(xy0y1⋯ya−1) = 0 where ℜ is ∃ if ℜ was ∀ and ℜ is ∀ otherwise.

φ x,y0 کی نفی بیان φ x,y0 = ∃ y1 ∈{0,1}m ∀ y2 ∈{0,1}m ⋯ ℜ ya−1 ∈{0,1}m V(xy0y1⋯ya−1) = 0 ہے جہاں ℜ ∃ ہے اگر ℜ ∀ تھا اور ℜ بصورت دیگر ∀ ہے۔


The crucial observation is that φ x,y0 is exactly a statement of the form we consider with a − 1 quantifiers instead of a, and hence by our inductive hypothesis there is some polynomial time algorithm S that on input xy0 outputs 1 if and only if φ x,y0 is true.

اہم مشاہدہ یہ ہے کہ φ x,y0 بالکل اس شکل کا ایک بیان ہے جس پر ہم a کے بجائے a − 1 مقدار کاروں کے ساتھ غور کرتے ہیں، اور اس لیے ہمارے انڈکٹیو مفروضے کے ذریعے کچھ پولیومیل ٹائم الگورتھم S موجود ہے جو ان پٹ xy0 پر 1 آؤٹ پٹ کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب φ x,y0 درست ہے۔


If we let S be the algorithm that on input x,y0 outputs 1 − S(xy0) then we see that S outputs 1 if and only if φ x,y0 is true.

اگر ہم S کو وہ الگورتھم بننے دیں جو ان پٹ x,y0 پر 1 − S(xy0) آؤٹ پٹ کرتا ہے تو ہم دیکھتے ہیں کہ S 1 آؤٹ پٹ کرتا ہے اگر اور صرف اس صورت میں جب φ x,y0 درست ہے۔


We will no longer use these terms and will simply talk about randomized algorithms.

ہم اب ان اصطلاحات کا استعمال نہیں کریں گے اور صرف بے ترتیب الگورتھم کے بارے میں بات کریں گے۔


Randomness turned out not just a hindrance but also a resource for computation.

بے ترتیبی نہ صرف ایک رکاوٹ ثابت ہوئی بلکہ کمپیوٹیشن کے لیے ایک ذریعہ بھی ثابت ہوئی۔


Randomized algorithms are known as Monte Carlo algorithms to this day.

بے ترتیب الگورتھم آج تک مونٹی کارلو الگورتھم کے نام سے جانے جاتے ہیں۔


We will see some examples of randomized algorithms that use randomness.

ہم بے ترتیب الگورتھم کی کچھ مثالیں دیکھیں گے جو بے ترتیبی کا استعمال کرتے ہیں۔


This problem is NP-hard, which means that we do not know of any efficient algorithm that can solve it.

یہ مسئلہ این پی-ہارڈ ہے، جس کا مطلب ہے کہ ہم کوئی بھی موثر الگورتھم نہیں جانتے جو اسے حل کر سکے۔


ہم محض ایک بے ترتیب کٹ کا انتخاب کرتے ہیں۔


الگورتھم انتہائی سادہ ہے۔


We claim that the expected number of edges cut by the algorithm is m/2.

ہم دعویٰ کرتے ہیں کہ الگورتھم کے ذریعے کاٹے جانے والے کناروں کی متوقع تعداد m/2 ہے۔


Randomized algorithms work in the worst case.

بے ترتیب الگورتھم بدترین صورت میں کام کرتے ہیں۔


The expectation in this theorem is not taken over the choice of the graph.

اس تھیورم میں توقع گراف کے انتخاب پر نہیں لی جاتی ہے۔


The algorithm is guaranteed to cut half of the edges of the input graph in expectation.

الگورتھم متوقع طور پر ان پٹ گراف کے نصف کناروں کو کاٹنے کی ضمانت دیتا ہے۔


We can amplify the probability of success by repeating the process several times.

ہم عمل کو کئی بار دہرا کر کامیابی کے امکانات کو بڑھا سکتے ہیں۔


The probability that a random cut in an m-edge graph cuts at least m/2 edges is at least 1/(2m).

m-ایڈج گراف میں ایک بے ترتیب کٹ کے کم از کم m/2 کناروں کو کاٹنے کا امکان کم از کم 1/(2m) ہے۔


We’d like to succeed almost all of the time.

ہم تقریباً ہر وقت کامیاب ہونا چاہتے ہیں۔


The approach is to simply repeat our algorithm many times.

اس کا طریقہ کار یہ ہے کہ ہمارے الگورتھم کو کئی بار دہرایا جائے۔


It turns out that with extremely high probability we will get a cut of size at least m/2.

یہ بات سامنے آتی ہے کہ انتہائی زیادہ امکان کے ساتھ ہمیں کم از کم m/2 سائز کا کٹ ملے گا۔


We can output the majority value of these repetitions.

ہم ان تکرار کی اکثریت کی قدر کو آؤٹ پٹ کر سکتے ہیں۔


If a polynomial is not identically zero, then it can’t have “too many” roots.

اگر کوئی کثیر رقمی یکساں طور پر صفر نہیں ہے، تو اس کی


The bipartite matching problem turns out to have a polynomial-time algorithm.

دو طرفہ مماثلت کا مسئلہ ایک کثیر وقتی الگورتھم رکھتا ہے۔


This reduces testing perfect matching to the zero testing problem for polynomials.

یہ کامل مماثلت کی جانچ کو کثیر رقمیوں کے لیے صفر جانچ کے مسئلے تک کم کرتا ہے۔


The algorithm efficiently sorts the data.

الگورتھم مؤثر طریقے سے ڈیٹا کو ترتیب دیتا ہے۔


She enjoys reading novels in her free time.

وہ اپنے فارغ وقت میں ناول پڑھنا پسند کرتی ہے۔


The company announced a new product launch.

کمپنی نے ایک نئی مصنوعات کے آغاز کا اعلان کیا۔


کیا آپ براہ کرم مجھے نمک دے سکتے ہیں؟


The weather forecast predicts rain tomorrow.

موسم کی پیش گوئی کل بارش کی ہے۔


He is a highly skilled software engineer.

وہ ایک انتہائی ہنر مند سافٹ ویئر انجینئر ہے۔


The government implemented new economic policies.

حکومت نے نئی معاشی پالیسیاں نافذ کیں۔


She is fluent in multiple foreign languages.

وہ متعدد غیر ملکی زبانوں میں روانی سے بات کرتی ہے۔


The research team conducted a thorough investigation.

تحقیقی ٹیم نے مکمل تفتیش کی۔


The negotiations reached a critical juncture.

مذاکرات ایک نازک موڑ پر پہنچ گئے۔


The complex algorithm requires significant computational resources.

پیچیدہ الگورتھم کو نمایاں کمپیوٹیشنل وسائل کی ضرورت ہے۔


The philosophical debate explored the nature of reality.

فلسفیانہ بحث نے حقیقت کی نوعیت کو تلاش کیا۔


The economic downturn affected global markets significantly.

معاشی بدحالی نے عالمی منڈیوں کو نمایاں طور پر متاثر کیا۔


The intricate design of the machine was a marvel of engineering.

مشین کا پیچیدہ ڈیزائن انجینئرنگ کا ایک کارنامہ تھا۔


The implications of the new scientific discovery are far-reaching.

نئی سائنسی دریافت کے مضمرات دور رس ہیں۔


The artist's work reflects a deep understanding of human emotion.

فنکار کا کام انسانی جذبات کی گہری سمجھ کی عکاسی کرتا ہے۔


The company's strategic plan involves a complete restructuring of its operations.

کمپنی کے اسٹریٹجک منصوبے میں اس کے کاموں کی مکمل تنظیم نو شامل ہے۔


The judge's ruling set a precedent for future cases.

جج کے فیصلے نے مستقبل کے مقدمات کے لیے ایک مثال قائم کی۔


The scientific community is debating the ethical considerations of artificial intelligence.

سائنسی برادری مصنوعی ذہانت کے اخلاقی تحفظات پر بحث کر رہی ہے۔


Despite the challenges, the team persevered and achieved their goals.

چیلنجوں کے باوجود، ٹیم نے ہمت رکھی اور اپنے اہداف حاصل کیے۔


The algorithm's efficiency is not hard to see.

یہ دیکھنا مشکل نہیں ہے کہ الگورتھم کتنا موثر ہے۔


Simulating randomized algorithms can be done in exponential time.

بے ترتیب الگورتھم کی نقالی کو ایکسپونینشل وقت میں کیا جا سکتا ہے۔


The proof readily follows by enumerating over all choices.

ثبوت آسانی سے تمام انتخابوں کو شمار کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔


ہم اختصار کے لیے رسمی ثبوت کو چھوڑ دیتے ہیں۔


This is an excellent way to get comfortable with the definition.

یہ تعریف سے مانوس ہونے کا ایک بہترین طریقہ ہے۔


If F is in P, then there is a polynomial p.

اگر F، P میں ہے، تو ایک پولی نومیئل p موجود ہے۔


A priori, it is not clear that the same holds for a function in BPP.

ابتدائی طور پر، یہ واضح نہیں ہے کہ BPP میں موجود فنکشن کے لیے بھی یہی بات صادق آتی ہے۔


The algorithm outputs the correct answer.

الگورتھم درست جواب دیتا ہے۔


The standard BPP guarantee corresponds to the middle figure.

معیاری BPP گارنٹی درمیانی شکل سے مطابقت رکھتی ہے۔


For every input x, at least two thirds of the choices r will result in A computing the correct value.

ہر ان پٹ x کے لیے، کم از کم دو تہائی انتخاب r کے نتیجے میں A درست قدر کا حساب لگائے گا۔


Randomness does not help for non-uniform computation.

بے ترتیبی غیر یکساں کمپیوٹیشن میں مددگار نہیں ہے۔


For every F ∈ BPP, there exist some a, b ∈ ℕ.

ہر F ∈ BPP کے لیے، کچھ a, b ∈ ℕ موجود ہیں۔


ہم کامیابی کے امکان کو بڑھا سکتے ہیں۔


This will allow us to show that for every n ∈ ℕ there exists a single fixed choice of favorable coins.

یہ ہمیں یہ ظاہر کرنے کی اجازت دے گا کہ ہر n ∈ ℕ کے لیے سازگار سکوں کا ایک واحد مقررہ انتخاب موجود ہے۔


We can then use the standard “unravelling the loop” technique.

پھر ہم معیاری “لوپ کو کھولنے” کی تکنیک استعمال کر سکتے ہیں۔


فرض کریں کہ F ∈ BPP۔


We can amplify the success probability of P.

ہم P کی کامیابی کے امکان کو بڑھا سکتے ہیں۔


We use the notation P'(x;r) to denote the execution of P' on input x.

ہم P' کے ان پٹ x پر عمل درآمد کو ظاہر کرنے کے لیے علامت P'(x;r) استعمال کرتے ہیں۔


For every x ∈ {0,1}n, define the “bad” event Bx.

ہر x ∈ {0,1}n کے لیے، “خراب” واقعہ Bx کی تعریف کریں۔


This means that there exists a particular r* ∈ {0,1}m such that P'(x;r*) = F(x) for every x ∈ {0,1}n.

اس کا مطلب ہے کہ ایک خاص r* ∈ {0,1}m موجود ہے جیسے کہ ہر x ∈ {0,1}n کے لیے P'(x;r*) = F(x)۔


The algorithm uses a probabilistic method to prove the claim.

الگوریتم دعوے کو ثابت کرنے کے لیے ایک احتمالی طریقہ استعمال کرتا ہے۔


We need to show that the probability of BAD z is less than 2 raised to the power of negative m.

ہمیں یہ دکھانے کی ضرورت ہے کہ BAD z کا احتمال 2 کی منفی m طاقت سے کم ہے۔


The proof uses an extremely useful technique known as the probabilistic method.

ثبوت ایک انتہائی مفید تکنیک کا استعمال کرتا ہے جسے احتمالی طریقہ کہا جاتا ہے۔


The idea is to give a non-constructive proof of existence.

خیال وجود کا غیر تعمیری ثبوت دینا ہے۔


We will show that this follows from the following claim.

ہم دکھائیں گے کہ یہ مندرجہ ذیل دعوے سے اخذ کیا گیا ہے۔


Choosing a random function corresponds to choosing a random bit string.

ایک بے ترتیب فنکشن کا انتخاب ایک بے ترتیب بٹ سٹرنگ کے انتخاب کے مساوی ہے۔


The probability that (20.7) is violated is at most 2 to the power of negative T squared.

(20.7) کی خلاف ورزی کا احتمال زیادہ سے زیادہ 2 کی منفی T مربع طاقت ہے۔


We can model randomized algorithms by adding a special coin toss operation.

ہم ایک خاص سکے کے ٹاس آپریشن کو شامل کرکے بے ترتیب الگورتھم کو ماڈل بنا سکتے ہیں۔


The class BPP contains the set of Boolean functions.

کلاس BPP میں بولین فنکشنز کا سیٹ شامل ہے۔


We can amplify the success probability of randomized algorithms.

ہم بے ترتیب الگورتھم کے کامیابی کے امکانات کو بڑھا سکتے ہیں۔


Pseudorandom generators take a short random seed.

سودو رینڈم جنریٹر ایک مختصر بے ترتیب سیڈ لیتے ہیں۔


Cryptography is the art of secret writing.

خفیہ نگاری خفیہ تحریر کا فن ہے۔


ایلس باب کو ایک پیغام بھیجنا چاہتی ہے۔


وہ ایک خفیہ کلید شیئر کرتے ہیں۔


Alice encrypts the plaintext into a ciphertext.

ایلس سادہ متن کو ایک خفیہ متن میں انکرپٹ کرتی ہے۔


Bob decrypts the ciphertext back into the plaintext.

باب خفیہ متن کو واپس سادہ متن میں ڈکرپٹ کرتا ہے۔


A valid encryption scheme must make sense.

ایک درست انکرپشن سکیم کو سمجھ میں آنا چاہیے۔


خفیہ متن کی لمبائی کا فنکشن C(n) ہے۔


For every key k and plaintext x, the encryption is valid.

ہر کلید k اور سادہ متن x کے لیے، انکرپشن درست ہے۔


The Vigenère cipher was considered unbreakable for a long time.

ویجینیر سائفر کو ایک طویل عرصے تک ناقابلِ شکست سمجھا جاتا تھا۔


نظام کو رازداری کی ضرورت نہیں ہونی چاہیے۔


Defining security is not a trivial matter.

سیکیورٹی کی تعریف کرنا کوئی معمولی بات نہیں ہے۔


A cryptosystem should be secure even if everything about the system, except the key, is public knowledge.

ایک کرپٹو سسٹم محفوظ ہونا چاہیے یہاں تک کہ اگر سسٹم کے بارے میں سب کچھ، کلید کے علاوہ، عوامی علم ہے۔


بے ترتیبی کے بغیر کوئی رازداری نہیں ہے۔


At the heart of every cryptographic scheme there is a secret key, and the secret key is always chosen at random.

ہر خفیہ اسکیم کے مرکز میں ایک خفیہ کلید ہوتی ہے، اور خفیہ کلید ہمیشہ بے ترتیب طور پر منتخب کی جاتی ہے۔


Great care must be taken in doing this, and randomness generators often turn out to be the Achilles heel of secure systems.

یہ کرتے وقت بہت احتیاط برتنے کی ضرورت ہے، اور بے ترتیبی جنریٹر اکثر محفوظ نظاموں کی ایڑی ثابت ہوتے ہیں۔


Since randomness is so crucial to security, breaking the procedure to generate randomness can lead to a complete break of the system.

چونکہ بے ترتیبی سیکیورٹی کے لیے بہت اہم ہے، بے ترتیبی پیدا کرنے کے طریقہ کار کو توڑنے سے سسٹم مکمل طور پر ٹوٹ سکتا ہے۔


The encryption scheme reveals absolutely nothing about the message.

انکرپشن اسکیم پیغام کے بارے میں بالکل کچھ نہیں بتاتی ہے۔


This example can be vastly generalized to show that perfect secrecy is indeed “perfect”.

اس مثال کو وسیع پیمانے پر عام کیا جا سکتا ہے تاکہ یہ ظاہر کیا جا سکے کہ کامل رازداری واقعی “کامل” ہے۔


انکرپشن انتہائی آسان ہے۔


Imagine that every time you opened an account with Amazon, Google, or any other service, they would need to send you in the mail a DVD full of random numbers.

تصور کریں کہ ہر بار جب آپ ایمیزون، گوگل، یا کسی اور سروس کے ساتھ ایک اکاؤنٹ کھولتے ہیں، تو انہیں آپ کو ڈاک کے ذریعے بے ترتیب نمبروں سے بھری ایک ڈی وی ڈی بھیجنے کی ضرورت ہوگی۔


The Soviets have used the one-time pad for their confidential communication since before the 1940’s.

سوویت یونین نے 1940 کی دہائی سے پہلے سے ہی اپنی خفیہ مواصلات کے لیے ون ٹائم پیڈ کا استعمال کیا ہے۔


Unfortunately it turns out that such long keys are necessary for perfect secrecy.

بدقسمتی سے یہ پتہ چلتا ہے کہ کامل رازداری کے لیے اس طرح کی لمبی چابیاں ضروری ہیں۔


We will show that (E,D) is not perfectly secret.

ہم دکھائیں گے کہ (E,D) مکمل طور پر خفیہ نہیں ہے۔


The idea behind the proof is illustrated in Fig. 21.11.

ثبوت کے پیچھے کا خیال شکل 21.11 میں دکھایا گیا ہے۔


We can use computational hardness to achieve many cryptographic goals.

ہم بہت سے خفیہ مقاصد کو حاصل کرنے کے لیے کمپیوٹیشنل سختی کا استعمال کر سکتے ہیں۔


This is just one example of a much broader phenomenon.

یہ ایک بہت وسیع رجحان کی صرف ایک مثال ہے۔


نقشہ نقشے کو الٹ دیتا ہے۔


The ciphertext length is always at least the plaintext length.

سائفر ٹیکسٹ کی لمبائی ہمیشہ کم از کم سادہ متن کی لمبائی ہوتی ہے۔


We typically focus on the plaintext length as the quantity to optimize in an encryption scheme.

ہم عام طور پر سادہ متن کی لمبائی پر توجہ مرکوز کرتے ہیں جیسا کہ انکرپشن اسکیم میں بہتر بنانے کے لیے مقدار ہے۔


The algorithm is used to encrypt sensitive data.

یہ الگورتھم حساس ڈیٹا کو خفیہ کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔


She couldn't even imagine the possibilities.

وہ تو اس کے امکانات کا تصور بھی نہیں کر سکتی تھی۔


The news reported a significant economic downturn.

خبروں میں ایک اہم معاشی گراوٹ کی اطلاع دی گئی۔


Please provide your identification for verification.

براہ کرم تصدیق کے لیے اپنی شناخت فراہم کریں۔


کمپنی نیا سافٹ ویئر تیار کر رہی ہے۔


He was hesitant to invest in the project.

وہ اس منصوبے میں سرمایہ کاری کرنے میں ہچکچا رہا تھا۔


The meeting will be held tomorrow morning.

میٹنگ کل صبح منعقد کی جائے گی۔


The security of the system is paramount.

سسٹم کی حفاظت سب سے اہم ہے۔


They discussed the implications of the new policy.

انہوں نے نئی پالیسی کے مضمرات پر تبادلہ خیال کیا۔


The research team made a significant discovery.

تحقیقی ٹیم نے ایک اہم دریافت کی۔


کیا آپ براہ کرم اسے دہرا سکتے ہیں؟


The weather forecast predicts rain later today.

موسم کی پیش گوئی آج بعد میں بارش کی ہے۔


The government announced new economic reforms.

حکومت نے نئی معاشی اصلاحات کا اعلان کیا۔


The artist's work is displayed in the gallery.

فنکار کا کام گیلری میں نمائش کے لیے پیش کیا گیا ہے۔


The project requires careful planning and execution.

اس منصوبے کے لیے محتاط منصوبہ بندی اور عمل درآمد کی ضرورت ہے۔


The data was analyzed using advanced statistical methods.

ڈیٹا کا تجزیہ جدید شماریاتی طریقوں کا استعمال کرتے ہوئے کیا گیا۔


Despite the challenges, they persevered and succeeded.

چیلنجوں کے باوجود، انہوں نے ہمت نہیں ہاری اور کامیابی حاصل کی۔


The implications of this decision are far-reaching.

اس فیصلے کے مضمرات دور رس ہیں۔


The company's financial performance exceeded expectations.

کمپنی کی مالی کارکردگی توقعات سے تجاوز کر گئی۔


The complex algorithm is designed to optimize performance.

پیچیدہ الگورتھم کارکردگی کو بہتر بنانے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے۔


The study of quantum mechanics can be quite challenging.

کوانٹم میکینکس کا مطالعہ کافی مشکل ہو سکتا ہے۔


فوٹون لہر-ذرہ دوہرییت کا مظاہرہ کرتے ہیں۔


Quantum computing utilizes superposition and entanglement.

کوانٹم کمپیوٹنگ سپرپوزیشن اور الجھاؤ کا استعمال کرتا ہے۔


The double-slit experiment is a cornerstone of quantum physics.

ڈبل سلٹ تجربہ کوانٹم طبیعیات کا سنگ بنیاد ہے۔


Richard Feynman made significant contributions to quantum field theory.

رچرڈ فائن مین نے کوانٹم فیلڈ تھیوری میں اہم کردار ادا کیا۔


Understanding quantum mechanics requires a shift in perspective.

کوانٹم میکینکس کو سمجھنے کے لیے نقطہ نظر میں تبدیلی کی ضرورت ہے۔


The concept of superposition is fundamental.

سپرپوزیشن کا تصور بنیادی ہے۔


Quantum entanglement links particles in a unique way.

کوانٹم الجھاؤ ذرات کو ایک منفرد انداز میں جوڑتا ہے۔


Quantum computers could revolutionize data processing.

کوانٹم کمپیوٹر ڈیٹا پروسیسنگ میں انقلاب لا سکتے ہیں۔


The uncertainty principle is a key concept.

غیر یقینی صورتحال کا اصول ایک اہم تصور ہے۔


Classical physics differs significantly from quantum mechanics.

کلاسیکی طبیعیات کوانٹم میکینکس سے نمایاں طور پر مختلف ہے۔


Quantum cryptography offers enhanced security.

کوانٹم کرپٹوگرافی بہتر سیکیورٹی فراہم کرتی ہے۔


The wave function describes the state of a quantum system.

ویو فنکشن کوانٹم نظام کی حالت کو بیان کرتا ہے۔


Many-body problems are complex in quantum mechanics.

کوانٹم میکینکس میں کثیر الجسیم مسائل پیچیدہ ہیں۔


Quantum tunneling is a fascinating phenomenon.

کوانٹم ٹنلنگ ایک دلچسپ رجحان ہے۔


The development of quantum computers is ongoing.

کوانٹم کمپیوٹرز کی ترقی جاری ہے۔


Quantum mechanics challenges our intuition.

کوانٹم میکینکس ہمارے وجدان کو چیلنج کرتا ہے۔


The measurement problem is a topic of debate.

پیمائش کا مسئلہ بحث کا موضوع ہے۔


Quantum information theory is a growing field.

کوانٹم انفارمیشن تھیوری ایک بڑھتا ہوا میدان ہے۔


Quantum mechanics has profound implications.

کوانٹم میکینکس کے گہرے مضمرات ہیں۔


The qubit's state collapses with a certain probability.

کیوبٹ کی حالت ایک خاص احتمال کے ساتھ گر جاتی ہے۔


Bob's qubit will be in a specific state after rotation.

گردش کے بعد باب کا کیوبٹ ایک مخصوص حالت میں ہوگا۔


Alice and Bob will agree with a certain probability.

ایلس اور باب ایک خاص احتمال کے ساتھ متفق ہوں گے۔


The analysis for Case 3 is analogous to Case 2.

کیس 3 کا تجزیہ کیس 2 کے مشابہ ہے۔


They will become orthogonal to each other.

وہ ایک دوسرے کے لیے آرتھوگونل ہو جائیں گے۔


Measurements will behave like independent coin tosses.

پیمائشیں آزاد سکہ اچھال کی طرح برتاؤ کریں گی۔


The overall probability of winning the game is at least 0.8.

کھیل جیتنے کا مجموعی امکان کم از کم 0.8 ہے۔


Quantum mechanics enabled this gain in Bell’s Inequality.

کوانٹم میکانکس نے بیل کی عدم مساوات میں یہ فائدہ ممکن بنایا۔


Consider the following analogous probabilistic strategy.

مندرجہ ذیل مشابہ احتمالی حکمت عملی پر غور کریں۔


The quantum strategy can be thought of as a variant.

کوانٹم حکمت عملی کو ایک مختلف قسم کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔


We modeled computation as a sequence of basic operations.

ہم نے کمپیوٹیشن کو بنیادی کارروائیوں کے سلسلے کے طور پر ماڈل بنایا۔


We defined the class P to consist of all infinite functions.

ہم نے کلاس P کو تمام لامحدود افعال پر مشتمل قرار دیا۔


This is known as the No Cloning Theorem.

یہ نو کلوننگ تھیورم کے نام سے جانا جاتا ہے۔


A quantum circuit is analogous to a Boolean circuit.

ایک کوانٹم سرکٹ بولین سرکٹ کے مشابہ ہے۔


We cannot reuse quantum states without measuring them.

ہم ان کی پیمائش کیے بغیر کوانٹم ریاستوں کو دوبارہ استعمال نہیں کر سکتے۔


We will need to make sure all our gates are reversible.

ہمیں اس بات کو یقینی بنانا ہوگا کہ ہمارے تمام گیٹس الٹ جانے والے ہیں۔


The NAND operation corresponds to a unitary matrix.

NAND آپریشن ایک یکجہتی میٹرکس سے مطابقت رکھتا ہے۔


A quantum circuit is obtained by applying a sequence of gates.

ایک کوانٹم سرکٹ گیٹس کے ایک سلسلے کو لاگو کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔


ہم HAD کو ایک یکجہتی میٹرکس کے طور پر بیان کرتے ہیں۔


The probability that this output equals f(x) is at least 2/3.

اس آؤٹ پٹ کے f(x) کے برابر ہونے کا امکان کم از کم 2/3 ہے۔


Introduction to theoretical computer science.

نظریاتی کمپیوٹر سائنس کا تعارف۔


Essential Discrete Mathematics for Computer Science.

کمپیوٹر سائنس کے لیے لازمی گنتی کا ریاضی۔


Combinatorial lower bound arguments for deterministic and nondeterministic Turing machines.

قطعی اور غیر قطعی ٹورنگ مشینوں کے لیے امتزاجی کم حد کے دلائل۔


حساب کی نوعیت۔


A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity.

اعصابی سرگرمی میں موجود خیالات کا منطقی حساب۔


بے ترتیب الگورتھم۔


Probability and computing: randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis.

امکان اور کمپیوٹنگ: الگورتھم اور ڈیٹا تجزیہ میں بے ترتیبی اور احتمالی تکنیک۔


EDVAC پر رپورٹ کا پہلا مسودہ۔


The elements of computing systems: building a modern computer from first principles.

کمپیوٹنگ سسٹمز کے عناصر: پہلے اصولوں سے ایک جدید کمپیوٹر بنانا۔


The PageRank citation ranking: Bringing order to the web.

پیج رینک حوالہ درجہ بندی: ویب پر ترتیب لانا۔


اقسام اور پروگرامنگ زبانیں۔


Classes of recursively enumerable sets and their decision problems.

دوبارہ شمار کیے جا سکنے والے سیٹوں کی کلاسیں اور ان کے فیصلے کے مسائل۔


چھوٹی عالمگیر ٹورنگ مشینیں۔


Discrete mathematics and its applications.

مستقل ریاضی اور اس کے اطلاقات۔


Finite automata and their decision problems.

محدود آٹومیٹا اور ان کے فیصلے کے مسائل۔


حساب کے ماڈل۔


On the history of combinatorial optimization (till 1960).

امتزاجی اصلاح کی تاریخ پر (1960 تک)۔


A symbolic analysis of relay and switching circuits.

ریلے اور سوئچنگ سرکٹس کا علامتی تجزیہ۔


Factoring numbers in O(logn) arithmetic steps.

O(logn) حسابی مراحل میں نمبروں کی فیکٹرنگ۔


The algorithm recovers the factorization of M from the periods of functions.

یہ الگورتھم ایم کی فیکٹوریزیشن کو فنکشنز کے ادوار سے بحال کرتا ہے۔


Shor's algorithm is used to find the prime factorization of a number M.

شور کا الگورتھم ایک عدد ایم کی پرائم فیکٹرائزیشن معلوم کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔


The algorithm involves quantum Fourier transform to analyze the function.

اس الگورتھم میں فنکشن کا تجزیہ کرنے کے لیے کوانٹم فوریئر ٹرانسفارم شامل ہے۔


The Quantum Fourier Transform is a key ingredient in Shor's algorithm.

کوانٹم فوریئر ٹرانسفارم شور کے الگورتھم کا ایک اہم جزو ہے۔


The algorithm uses the least common multiple to find the period of a function.

یہ الگورتھم کسی فنکشن کا دورانیہ معلوم کرنے کے لیے سب سے کم مشترک ضرب کا استعمال کرتا ہے۔


Classical results in number theory are used to obtain a non-trivial prime factor.

غیر معمولی پرائم فیکٹر حاصل کرنے کے لیے نمبر تھیوری میں کلاسیکی نتائج استعمال کیے جاتے ہیں۔


The Quantum Fourier Transform does not compute the Fourier Transform of a function.

کوانٹم فوریئر ٹرانسفارم کسی فنکشن کا فوریئر ٹرانسفارم حساب نہیں کرتا ہے۔


The Quantum Fourier Transform gives a quantum state.

کوانٹم فوریئر ٹرانسفارم ایک کوانٹم حالت دیتا ہے۔


The amplitude corresponds to the Fourier coefficient.

ایمپلیٹیوڈ فوریئر کوفیشینٹ سے مطابقت رکھتا ہے۔


The Quantum Fourier Transform is good enough for recovering the period.

کوانٹم فوریئر ٹرانسفارم دورانیہ کو بحال کرنے کے لیے کافی ہے۔


We will discuss the ideas behind this algorithm.

ہم اس الگورتھم کے پیچھے موجود خیالات پر تبادلہ خیال کریں گے۔


The Fourier transform applies to functions whose domain can be any arbitrary commutative group.

فوریئر ٹرانسفارم ان فنکشنز پر لاگو ہوتا ہے جن کا ڈومین کوئی بھی من مانی کمیوٹیٹو گروپ ہو سکتا ہے۔


A finite group can be thought of as a set of elements and a binary operation.

ایک محدود گروپ کو عناصر کے ایک سیٹ اور ایک بائنری آپریشن کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔


The operation satisfies properties similar to a product operation.

آپریشن ایسی خصوصیات کو پورا کرتا ہے جو پروڈکٹ آپریشن سے ملتی جلتی ہیں۔


A group is called commutative if g * h = h * g.

ایک گروپ کو کمیوٹیٹو کہا جاتا ہے اگر g * h = h * g۔


The Fourier transform is a deep and vast topic.

فوریئر ٹرانسفارم ایک گہرا اور وسیع موضوع ہے۔


The Fourier transform of a function f is obtained by expressing f in the form.

ایک فنکشن f کا فوریئر ٹرانسفارم f کو اس شکل میں ظاہر کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔


The same notion exists for every Abelian group.

ہر ابیلیئن گروپ کے لیے یہی تصور موجود ہے۔


The Fourier expansion or Fourier transform of f.

f کی فوریئر توسیع یا فوریئر ٹرانسفارم۔


The central property of the Fourier characters is that they are homomorphisms.

فوریئر حروف کی مرکزی خصوصیت یہ ہے کہ وہ ہومومورفزم ہیں۔


If you are confused by quantum mechanics, you are not alone.

اگر آپ کو کوانٹم میکانکس سے الجھن ہے تو، آپ اکیلے نہیں ہیں۔


Quantum mechanics won: it turns out that it is in fact possible to use measurements to create correlations between the states of objects far removed from one another that cannot be explained by any prior theory.

کوانٹم میکانکس جیت گیا: یہ پتہ چلتا ہے کہ درحقیقت پیمائشوں کا استعمال ان اشیاء کی حالتوں کے درمیان تعلق پیدا کرنے کے لیے ممکن ہے جو ایک دوسرے سے بہت دور ہیں جن کی وضاحت کسی بھی پہلے کے نظریہ سے نہیں کی جا سکتی۔


Suppose that Alice and Bob try to convince you they have telepathic ability.

فرض کریں کہ ایلس اور باب آپ کو قائل کرنے کی کوشش کرتے ہیں کہ ان میں ٹیلی پیتھی کی صلاحیت ہے۔


Alice and Bob will be in separate closed rooms.

ایلس اور باب الگ الگ بند کمروں میں ہوں گے۔


You choose a random bit x ∈ {0,1} and your associate chooses a random y ∈ {0,1}.

آپ ایک بے ترتیب بٹ x ∈ {0,1} کا انتخاب کرتے ہیں اور آپ کا ساتھی ایک بے ترتیب y ∈ {0,1} کا انتخاب کرتا ہے۔


We say that Alice and Bob win this experiment if a ⊕ b = x ∧ y.

ہم کہتے ہیں کہ ایلس اور باب اس تجربے میں جیت جاتے ہیں اگر a ⊕ b = x ∧ y۔


In other words, Alice and Bob need to output two bits that disagree if x = y = 1 and agree otherwise.

دوسرے لفظوں میں، ایلس اور باب کو دو بٹس آؤٹ پٹ کرنے کی ضرورت ہے جو متفق نہیں ہیں اگر x = y = 1 اور بصورت دیگر متفق ہیں۔


Now if Alice and Bob are not telepathic, then they need to agree in advance on some strategy.

اب اگر ایلس اور باب ٹیلی پیتھک نہیں ہیں، تو انہیں پہلے سے کسی حکمت عملی پر متفق ہونے کی ضرورت ہے۔


It’s not hard for Alice and Bob to succeed with probability 3/4: just always output the same bit.

ایلس اور باب کے لیے 3/4 کے امکان کے ساتھ کامیاب ہونا مشکل نہیں ہے: بس ہمیشہ ایک ہی بٹ آؤٹ پٹ کریں۔


There is something weird about quantum mechanics.

کوانٹم میکانکس کے بارے میں کچھ عجیب ہے۔


Interference - As we’ve seen, quantum amplitudes can “cancel each other out”.

مداخلت - جیسا کہ ہم نے دیکھا ہے، کوانٹم طول و عرض ایک دوسرے کو منسوخ کر سکتے ہیں۔


The idea that amplitudes are negative as long as “no one is looking” and “collapse” (by squaring them) to positive probabilities when they are measured is deeply disturbing.

یہ خیال کہ طول و عرض منفی ہیں جب تک کہ “کوئی نہیں دیکھ رہا” اور جب ان کی پیمائش کی جاتی ہے تو مثبت امکانات کی طرف “گرنا” (ان کو مربع کرکے) گہری پریشان کن ہے۔


The notion that two parts of the system could be connected in this weird way where measuring one will affect the other is known as quantum entanglement.

یہ تصور کہ نظام کے دو حصے اس عجیب طریقے سے جڑے ہو سکتے ہیں جہاں ایک کی پیمائش دوسرے کو متاثر کرے گی، کو کوانٹم الجھاؤ کے نام سے جانا جاتا ہے۔


As counter-intuitive as these concepts are, they have been experimentally confirmed, so we just have to live with them.

جیسا کہ یہ تصورات غیر منطقی ہیں، ان کی تجرباتی طور پر تصدیق کی گئی ہے، لہذا ہمیں ان کے ساتھ رہنا ہوگا۔


One of the strange aspects of the quantum-mechanical picture of the world is that unlike in the billiard ball example, there is no obvious algorithm to simulate the evolution of n particles over t time periods in poly(n,t) steps.

دنیا کی کوانٹم میکانکی تصویر کا ایک عجیب پہلو یہ ہے کہ بلئرڈ بال کی مثال کے برعکس، n ذرات کے ارتقاء کو t وقت کی مدت میں poly(n,t) مراحل میں نقل کرنے کا کوئی واضح الگورتھم نہیں ہے۔


In fact, the natural way to simulate n quantum particles will require a number of steps that is exponential in n.

درحقیقت، n کوانٹم ذرات کی نقل کرنے کا قدرتی طریقہ ان مراحل کی تعداد کا تقاضا کرے گا جو n میں ایکسپونینشل ہے۔


This is a huge headache for scientists that actually need to do these calculations in practice.

یہ ان سائنسدانوں کے لیے ایک بہت بڑا سر درد ہے جنہیں درحقیقت عملی طور پر یہ حساب کتاب کرنے کی ضرورت ہے۔


In 1981, physicist Richard Feynman proposed to “turn this lemon to lemonade” by making the following almost tautological observation:

1981 میں، طبیعیات دان رچرڈ فائن مین نے مندرجہ ذیل تقریباً ٹاٹوولوجیکل مشاہدہ کرکے “اس لیموں کو لیمونیڈ میں بدلنے” کی تجویز پیش کی:


If a physical system cannot be simulated by a computer in T steps, the system can be considered as performing a computation that would take more than T steps.

اگر کسی فزیکل سسٹم کو کمپیوٹر کے ذریعے T مراحل میں نقالی نہیں دی جا سکتی، تو سسٹم کو ایک ایسا حساب انجام دینے کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جو T سے زیادہ مراحل لے گا۔


In 1985, David Deutsch formally suggested the notion of a quantum Turing machine, and the model has been since refined in works of Deutsch and Josza and Bernstein and Vazirani.

1985 میں، ڈیوڈ ڈوئچ نے باضابطہ طور پر کوانٹم ٹورنگ مشین کا تصور پیش کیا، اور اس ماڈل کو بعد میں ڈوئچ اور جوزسا اور برنسٹین اور وازیرانی کے کاموں میں بہتر کیا گیا ہے۔